Геннадий Горелик - Матвей Петрович Бронштейн

• Название: Матвей Петрович Бронштейн
• Автор: Геннадий Горелик
• Издательство: АКАДЕМИЯ НАУК СССР
• Жанр: Биографии и Мемуары
• Год: 1990
• ISBN: ISBN 5-02-000670-Х

В книге рассказывается о жизни и творчестве замечательного советского физика-теоретика М. П. Бронштейна. Наиболее важный его вклад в науку — первое глубокое исследование квантования гравитации. Полученные им результаты стали особенно актуальны в наше время, когда построение квантовой теории гравитации насущно необходимо для космологии и физики элементарных частиц. Бронштейну также принадлежат важные работы в релятивистской космологии, астрофизике, теории полупроводников. Написанные им замечательные научно-популярные и научно-художественные книги переиздаются в наши дни.

Книга рассчитана на читателей, интересующихся историей советской науки.

---

Неевклидова геометрия, начало созданию которой положили сто лет тому назад Лобачевский, Гаусс и Болиаи и которая была приведена в более совершенную форму гениальным немецким математиком Берн-хардом Риманом, представляет непосредственно обобщение геометрии Евклида. Вместо того чтобы вычислять квадратный корень из суммы квадратов проекций бесконечно малого отрезка, как это делается в геометрии Евклида, неевклидова геометрия вычисляет квадратный корень из более сложного выражения, являющегося суммой не только квадратов бесконечно малых проекций, но и произведения этих проекций, причем в этой сумме каждый квадрат и произведение предварительно умножается на некоторый коэффициент. Таким образом, евклидова геометрия является тем частным случаем неевклидовой геометрии, который получится, если коэффициенты при квадратах проекций равны единице, а коэффициенты при произведении равны нулю. В неевклидовой же геометрии эти коэффициенты могут принимать различные значения в разных точках пространства. Легко видеть, что если даны значения этих коэффициентов во всех точках пространства (или, как сказал бы физик, задано «поле» этих коэффициентов), то возможно вычислить длину любой кривой линии, проведенной в этом неевклидовом пространстве. Все другие геометрические величины (углы, площади, объемы и т. д.) также возможно вычислить с помощью тех же коэффициентов, которые, таким образом, приобретают первостепенное значение для геометрических свойств неевклидова пространства. Ими, как говорят, определяется «метрика» пространства, т. е. результаты всех производимых в нем измерений. Коэффициенты эти получили довольно громоздкое название «компонентов метрического фундаментального тензора». Понятно, что вся суть заключается именно в этих компонентах. Если между двумя точками проведены две кривые линии, то, например, вопрос о том, которая из них короче, может быть решен только в том случае, если заданы значения компонентов метрического фундаментального тензора в каждой точке. Линия, которая не оказалась бы кратчайшим расстоянием между двумя точками в пространстве евклидовом, где все компоненты метрического фундаментального тензора равны или нулю или единице, может оказаться кратчайшей линией, если задано какое-нибудь другое распределение этих компонентов в пространстве, соответствующее неевклидовой геометрии.

Идея Эйнштейна, примененная им к изучению полей тяготения, заключалась в том, что четырехмерная пространственно-временная совокупность точек-событий не должна обязательно являться евклидовой, а может быть и неевклидовой. Если в какой-нибудь области пространства отсутствует поле тяготения, то согласно Эйнштейну геометрия четырехмерной пространственно-временной совокупности может считаться евклидовой. В этом случае материальная точка, на которую не действуют электромагнитные силы (т. е. не действуют никакие силы вообще, так как, кроме сил тяготения, все известные в физике силы сведены к электромагнитным), то рассматриваемая точка будет двигаться согласно закону инерции равномерно и прямолинейно.

До Эйнштейна полагали, что роль сил тяготения принципиально не отличается от роли электромагнитных сил, т. е. что действие тех и других сил состоит в сбивании материальной точки с того кратчайшего пути, по которому она двигалась бы в отсутствие сил. Эйнштейн решил этот вопрос совершенно новым и неожиданным образом. Если под силами подразумевать те причины, по которым график движения материальной точки перестает быть кратчайшей или прямейшей линией, то загадка сил тяготения получает следующее парадоксальное разрешение: сил тяготения вообще не существует! существует только свойство тяжелых тел создавать вокруг себя такие неевклидовы свойства пространства, такое, как говорят, «искривление» пространства, благодаря которому материальная точка движется в отсутствие электромагнитных сил не по тем линиям, по каким она бы двигалась в случае евклидовой метрики, а по другим.

Из предыдущего ясно, что поле тяготения является в эйнштейновой теории геометрическим свойством пространства, поскольку оно может быть вычислено по значениям тех коэффициентов, которыми определяется длина проведенных в четырехмерном пространстве Эйнштейна—Минковского кривых линий. Заслуга Эйнштейна заключается в том, что он нашел закон, которому должно удовлетворять поле этих метрических коэффициентов в четырехмерном пространстве («закон тяготения Эйнштейна»). Роль материи сводится к тому только, что присутствие материи вызывает искривление пространства и нарушение первоначальных евклидовых его свойств. Отсюда ясно, что в теории относительности Эйнштейна электромагнитные силы и силы тяготения играют принципиально различную роль: силы тяготения вытекают непосредственно из геометрических свойств четырехмерной пространственно-временной совокупности точек-событий, между тем как электромагнитные силы не имеют ничего общего с геометрией и не могут быть вычислены по заданным значениям компонентов метрического фундаментального тензора.

Такое различие между электромагнитными и гравитационными силами считалось недостатком теории, и многие исследователи пытались создать такую теорию электромагнитного поля, в которой электрические и магнитные величины вычислялись бы из геометрических свойств пространства-времени. Одной из попыток такого рода является теория Калуцы (1921 г.). Вместо четырехмерной совокупности точек Калуца рассматривал пятимерную, в которой число метрических коэффициентов было поэтому больше, чем в четырехмерной совокупности. Потенциалы электромагнитного поля вычислялись им из этих коэффициентов. Теория Калуцы не имела успеха, хотя его идеи сыграли некоторую роль (пятимерная совокупность точек была снова введена в 1927 г. немецким математиком Оскаром Клейном и русским математиком В. А. Фоком в их математическом истолковании волновой механики Шредингера). К другим попыткам свести электромагнитное поле к геометрическим свойствам пространственно-временного мира принадлежит теория, разработанная цюрихским математиком Германом Вейлем. Эта теория также не смогла удовлетворительно описать электромагнитные явления, как и теория Калуцы. Обе теории удовлетворительно справлялись с уравнениями электромагнитного поля в пустоте, но не могли объяснить законов движения материи в этом поле.

Теория Эйнштейна, о которой идет речь в этой заметке, ставит перед собой такую же самую цель — включение электромагнитного поля в систему чисто геометрических величин. Для того чтобы понять новую теорию Эйнштейна, названную им «единой теорией поля», нужно рассмотреть понятие о параллелизме в неевклидовой геометрии. Пусть в неевклидовом пространстве дана точка 1 и в ней задано некоторое направление (например, направление некоторого бесконечно малого отрезка, начинающегося в точке 1). Пусть через точку 2 того же неевклидового пространства требуется провести отрезок, параллельный заданному бесконечно малому отрезку в точке 1. Простейшим способом является следующий. Соединим точки 1 и 2 геодезической (кратчайшей) линией и будем перемещать вдоль этой линии бесконечно малый отрезок из точки 1 в точку 2 так, чтобы при каждом бесконечно малом перемещении, на которые можно разложить его путь от точки 1 к точке 2, он оставался параллелен самому себе. Ясно, что, придя в точку 2, он будет находиться под тем же углом к касательной, проведенной к геодезической линии, под которым он находился в точке 1. На первый взгляд может казаться, что то положение, которое отрезок принял в точке 2, можно считать параллельным его первоначальному направлению в точке 1. Однако с этим связаны трудности. Если, например, дана, кроме точек 1 и 2, еще и точка 3, то можно было бы переместить бесконечно малый отрезок параллельно самому себе сперва из точки 1 к точке 3 по соединяющей их геодезической линии, а затем из точки 3 к точке 2 по геодезической линии 3 2. Окажется, что после двух таких перемещений бесконечно малый отрезок будет занимать в точке 2 не то положение, какое он имел бы при непосредственном перемещении параллельно самому себе по геодезической линии 1 2, а другое.

Таким образом, понятие параллелизма не может быть обобщено на пространство, обладающее кривизной. Это можно проверить на простом случае шаровой поверхности, которую можно рассматривать, как двумерное неевклидово пространство. Пусть на поверхности шара даны три точки 1, 2 и 3. Соединим их попарно дугами больших кругов (известно, что на поверхности шара дуга большого круга, соединяющая две точки, является кратчайшим расстоянием между ними). Получился сферический треугольник 123. Если в точке 1 проведен какой-нибудь отрезок в касательной плоскости к шару, то его можно переместить вдоль стороны сферического треугольника 1 2 таким образом, чтобы он все время оставался касателен к шару и все время образовывал один и тот же угол с касательной к большому кругу 1 2. Это и будет «перемещение параллельно самому себе» по геодезической линии 1 2. После этого его можно таким же образом «перенести параллельно самому себе» по геодезической линии 2 3, а затем и по линии 3 1. Окажется, что после такого «перемещения параллельно самому себе» по контуру сферического треугольника 123 отрезок не придет в прежнее положение, а образует со своим первоначальным направлением в точке 1 некоторый угол. С помощью элементарной геометрии нетрудно доказать, что этот угол будет равен так называемому « сферическому эксцессу» треугольника 1 2 3, т. е. разности между суммой углов сферического треугольника 1 2 3 и 180 градусами. (Сферический эксцесс треугольника, как доказывается в сферической тригонометрии, пропорционален площади треугольника.) Из этого примера видно, что сохранить на поверхности шара понятие о параллелизме без добавочных условий невозможно.