Яков Перельман - Живой учебник геометрии

• Название: Живой учебник геометрии
• Автор: Яков Перельман
• Жанр: Математика

Предлагаемое классическое пособие Я.И.Перельмана призвано пробудить у читателя интерес к геометрии или, говоря словами автора, «внушить охоту и воспитать вкус к ее изучению». Наука выводится «из стен школьной комнаты на вольный воздух, в лес, поле, к реке, на дорогу, чтобы под открытым небом отдаться непринужденным геометрическим занятиям без учебника и таблиц…»

---

Употребляются и иные способы обозначения углов. Можно, например, называть одну только букву, стоящую у вершины: верхний угол фигуры черт. 12 можно по этому способу назвать: у г. В. Но угол ВАС нельзя назвать «уг. А», так как у точки А лежат вершины двух углов: ВАС и BAD.

Нередко обозначают угол м а л о й буквой или цифрой, ставя их в н у т р и угла, близ вершины. Например, уг. ABCможно обозначить как «уг. а», уг. ВАС – как «уг. 1». Между сторонами угла проводят иногда для ясности дужку (см. уг. 1 черт. 12).

Повторительные вопросы

Какая фигура называется углом? – Покажите на чертеже, где вершина угла, и где его стороны? – Какие вы знаете способы обозначения углов?

§ 5. Сравнение углов. Сложение и вычитание углов

Углы различают по их величине. Большим считается не тот угол, стороны которого длиннее, а тот, стороны которого сильнее расходятся врозь. На черт. 13 уг. EDF больше, чем угол 2, потому, что у первого стороны сильней расходятся врозь. Встречаются углы, стороны которых расходятся врозь совершенно одинаково; такие углы можно наложить один на другой так, что их вершины совпадут, а стороны сольются. Углы, которые можно таким образом наложить друг на друга, считаются равными, хотя бы стороны их были неодинаковой длины.

На черт. 13 равны, например, уг. DEH и уг. DFH, уг. 2 и уг. а; вы можете убедиться в этом, есля обведете один угол на прозрачной бумаге и покроете им другой.

Если при наложении сравниваемых углов их вершины и одна сторона совпали, вторая же сторона накладываемого угла оказалась внутри или вне другого угла, то такие углы, конечно, не равны. Тот угол, который оказался внутри другого, считается меньшим.

Рассмотрите на том же черт. 13 углы, вершины которых лежат в точке D. Здесь три угла: уг. EDF, уг. EDHи уг. HDF. Вы видите, что оба меньших угла как раз заполняют собою уг. EDF, который составляется из них, как целое из своих частей. Когда углы так расположены, то говорят, что уг. EDFесть с у м м а углов EDHи HDF. С л о ж и т ь два угла значит найти их сумму, т. е. тот угол, который составится, если приложить их друг к другу, как показано на чертеже 13.

Если на черт. 13 от угла EDFотнять угол EDH, то останется уг. HDF; этот. угол называется р а з н о с т ь ю углов EDFи EDH. Вычесть один угол из другого значит найти их разность.

Повторительные вопросы

Какие углы называются равными? – Зависит ли величина угла от длины сторон? – Покажите на чертеже, что называется суммой и разностью двух углов.

§ 6. Развернутый угол

Представьте себе, что мы разводим врозь стороны какого-нибудь угла, – напр. уг. 1 (черт. 14). От этого угол станет увеличиваться: он превратится сначала в уг. 2, потом в уг. 3 и, наконец, в уг. 4, стороны которого составляют одну прямую линию. Такие углы, как уг. 4, называются р а з в е р н у т ы м и углами.

Может ли один развернутый угол быть больше или меньше другого развернутого? Конечно, нет: ведь всякие прямые линии, если их наложить одну на другую, сливаются между собою; значит, должны слиться при наложении и всякие развернутые углы. Итак:

В с е р а з в е р н у т ы е у г л ы р а в н ы м е ж д у с о б о ю.

§ 7. Смежные углы. Прямой угол

На черт. 15 вы видите углы 1 и 2, которые расположены так, что вершины их совпадают (в точке А) и одна сторона (AD) у них общая, т. е. принадлежит одновременно обоим углам, другие же стороны АВ и АС этой пары углов составляют одну прямую линию. Углы, которые так расположены, называются с м е ж н ы м и. На черт. 16 вы видите несколько пар смежных углов: уг. 1 и уг. 2; уг. 3 и уг. 4; уг. 5 и у г. 6; у г. а и у г. b; уг. с и у г. d, и др.

Если углы, составляющие одну пару смежных углов, равны между собою, – как уг. 7 и 8 на черт. 16, – то каждый из них называется прямым углом. Значит:

П р я м о й у г о л е с т ь о д и н и з д в у х р а в н ы х с м е ж н ы х у г л о в.

Так как оба равных смежных угла составляют вместе один развернутый угол, то прямой угол есть половина развернутого угла. Но все развернутые углы равны друг другу; поэтому равны и их половины, т. е. прямые углы. Значит:

В с е п р я м ы е у г л ы р а в н ы д р у г д р у г у.

Прямые линии, встречающиеся под прямым углом (черт. 17), называются перпендикулярными друг к другу. На черт. 17, например, уг. 1 = уг. 2, а так как эти углы смежные и притом равные, то они – прямые. Поэтому CDперпендикулярно к АВ и АВ перпендикулярно к CD.

Слово «перпендикулярный» не надо смешивать со словом «вертикальный». В е р т и к а л ь н о й, или о т в е с н о й, называют всякую прямую линию, имеющую направление свободно свешивающейся нагруженной нити.

Все те линии, которые составляют с вертикальной линией прямой угол, называются г о р и з о н т а л ь н ым и. Горизонтальны, например, все линии, проведенные по поверхности воды (черт. 18). Отвесное направление проверяют отвесом (черт. 18); горизонтальное – плотничьим ватерпасом.

На бумаге прямой угол чертят помощью линейки и чертежного треугольника (черт. 19). Проверить, правильно ли изготовлен чертежный треугольник, можно так. Проведя по линейке прямую линию и начертив с помощью треугольника другую прямую к ней, перпендикулярную, прикладывают чертежный треугольник прямым углом к смежному углу: если эти углы равны, то треугольник изготовлен правильно.

Углы, меньшие, чем прямой, называются о с т р ы м и; большие, чем прямой, – т у п ы м и.

Повторительные вопросы к §§ 6 и 7

Какой угол называется развернутым? – Какие углы называются смежными (начертите несколько таких углов)? – Какой угол называется прямым? – Как называется угол, который равен смежному с ним? – Могут ли прямые углы иметь различную величину? – Объясните значение слов: перпендикулярный, вертикальный, отвесный, горизонтальный. – Как чертить перпендикулярные прямые помощью чертежного треугольника? – Какие углы называются острыми? Тупыми? Начертите несколько острых и несколько тупых углов.

Применения

1. Уменье чертить взаимно-перпендикулярные прямые позволяет строить так наз. «графики», т. е. ломаные (или кривые) линии, наглядно показывающие ход изменения явлений. Пусть требуется построить график температуры за неделю по следующим данным:

Изобразим эти температуры рядом перпендикуляров к одной прямой, приведенных на равных расстояниях друг от друга: длина перпендикулярных отрезков будет изображать температуру дня. Верхушки перпендикуляров соединим прямыми линиями: полученная ломаная линия и есть «график температур».

2. На черт. 20 изображены графики годового хода температуры воздуха в разных местах земного шара: на о-ве Цейлон, в Ницце, в Самаре, во Владивостоке и в Верхоянске. Рассматривая эти графики, мы можем ответить себе на ряд могущих возникнуть вопросов, например:

a) Какова температура в среднем за много лет во всех на званных местах 1 мая?

О т в е т. На Цейлоне +27° в Ницце +18°, в Самаре +15°, во Владивостоке +10°, в Верхоянске 0°.

b) Какие дни в году (в среднем) самые жаркие и самые холодные в Верхоянске?

О т в е т. 1-е июля + 15°1-е января – минус 50°

c) В каких городах в апреле средняя температура ниже0°?

О т в е т. В Верхоянске, Владивостоке и Самаре.

d) Какова разница между самой высокой и самой низкой средней температурой в Ницце? В Самаре?

О т в е т ы. В Ницце средняя температура колеблется от +9° до +24°; в Самаре – от минус 10° до +21°.

§ 8. Свойство смежных углов

Сумма обоих смежных углов, очевидно, равна развернутому углу. Но развернутый угол равен двум прямым углам, взятым вместе. Поэтому:

С у м м а о б о и х с м е ж н ы х у г л о в р а в н а д в у м п р я м ы м у г л а м.

Например, на черт. 21 уг. 1 +уг. 2 = двум прямым углам.

Бывает, что по одну сторону прямой расположено не два угла, как в случае смежных углов, а несколько углов, – как на черт. 22. Легко убедиться, что сумма этих углов также равна двум прямым: из них всегда можно составить одну пару смежных углов (на черт. 22 углы АОD и DOВ, или АОЕ и ЕОВ).

Подобным же образом можно найти, чему равна сумма углов,! расположенных вокруг общей вершины, как на черт. 23. Продолжив одну из сторон за общую вершину (черт. 24), получим две группы углов: группу 1 и а, сумма которых равна двум прямым (почему?), и группу углов 2, 3, Ь, сумма которых равна также двум прямым углам; значит, сумма всех углов вокруг общей вершины равна 4 прямым углам.