Морис Клайн - Математика. Поиск истины.

• Название: Математика. Поиск истины.
• Автор: Морис Клайн
• Издательство: Мир
• Жанр: Математика
• Год: 1988

Книга известного американского математика, популяризатора науки Мориса Клайна ярко и увлекательно рассказывает о роли математики в сложном многовековом процессе познания человеком окружающего мира, ее месте и значении в физических науках. Имя автора хорошо знакомо советским читателям: его книга «Математика. Утрата определенности» (М.: Мир, 1984) пользуется заслуженным успехом в нашей стране.

Предназначена для читателей, интересующихся историей и методологией науки.

---

В свое время общая теория относительности казалась весьма необычной и резко отличалась от других физических теорий. Что же все-таки побудило физиков-теоретиков принять ее?

Основываясь на своей теории, Эйнштейн предсказал три природных явления. Перигелием называется точка планетной орбиты, ближайшая к Солнцу. Согласно механике Ньютона, перигелий самой внутренней (ближайшей к Солнцу) планеты, Меркурия, должен менять из года в год свое положение на величину, отличающуюся от наблюдаемой примерно на 5600'' (дуговых секунд) за столетие (одна дуговая секунда равна 1/3600 градуса). Значительная часть этого отклонения (примерно 5000'' за столетие) обусловлена тем, что мы производим свои наблюдения с движущейся Земли. В 1856 г. Леверье показал, что часть отклонения (около 531'' за столетие) обусловлена притяжением других планет. Остальную часть отклонения так и не удавалось объяснить до тех пор, пока Эйнштейн в 1915 г. не попытался сделать это, исходя из общей теории относительности. С того момента было произведено множество наблюдений, что позволило гораздо точнее измерить смещение перигелия Меркурия. Но вычисление всех поправок осложняется тем, что движущаяся планета сама создает определенные возмущения в кривизне пространства-времени.

Эйнштейн высказал также предположение, что свет далекой звезды, проходя вблизи Солнца, должен отклоняться, и оценил величину отклонения. До Эйнштейна было известно, что свет (который, как предполагалось, обладает массой) отклоняется гравитационным полем (в данном случае полем Солнца). По оценкам отклонение луча, проходящего у края солнечного диска, должно было составлять 0,87''. Эйнштейн получил величину отклонения 1,75''. Наблюдения, произведенные во время солнечного затмения в 1919 г., подтвердили предсказание Эйнштейна. Сравнивая положения звезд на фотографиях, сделанных за пять месяцев до солнечного затмения (когда звезды в ночном небе были далеко от Солнца), и фотографиях, заснятых в момент солнечного затмения, Артур Стенли Эддингтон показал, что величина наблюдаемого отклонения согласуется с оценкой Эйнштейна (рис. 37). Этот результат, полученный вскоре после опубликования общей теории относительности, возможно, в большей мере, чем что-либо иное способствовал признанию идей Эйнштейна.

Рис. 37.

Эйнштейн предсказал еще одно явление. Атомы, в особенности атомы газов, при нагревании обычно испускают световое излучение нескольких частот (иногда в широком интервале частот). Эйнштейн высказал соображение, что частоты излучения атомов, находящихся в различных областях гравитационного поля Солнца, должны отличаться (как в сторону уменьшения, так и в сторону увеличения) от частот, на которых излучают те же атомы на Земле. Изменения в частоте колебаний атомов газа физически проявляются в смещении цветов (спектра) солнечного излучения, приходящего на Землю. С Земли излучение атомов, находящихся вблизи Солнца, будет казаться краснее, т.е. все длины волн сдвинутся к красному концу спектра. Предсказанное Эйнштейном красное смещение было обнаружено экспериментально.{12}

Получив несомненные экспериментальные подтверждения, общая теория относительности, казалось бы, значительно укрепила свои позиции. Кроме того, теория Эйнштейна в качестве первого приближения включала и теорию Ньютона, что могло служить еще одним подтверждением ее справедливости. Но, говоря об успехах общей теории относительности, не следует забывать об одной на первый взгляд несущественной детали: во всех описанных нами экспериментах измерению подлежали очень слабо выраженные эффекты. Но Эйнштейн был уверен в правильности специальной и общей теорий относительности еще до того, как они прошли экспериментальную проверку.

Ныне специальная и общая теории относительности не просто составляют неотъемлемую часть нашего научного знания — в том, что касается широты охватываемых ими явлений, они дают нам наиболее точное представление об окружающем нас физическом мире. Означает ли это, что мы должны безоговорочно принять их? В частности, должны ли мы согласиться с тем, что одновременность событий, длины отрезков и продолжительность промежутков времени зависят от наблюдателя? От этих вопросов можно было отмахнуться в прошлом, поскольку значительные расхождения в результатах, полученных различными наблюдателями, обнаруживаются только при очень больших скоростях движения одного наблюдателя относительно другого. Но теперь, когда люди побывали на Луне и направили космические аппараты к Сатурну и далее к Нептуну, когда космические полеты, несомненно, будут совершаться на все более далекие расстояния, нам приходится иметь дело отнюдь не с малыми скоростями.

Несмотря на поразительные и впечатляющие экспериментальные подтверждения теории относительности, многим людям трудно воспринимать ее четырехмерный неевклидов мир. Представить себе наглядно такой четырехмерный мир действительно невозможно, но тот, кто требует наглядности от понятий современной физики и математики, находится в своем научном развитии на уровне средневековья. С давних времен, когда математики только начинали оперировать числами, они упорно развивали алгебраический подход, не зависящий от чувственного опыта. Ныне математики вполне сознательно строят и применяют геометрии, которые существуют только в человеческом разуме и никогда не предназначались для наглядной интерпретации. Не следует думать, однако, будто современные математики отвергают всякую связь с чувственным восприятием. Представления о физическом мире, сформированные на основе геометрических и алгебраических соображений, должны соответствовать наблюдениям и экспериментам, если мы хотим, чтобы логическая структура наших умозрительных построений была полезна для физики. Но настаивать на том, чтобы каждый шаг в цепи геометрического рассуждения непременно чему-нибудь соответствовал в нашем чувственном опыте, — это значит лишать математику и естествознание двух тысячелетий истории их развития.

Вспомним, как некогда люди реагировали на то, что Земля круглая, а позднее на то, что Земля обращается вокруг Солнца. Наш чувственный опыт не согласуется ни с одним из этих фактов. Тем с большим доверием должны мы воспринимать релятивистские понятия времени, одновременности, пространства и массы. Теория относительности предостерегает нас против того, чтобы явления, наблюдаемые в некоторой выделенной системе отсчета, мы принимали за истину в абсолютном смысле. Что есть истина об окружающем нас мире и что реально объективно в других физических областях — об этом говорят нам математические законы. Природе нет дела до наших впечатлений. Она следует своим курсом независимо от того, постигаем ли мы его.

Теория относительности объединила пространство и время в четырехмерный континуум, она показала, какое влияние оказывает распределение материи на геометрию пространства-времени. Эти идеи, столь чуждые философам начала нашего столетия, ныне все шире проникают в философские концепции мира. Природа предстает перед нами как органически целое, где неразрывно слиты пространство, время и материя. В прошлом люди, анализируя природу, выделяли некоторые ее свойства, казавшиеся им особенно важными, и воспринимали их как вполне самостоятельные сущности, забывая о том, что эти свойства абстрагированы от целого. Ныне люди с удивлением узнают, что казавшиеся ранее не связанными между собой понятия необходимо вновь собрать в единое целое, чтобы достичь непротиворечивого, удовлетворительного синтеза знания.

Аристотель первым создал философское учение, провозгласившее, что пространство, время и материя суть различные компоненты опыта. Впоследствии эту точку зрения восприняли естествоиспытатели. Разделял ее и Ньютон. Следуя Аристотелю, мы настолько привыкли мыслить пространство и время как фундаментальные и различные компоненты нашего физического мира, существующие независимо и отдельно от материи, что перестали сознавать «рукотворный» характер подобного взгляда на природу и забыли, что это лишь один из возможных взглядов. Надо сказать, что современные философы и среди них Алфред Норт Уайтхед отнюдь не считали такое аналитическое расчленение природы на составные части бесполезным. Наоборот, подобный подход оказался весьма ценным и даже существенным. Однако мы должны отчетливо сознавать его искусственный характер и не смешивать вычленяемые нами компоненты природы с самой природой подобно тому, как мы не принимаем органы, наблюдаемые при вскрытии в анатомическом театре, за живое человеческое тело.

Теперь мы в состоянии оценить, сколь велика та часть нашей физической науки, которая была математизирована в форме геометрии. Со времен Евклида законы физического пространства были всего лишь теоремами евклидовой геометрии и ничем больше. Гиппарх, Птолемей, Коперник и Кеплер сформулировали основные свойства движений небесных тел в геометрических терминах. С помощью телескопа Галилей распространил применение геометрии на бесконечное пространство и многие миллионы небесных тел. Когда Лобачевский, Бойаи и Риман показали, как строить иные геометрические миры, Эйнштейн подхватил их идеи, превратив наш физический мир в четырехмерный, математический. Гравитация, время и материя наряду с пространством стали компонентами геометрической структуры четырехмерного пространства-времени. Так, уверенность древних греков в том, что реальный мир удобнее и понятнее всего выражать через его геометрические свойства, и проникнутое духом эпохи Возрождения учение Декарта о том, что феномены материи и движения легко объяснить через геометрию пространства, получили убедительнейшее подтверждение.