Морис Клайн - Математика. Поиск истины.

• Название: Математика. Поиск истины.
• Автор: Морис Клайн
• Издательство: Мир
• Жанр: Математика
• Год: 1988

Книга известного американского математика, популяризатора науки Мориса Клайна ярко и увлекательно рассказывает о роли математики в сложном многовековом процессе познания человеком окружающего мира, ее месте и значении в физических науках. Имя автора хорошо знакомо советским читателям: его книга «Математика. Утрата определенности» (М.: Мир, 1984) пользуется заслуженным успехом в нашей стране.

Предназначена для читателей, интересующихся историей и методологией науки.

---

Но детерминизму не была суждена долгая жизнь. В действиях имеются моменты нестабильного поведения (Максвелл называл такие моменты особыми точками). Камень на вершине горы находится в неустойчивом положении: достаточно легкого толчка, чтобы он обрушился вниз, увлекая за собой лавину. Подобным образом спичка, вызывающая лесной пожар, неосторожно брошенное слово, способное привести к мировой катастрофе, крохотный ген, в зависимости от которого люди становятся мудрецами или идиотами, — все это примеры явлений неустойчивости. Факторы неустойчивости пробивают брешь в эволюции детерминистического мира: в моменты потери устойчивости безотказно действовавшие ранее законы нарушаются и эффекты, пренебрежимо малые при других обстоятельствах, становятся доминирующими.

Максвелл предостерегал своих ученых коллег против недооценки роли этих особых точек в научном познании:

Таким образом, если те, кто культивирует физическую науку,… в погоне за ее волшебным зельем придут к изучению особых точек и неустойчивости, сменившей непрерывность и стабильность вещей, то успехи естествознания, возможно, позволят устранить предрасположение к детерминизму, проистекавшее единственно из допущения, что физическая наука будущего — всего лишь увеличенное изображение физической науки прошлого.

Лидер физической науки своего времени, Максвелл стал пророком для следующего поколения ученых. Некоторые из его работ по кинетической теории газов способствовали закату детерминизма. Трещины и пробелы, которые Максвелл увидел в детерминистической схеме, вскоре расширились, и детерминистический мир распался.

На смену детерминизму пришли статистические законы. Но прежде чем углубиться в новые проблемы, необходимо выяснить, что мы понимаем под статистическими законами. Приведем в качестве примера лишь одну из задач, которые успешно решают математическая статистика и теория вероятностей. Страховое дело получило в США широкое развитие. Совершенно очевидно, что любая попытка предсказать, исходя из первых принципов, когда умрет какой-то конкретный человек, обречена на провал. Тем не менее, опираясь на данные о продолжительности жизни тысяч людей и используя методы теории вероятности, страховые компании занимаются страхованием жизней, взимая суммы, устраивающие и тех, кто выплачивает страховой полис, и компанию, берущую на себя риск.

Применение статистических законов в физике началось со статистической механики, где еще можно было предполагать, что, детально описав миллионы столкновений молекул, ведущих себя детерминистически, мы могли бы, например, предсказать поведение газа; но это число столь велико, что рассматривать подобные «коллективные эффекты» можно только статистическими методами. Первым стал широко использовать статистические законы Людвиг Больцман в своих работах по кинетической теории газов. Его подход был радикальным шагом в эпоху, когда господствовали идеи механицизма и детерминизма, и вызвал ожесточенные споры. Задачу физики Больцман видел не в сборе эмпирических данных и последующей оценке их с точки зрения известных законов и умозрительных построений, а в том, чтобы привести наше мышление, идеи и понятия в соответствие с эмпирическими данными. Статистическую механику Больцмана его современники восприняли не более как измышления «математического террориста».

Процесс радиоактивности, кажущееся произвольным поведение электронов одновременно и как волн, и как частиц, непредсказуемый распад атомных ядер — все эти новые явления подрывали устои детерминизма. Невозможно было предсказать достоверно и поведение квантов Планка, фотонов Эйнштейна или «скачки» электронов в модели атома Бора.

Сформулированный Гейзенбергом в 1927 г. принцип неопределенности (см. гл. X) также сыграл важную роль в потрясении основ детерминизма. В статье, опубликованной в 1927 г., Гейзенберг подверг критике и причинность, и детерминизм:

Согласно формулировке «жесткого» принципа причинности, если мы точно знаем настоящее, то можем вычислить будущее; но в действительности речь идет не о незыблемом законе (который неверен), о допущении. Мы в принципе не можем знать настоящее во всех его детерминированных подробностях. Следовательно, все наше восприятие — это право произвести отбор из огромного числа возможностей и наложить ограничения на будущие возможности. Поскольку статистический характер квантовой теории столь тесно связан с неточностью нашего восприятия, возникает подозрение, что за воспринимаемым статистическим миром скрывается другой «реальный» мир, в котором выполняется принцип причинности. Но такого рода умозрительные заключения представляются нам… бесцельными и бесплодными. Физика должна давать только формальное описание связи между восприятиями. Гораздо более точная констатация реальных фактов состоит в следующем: так как все эксперименты удовлетворяют законам квантовой механики, она неопровержимо свидетельствует о том, что принцип причинности не выполняется.

Принцип неопределенности Гейзенберга вовсе не сводится к утверждению о том, что причинные связи квантовых явлений находятся за пределами возможности их обнаружения; он со всей очевидностью предполагает, что таких связей просто не существует. Именно к такому выводу пришел сам Гейзенберг. С появлением принципа неопределенности классическая причинность и детерминизм утрачивают смысл. Квантовая механика оперирует только статистическими понятиями. Она не дает точного описания отдельной частицы и точного предсказания ее поведения. Однако квантовая механика позволяет с высокой точностью предсказывать поведение больших ансамблей частиц.

Рихард фон Мизес и другие ученые, размышляя над проблемами квантовой механики, отстаивали идею недетерминированности реального мира. Все детерминированные законы, по мнению этих исследователей, представляют собой не что иное, как приближенное и чисто пассивное отражение вероятностных соотношений, подчиняющихся законам случая. Отдельные процессы и события в атомном мире тем самым ставятся «вне закона». Как указывал Эддингтон в книге «Природа физического мира» (1933), «физика сделала детерминизм непрочным».

В 1957 г. Ганс Рейхенбах в работе «Атом и космос» подчеркивал точность вероятностной интерпретации всех физических результатов. Наиболее вероятное и есть то, что лежит в пределах ошибки наблюдения. Только в больших масштабах, когда огромное число атомов участвует в процессах, идущих с высокой вероятностью, мы можем считать явления практически достоверными. Но в принципе даже крупномасштабные процессы носят вероятностный характер. Понятия пространства, времени, вещества, силы, причинности и законов природы заимствованы из обыденного человеческого опыта, приобретенного в мире «средних размеров», и заведомо непригодны для описания явлений на атомном уровне.

Долгое время одни выдающиеся физики (Борн, Бор и Паули) придерживались с незначительными вариациями точки зрения, что все явления природы подлежат лишь вероятностной интерпретации, тогда как другие, не менее крупные физики (Планк, Эйнштейн, фон Лауэ, де Бройль, Шрёдингер и другие) не соглашались с ними, придерживаясь концепций причинности и детерминизма, восходящих к классической механике. Суть спора сводилась главным образом к следующему: является ли статистический характер законов квантовой физики временной «платой» за неполное знание и не уступят ли эти законы со временем место другим, столь же детерминированным, как законы ньютоновской механики, или же статистические законы объективны, т.е. не зависят от нашего знания и сознания, и соответствуют явлениям, реально происходящим в микромире.

Широко известно высказывание Эйнштейна, что «Бог не играет в кости». Эту мысль Эйнштейн подчеркивал и в двух письмах, приведенных в книге Рональда У. Кларка «Эйнштейн: жизнь и времена». В первом письме (1926), адресованном Максу Борну говорится:

Квантовая механика, безусловно, впечатляет. Но внутренний голос подсказывает мне, что ее пока нельзя считать реальной. Теория многое говорит, но ни на йоту не приближает нас к секрету Старика. Я, во всяком случае, убежден, что Он не бросает кости.

Во втором письме, написанном гораздо позже и адресованном Джеймсу Франку, Эйнштейн заявляет:

Я могу еще, если на то пошло, понять, что Господь Бог мог сотворить мир, в котором нет законов природы. Короче говоря, хаос. Но то, что должны быть статистические законы с вполне определенными решениями, например законы, вынуждающие Господа Бога бросать кости в каждом отдельном случае, я считаю в высшей степени неудовлетворительным.

В Сборнике «Мир, каким я вижу его» (1934) Эйнштейн говорит: «Господь Бог изощрен, но не злонамерен». Кроме того, в коллективной статье{16}, опубликованной в журнале Physical Review за 1935 г., Эйнштейн утверждает, что волновая механика неполна. По мнению авторов статьи, со временем должна появиться статистическая квантовая теория, аналогичная статистической механике: движения отдельных частиц (например, молекул газа) должны быть детерминированы, но вследствие большого числа частиц эта теория должна использовать статистику и теорию вероятностей. То же мнение выразил (1978) Поль А.М. Дирак, английский физик, внесший значительный вклад в создание новой физики: