Даглас Хофштадтер - ГЕДЕЛЬ, ЭШЕР, БАХ: эта бесконечная гирлянда

• Название: ГЕДЕЛЬ, ЭШЕР, БАХ: эта бесконечная гирлянда
• Автор: Даглас Хофштадтер
• Издательство: Издательский Дом «Бахрах-М», 2001.
• Жанр: Математика
• Год: 2001
• ISBN: ISBN 5-94648-001-4

Не часто приходится держать в руках книгу, которая открывает новые миры, в которой сочетаются глубина мысли и блестящая языковая игра; книгу, которой удалось совместить ничем на первый взгляд не связанные сложные области знания.

Выдающийся американский ученый изобретает остроумные диалоги, обращается к знаменитым парадоксам пространства и времени, находит параллели между картинами Эшера, музыкой Баха и такими разными дисциплинами, как физика, математика, логика, биология, нейрофизиология, психология и дзен-буддизм.

Автор размышляет над одной из величайших тайн современной науки: каким образом человеческое мышление пытается постичь самое себя. Хофштадтер приглашает в мир человеческого духа и «думающих» машин. Это путешествие тесно связано с классическими парадоксами, с революционными открытиями математика Курта Геделя, а также с возможностями языка, математических систем, компьютерных программ и предметного мира говорить о самих себе с помощью бесконечных отражений.

Начав читать эту книгу,вы попадете в волшебные миры, отправитесь в путешествие, изобилующее увлекательными приключениями, путешествие, после которого вы по-иному взглянете на мир и на самого себя.

Переведенная на 17 языков, книга потрясла мировое интеллектуальное сообщество и сразу стала бестселлером. Теперь и русский читатель получил доступ к одной из культовых книг XX века.

---

Уверен, что вы согласитесь, что, когда вы начали работать с системой MIU, вам пришлось столкнуться именно с этой проблемой. Вам была известна единственная аксиома системы и простые правила вывода, косвенно характеризующие теоремы — и все же было неясно, каковы последствия этой характеристики. В частности, было совершенно непонятно, является ли MU теоремой.

Рис. 12. М. К. Эшер. «Воздушный замок» (гравюра на дереве), 1928.

Двухголосная инвенция

или Что Черепаха сказала Ахиллу (записано Льюисом Кэрроллом) [8]

Ахилл перегнал Черепаху и с комфортом уселся отдыхать на ее широкой спине.

«Так вам все же удалось добежать до финиша?» — сказала Черепаха. «Несмотря на то, что дистанция состояла из бесконечного ряда отрезков? Я-то думала, какой-то умник доказал, что это невозможно сделать?»

«Это ВОЗМОЖНО сделать», — сказал Ахилл: «И я это СДЕЛАЛ! Solvitur ambulando. Видите ли, дистанции постоянно УМЕНЬШАЛИСЬ…»

«А если бы они постоянно УВЕЛИЧИВАЛИСЬ?» — перебила Черепаха, — «Что тогда?»

«Тогда бы меня здесь еще не было,» — скромно ответил Ахилл, — «А Вы уже успели бы обежать несколько раз вокруг света.»

«Вы весьма великодушны, Ахилл. Вы меня просто подавили… я хочу сказать, придавили, поскольку вы нешуточный тяжеловес. А теперь, не угодно ли вам послушать про такую беговую дорожку, о которой большинство людей воображают, что могут преодолеть ее в два-три шага, когда на самом деле она состоит из бесконечного числа расстояний, где каждое последующее больше предыдущего?»

«С превеликим удовольствием,» — ответствовал греческий воин, доставая из шлема (в те дни мало кто из греческих воинов мог похвастаться карманами) огромный блокнот с карандашом. «Приступайте к своему рассказу, да говорите, пожалуйста, помедленнее — ведь стенография еще не изобретена!»

«Этот прекрасный Первый Постулат Эвклида…» — пробормотала мечтательно Черепаха, — «вы восхищаетесь Эвклидом?»

«Страстно! Постольку, конечно, поскольку можно восхищаться трудом, который будет опубликован лишь через несколько столетий…»

«Давайте, в таком случае, рассмотрим первые два пункта его доводов, и выводы, которые из них следуют. Будьте так любезны, запишите их к себе в блокнот — для удобства обозначим их А, В и Z:

(A) Вещи, равные одному и тому же, равны между собой.

(B) Две стороны этого треугольника суть вещи, равные одному и тому же.

(Z) Две стороны этого треугольника равны между собой.

Читатели Эвклида согласятся, я думаю, что Z логически следует из А и В, так что тот, кто согласен с истинностью А и В, ДОЛЖЕН считать истинным и Z?»

«Несомненно! Уж с ЭТИМ-то легко согласится любой старшеклассник — как только старшие классы будут изобретены, каких-нибудь пару тысяч лет спустя.»

«И если какой-нибудь читатель не принимает А и В за истинные, он, тем не менее, должен согласиться с тем, что ВЗЯТАЯ ЦЕЛИКОМ, эта последовательность имеет смысл?»

«Без сомнения, такого читателя можно вообразить. Он мог бы сказать: „Я принимаю за истинное Гипотетическое Утверждение, что ЕСЛИ А и В истинны, то Z должно быть тоже истинно.“ Такой читатель поступил бы мудро, если бы он оставил Эвклида и занялся футболом».

«А что, если какой-нибудь другой читатель сказал бы: „Я принимаю за истинные А и В, но НЕ Гипотетическое Утверждение“?»

«Наверное, и такой читатель мог бы существовать. Ему, впрочем, тоже было бы лучше заняться футболом.»

«И никакой из этих читателей ПОКА не обязан соглашаться с тем, что логически Z должно быть истинно?»

«Совершенно верно,» — кивнул Ахилл.

«Теперь представьте на минуту, что я — тот второй читатель, и попробуйте логически заставить меня признать, что Z истинно.»

«Черепаха, играющая в футбол, была бы…» — начал Ахилл.

«… совершеннейшей аномалией, конечно,» — торопливо перебила Черепаха. «Не будем отвлекаться; сначала давайте разберемся с Z, а потом уж поговорим о футболе!»

«Я должен заставить вас принять Z, не так ли?» — задумчиво пробормотал Ахилл. «И вы утверждаете, что принимаете А и В, но тем не менее не принимаете Гипотетическое Утверждение…»

«Назовем его С», — вставила Черепаха.

«Но вы не принимаете

(С) Если А и В истинны, следовательно Z должно быть истинно.»

«Именно это я и утверждаю,» — сказала Черепаха.

«В таком случае я должен попросить вас согласиться с С.»

«Я, пожалуй, уважу вашу просьбу, как только вы занесете ее в свой блокнот. Кстати, что у вас там еще записано?»

«Только несколько заметок на память,» — сказал Ахилл, нервно шурша страницами: «несколько заметок о… о сражениях в которых я отличился!»

«Здесь полно чистых страниц, как я погляжу!» — радостно заметила Черепаха. «Нам понадобятся ВСЕ они, до последней странички!» (Ахилл содрогнулся.) «Теперь пишите за мной:

(A) Вещи, равные одному и тому же, равны между собой.

(B) Две стороны этого треугольника суть вещи, равные одному и тому же.

(C) Если А и В истинны, следовательно Z должно быть истинно.

(Z) Две стороны этого треугольника равны между собой.»

«Вы должны бы называть последнее утверждение D, а не Z, поскольку оно прямо следует за первыми тремя. Если вы принимаете А, В, и С, вам ПРИДЕТСЯ принять Z.»

«Почему это мне „придется“?»

«Потому что Z ЛОГИЧЕСКИ следует из них. Если А, и В, и С истинны, Z ДОЛЖНО быть истинно. С этим-то вы, надеюсь, не станете спорить?»

«Если А, и В, и С истинны, Z ДОЛЖНО быть истинно,» — в раздумьи повторила Черепаха. «Это еще одно Гипотетическое Утверждение, не правда ли? И если я его не приму, я все еще могу считать истинными А, В и С, но не принимать Z, не так ли, мой друг?»

«Пожалуй, что и так,» — согласился простодушный герой, — «хотя такое упрямство было бы просто феноменально. Все же, это событие ВОЗМОЖНО. А раз так, я должен попросить вас принять еще одно Гипотетическое Утверждение.»

«Прекрасно! Я согласен принять и это Утверждение, как только вы его запишете. Мы назовем его D.

(D) Если А, и В, и С истинны, Z ДОЛЖНО быть истинно.

Уже записали?»

«Записал, записал!» — радостно воскликнул Ахилл, вкладывая карандаш в футляр. «Наконец-то мы пришли к концу нашей воображаемой беговой дорожки! Теперь, когда вы принимаете А, и В, и С, и D, вы, КОНЕЧНО, принимаете и Z.»

«Неужели?» — спросила Черепаха с невинным видом. «Давайте-ка это выясним. Я принимаю А, и В, и С, и D. Что, если я ВСЕ ЕЩЕ отказываюсь принять Z?»

«Тогда госпожа Логика возьмет вас за горло и ЗАСТАВИТ!» — торжествующе ответил Ахилл. «Логика скажет вам: „У вас нет выхода. Теперь, когда вы согласились с А, и В, и С и D, вы ОБЯЗАНЫ согласиться с Z!“ Так что у вас нет выбора, как видите.»

«То, что произносит госпожа Логика, уж конечно стоит того, чтобы быть ЗАПИСАНО,» — сказала Черепаха. «Так что, пожалуйста занесите и это в ваш блокнот. Мы назовем это

(E) Если А и В и С и D истинны, Z должно быть истинным.»

«До тех пор, пока я не согласилась с ЭТИМ утверждением, я не обязана принимать Z за истинное. Теперь вы видите, что это совершенно НЕОБХОДИМЫЙ шаг?»

«Вижу, вижу…» — сказал Ахилл, и в его голосе явственно послышались грустные нотки.

В этот момент рассказчику пришлось покинуть счастливую парочку, так как ему срочно нужно было в банк. Он снова попал в те места только через несколько месяцев. Доблестный герой Ахилл все еще восседал на спине долготерпеливой Черепахи и писал в своем блокноте, который уже почти заполнился, а Черепаха говорила: «Записали последний шаг? Если я не сбилась со счета, у нас набралось уже 1001. Осталось всего каких-нибудь несколько миллионов… Зато подумайте только, какую ОГРОМНУЮ пользу наша беседа принесет Логикам Девятнадцатого Века!»

«Не думаю, что кто-нибудь из них сможет разобраться во всей этой чепухе», — отвечал усталый воин, в отчаянии пряча лицо в ладонях. «Сделайте милость, разрешите мне позаимствовать каламбур, который в девятнадцатом столетии придумает знакомая Алисы, ваша кузина Черепаха Квази, и переименовать вас в г-жу Чепупаху.»

«Ахиллес, бедняга, вы видно совсем устали, такую вы несете ахиллею… по этому поводу, я, пожалуй, позволю себе каламбур, до которого моя кузина Черепаха Квази не додумается, и переименую вас в Ахинесса.»

ГЛАВА II: Содержание и форма в математике

ЭТА ДВУХГОЛОСНАЯ ИНВЕНЦИЯ оказалась для моих героев вдохновляющей идеей. Так же, как Льюис Кэрролл позволил себе вольное обращение с Ахиллом и Черепахой Зенона, я позволил себе некоторые вольности с Ахиллом и Черепахой Льюиса Кэрролла. У Кэрролла одни и те же события повторяются снова и снова, каждый раз на более высоком уровне; это замечательная аналогия Баховского Естественно Растущего Канона. Если лишить диалог Кэрролла его блестящего остроумия, в нем останется глубокая философская проблема: подчиняются ли слова и мысли каким-либо формальным правилам? Это и есть основной вопрос, на который пытается ответить моя книга.