Морис Клайн - Математика. Утрата определенности.

• Название: Математика. Утрата определенности.
• Автор: Морис Клайн
• Издательство: Мир
• Жанр: Математика
• Год: 1984

Книга известного американского математика, профессора Нью-Йоркского университета М. Клайна, в яркой и увлекательной форме рисующая широкую картину развития и становления математики от античных времен до наших дней. Рассказывает о сущности математической науки и ее месте в современном мире.

Рассчитана на достаточно широкий круг читателей с общенаучными интересами.

---

В конце периода средневековья Европа испытала поистине революционные потрясения, которые привели к значительным изменениям. Среди многих причин, способствовавших превращению средневековой цивилизации в современную, самой важной с точки зрения интересующей нас темы было пробуждение интереса к трудам греческих авторов и вновь начавшееся изучение их. Сочинения античных ученых становились известными в арабских переводах и через оригиналы, сохранившиеся в Византийской империи. После завоевания Византии турками в 1453 г. многие греческие ученые, захватив с собой книги, бежали на Запад. Именно из сочинений греков ведущие европейские мыслители того времени узнали, что природа построена на математических принципах и что план творения гармоничен, эстетически привлекателен и являет собой сокровенную истину о природе. Природа не только рациональна и упорядочение, но и действует в соответствии с неизбежными и неизменными законами. Европейские ученые приступили к исследованию природы как последователи древнегреческих философов. 

Не подлежит сомнению, что многих европейских ученых побудило приступить к изучению природы возрождение греческих идеалов. Но темпы и широкий размах возрождения математики и естествознания были обусловлены и многими другими факторами. Силы, приводящие к крушению одной и вызывающие развитие другой культуры, многообразны и сложны. Процесс зарождения науки изучали многие ученые, и немало трудов по истории посвящено выяснению его причин. Мы ограничимся здесь кратким перечислением факторов, обусловивших тот интеллектуальный переворот, который ныне именуют Возрождением. 

Возникновение класса свободных ремесленников небывало повысило интерес к материалам, способам их обработки и технологии, породив новые научные проблемы. Географические исследования, вызванные необходимостью поиска новых источников сырья и золота, способствовали распространению знаний о неведомых ранее странах и обычаях, бросавших своего рода вызов средневековой европейской культуре. В эпоху Реформации были отвергнуты многие католические доктрины, что усилило споры и даже скептицизм в отношении не только католицизма, но и протестантизма. Значение, которое пуритане придавали труду и полезности знаний, внедрение пороха, поставившее перед европейцами новые задачи военного характера (например, изучение траекторий пушечных ядер{15}), проблемы, связанные с плаванием в открытом море за тысячи миль от берега, — все это создавало благоприятную атмосферу для исследования природы. Изобретение книгопечатания способствовало распространению знаний, за чем, однако, неусыпно следила церковь. И хотя специалисты расходятся во мнениях относительно того, в какой мере те или другие силы повлияли на изучение природы, для наших целей достаточно отметить одновременное влияние многих факторов и тот общепризнанный факт, что научные знания и стремления к их приобретению стали отличительной чертой современной европейской цивилизации. 

В целом европейцы далеко не сразу откликнулись на новые веяния. В эпоху Возрождения для европейцев было более характерно изучение сочинений греческих авторов, чем следование греческим идеалам (см., например, [10]). Но к началу XVI в. провозглашеннные греками цели научного исследования — изучение явлений природы на рациональной основе и поиск лежащего в их основе общего математического плана — проникли в умы европейцев. И тут европейцы столкнулись с серьезной проблемой: поставленные греками цели находились в противоречии с господствовавшей тогда в Европе культурной традицией. В то время как греки верили в математические принципы, лежащие в основе природы, в природу, неизменно и неукоснительно следующую некоторому идеальному плану, мыслители позднего средневековья приписывали и сотворение «плана», и все происходящее в природе христианскому богу. Он был творцом и создателем — и все в природе неукоснительно следовало его плану. Вселенная была творением бога и беспрекословно подчинялась его воле. Математики и представители естественных наук в эпоху Возрождения и на протяжении нескольких последующих столетий были правоверными христианами и полностью принимали эту доктрину. Но греческое учение о математических принципах устройства Вселенной противоречило догматам католической церкви. Каким же образом можно было примирить попытки понять Вселенную, сотворенную богом, с поисками математических законов мироздания? Примирить, казалось бы, непримиримое можно было, только создав новую доктрину, согласно которой христианский бог при сотворении Вселенной руководствовался математическими принципами. Так католическая доктрина, провозглашавшая первостепенной обязанностью постижение божьей воли и его творений, обрела форму поиска математического плана, по которому бог создал Вселенную. И действительно, как мы вскоре убедимся, работы математиков в XVI-XVII вв. и на протяжении большей части XVIII в. носили характер религиозного поиска. Открытие математических законов природы было своего рода откровением, являвшим людям славу и величие божьего творения. Математическое знание (истина о замысле творца) было священным, как любая строка Библии. Разумеется, человек не мог надеяться постичь божественный план с такой же полнотой и ясностью, как сам господь бог, но человек мог по крайней мере со всей кротостью и смирением приблизиться к пониманию замысла творца и, следовательно, к пониманию созданного им мира. 

Можно пойти дальше и утверждать, что математики того времени были уверены в существовании математических законов, лежащих в основе явлений природы, и настойчиво искали эти законы, будучи a priori убеждены в осмысленности своих поисков: ведь бог, создавая Вселенную, не мог не запечатлеть в ней математические законы. Каждое открытие закона природы провозглашалось еще одним подтверждением не столько мудрости исследователя, совершившего открытие, сколько божьей милости. Такие взгляды и убеждения математиков и естествоиспытателей являлись отражением всей интеллектуальной атмосферы, типичной для Европы эпохи Возрождения. Незадолго до того вновь открытые сочинения греческих авторов чем-то противоречили христианской культуре, пропитанной глубокой набожностью; однако духовные вожди эпохи Возрождения, взращенные в христианской традиции и одновременно испытавшие на себе притягательную силу греческой культуры, сумели соединить эти два течения, казалось бы противоречащие одно другому. 

Наиболее ярким примером происходившего в Европе слияния греческого учения о «математизированной» Вселенной с характерной для эпохи Возрождения верой в божественное ее происхождение являются труды Николая Коперника и Иоганна Кеплера. Вплоть до XVI в. единственной надежной и практически применимой астрономической теорией была геоцентрическая система Гиппарха и Птолемея. Она была принята профессиональными астрономами и использовалась при составлении календарей и в навигационных расчетах. К работе над созданием новой астрономической теории приступил Коперник (1473-1543). Астрономию он изучал в Болонском университете, куда поступил в 1497 г. В 1512 г. Коперник приступил к исполнению обязанностей каноника Фромборкского собора в Вармии. Положение члена капитула оставляло Копернику немалый досуг для астрономических наблюдений и обдумывания будущей теории. После многолетних размышлений и наблюдений Коперник создал новую теорию движения планет, изложив ее в своем классическом труде «Об обращениях небесных сфер» [11]. Первый вариант рукописи Коперник закончил еще в 1507 г., но медлил с публикацией, опасаясь противодействия со стороны церкви. Книга Коперника вышла из печати в 1543 г. — в год его смерти. 

В те времена, когда Коперник принялся размышлять на астрономические темы, теория Птолемея претерпела некоторые усовершенствования. К эпициклам, введенным Птолемеем, добавились новые эпициклы, которые понадобились для того, чтобы привести теорию в соответствие с новыми астрономическими данными, собранными главным образом арабами. Во времена Коперника для описания движений Солнца, Луны и пяти известных в тот период планет птолемеевой теории требовалось уже семьдесят семь кругов. Многие астрономы, как о том упоминает Коперник в предисловии к своему сочинению, стали считать теорию Птолемея чрезмерно сложной. 

Изучение достижений греческих ученых привело Коперника к убеждению в существовании единого математического плана, по которому построена Вселенная и который обеспечивает ее гармонию. Эстетические соображения требовали наличия более изящной теории, чем то сложное нагромождение эпициклов, которое содержалось в позднем варианте теории Птолемея. Из прочитанных книг Коперник узнал, что некоторые греческие авторы, главным образом Аристарх Самосский (III в. до н.э.){16}, высказывали предположение, что Солнце покоится, а Земля обращается вокруг него и одновременно поворачивается вокруг своей оси, и он решил выяснить, к чему может привести подобная гипотеза.