Морис Клайн - Математика. Поиск истины.

• Название: Математика. Поиск истины.
• Автор: Морис Клайн
• Издательство: Мир
• Жанр: Математика
• Год: 1988

Книга известного американского математика, популяризатора науки Мориса Клайна ярко и увлекательно рассказывает о роли математики в сложном многовековом процессе познания человеком окружающего мира, ее месте и значении в физических науках. Имя автора хорошо знакомо советским читателям: его книга «Математика. Утрата определенности» (М.: Мир, 1984) пользуется заслуженным успехом в нашей стране.

Предназначена для читателей, интересующихся историей и методологией науки.

---

Ряд других оптических иллюзий связан с явлением рефракции, или преломления, света. Всем нам приходилось замечать, что палка, частично погруженная в воду, кажется переломленной в том месте, где она входит в воду.

С древних времен внимание людей привлекало такое проявление рефракции в воздухе как мираж. Это явление порождается совместным действием двух эффектов: разного преломления лучей света в неодинаково нагретых Солнцем (и потому имеющих различную плотность) слоях воздуха и полного внутреннего отражения. Когда нам случается в жаркий день ехать на автомобиле по длинному прямому участку гладкого ровного шоссе, то мы наблюдаем еще один мираж. Издали кажется, будто дорога впереди покрыта водой, но, подъехав ближе, мы убеждаемся, что воды нет и в помине. Чем же обусловлен такой эффект?

Мираж возникает только в том случае, если поверхность дороги сильно нагрета солнцем. Соприкасаясь с дорожным полотном, воздух нагревается, плотность его становится меньше, и более легкие нижние слои поднимаются вверх. Следовательно, свет в нижних слоях преломляется слабее, чем в верхних. Представим себе эту последовательность слоев с меняющейся плотностью (рис. 18). Проходя через них, свет попадает в наши глаза из нижних слоев, расположенных у самой земли. Наблюдатель видит свет, идущий в действительности из точки A, как бы приходящим из точки В. Именно такую картину он наблюдал бы, если бы перед ним простиралась водная поверхность, так как при взгляде на нее или на мокрую дорогу он увидел бы отражение неба. Таким образом, нагрев дороги создает такую же картину отражения света, какую мы привыкли связывать с водной поверхностью. Зрение вводит нас в заблуждение, и нам кажется, что дорога залита водой или что впереди расстилается водная поверхность.

Рис. 18.

Большинство приведенных нами примеров оптической иллюзии придуманы, причем намеренно, психологами. Но чтобы убедиться в постоянных ошибках зрения и понять, чем они вызваны, совсем не обязательно обращаться к искусственным примерам. Из-за рефракции света в земной атмосфере, мы продолжаем видеть Солнце и после того, как оно скрывается за горизонтом. Земля кажется нам плоской. Мы «своими глазами» видим, как Солнце обращается вокруг Земли, которая кажется нам неподвижной. Предположим, что Солнце стоит высоко в небе. На вопрос «Видите ли вы сейчас Солнце?» вы, не задумываясь, отвечаете утвердительно. Между тем испускаемый Солнцем свет доходит до нас только через восемь минут, а за это время может произойти немало событий (например, Солнце может взорваться). Когда Солнце стоит у самого горизонта, мы видим его не круглым, а несколько сплюснутым: вертикальный диаметр Солнца кажется нам несколько укороченным. Это явление также обусловлено преломлением солнечных лучей в атмосфере. Звезды же, находящиеся от нас на невообразимо больших расстояниях, кажутся нам крохотными пятнышками света.

Искажения видимых изображений часто называют иллюзиями, но «иллюзии» необычайно многообразны. Сигналы о цветовых ощущениях поступают в мозг от сетчатки глаза по трем каналам. Существуют три типа цветовых рецепторов (колбочек), каждый из них чувствителен к одному из трех первичных цветов: красному, зеленому или синему. Белый свет возбуждает все три цветовых канала. Каждый предмет поглощает одни световые лучи и отражает другие. Видимый нами цвет — это то, что предмет отражает. Белый предмет отражает падающий на него свет во всем спектре. Но является ли коричневый стол в действительности коричневым? Пламя свечи в ярко освещенной комнате выглядит тусклым, а в темной комнате — ярким. Кусок дерева кажется нам твердым, а в действительности представляет собой весьма рыхлую структуру из атомов, удерживаемых силами межатомного сцепления. Твердость куска дерева — это не твердость сплошной среды.

Ошибки свойственны и другим типам ощущений: температуры, вкуса, громкости и высоты звука, скорости движения. Примером может служить иллюзия в восприятии температуры. Опустите одну руку в таз с горячей водой, а другую — в таз с холодной. Выждав несколько минут, погрузите обе руки в таз с чуть теплой водой. Хотя обе руки теперь находятся в одной и той же воде, руке, бывшей перед этим в тазу с горячей водой, она кажется прохладной, тогда как другой руке — теплой. Интересно отметить, что если руку погрузить в воду, нагреваемую (или охлаждаемую) постепенно, так что изменение температуры происходит незаметно, то рука успевает адаптироваться к изменению температуры.

Вкусовые ощущения также порождают иллюзии. Сладкие напитки постепенно начинают казаться менее сладкими. Подержите несколько секунд во рту крепкий раствор сахара в воде, а затем попробуйте на вкус обычную пресную воду — вы отчетливо ощутите солоноватый привкус.

Ошибки в оценке скорости общеизвестны. После получасовой поездки по скоростной автотрассе нам кажется, что автомобиль, едущий со скоростью около 50 км/ч, тащится до смешного медленно. Общеизвестна иллюзия, возникающая при встрече двух поездов на станции. Если ваш поезд стоит, а встречный движется, то вы легко впадаете в заблуждение, и вам кажется, что ваш поезд также движется.

Некоторые искажения в нашем чувственном восприятии возникают, когда наши рецепторы утомляются или адаптируются к продолжительному и интенсивному раздражению. Такое может случиться с любым из наших органов чувств и привести к весьма серьезным ошибкам. В качестве примера можно привести хотя бы иллюзию тяжести. Если в течение нескольких минут подержать в руках тяжелый предмет, то после этого другой, более легкий предмет покажется нам почти невесомым.

Помимо иллюзий, связанных с чувственным восприятием реальных физических объектов или явлений, необходимо иметь в виду и ограниченность восприятия наших органов чувств. Нормальное человеческое ухо способно различать на слух частоты в пределах 20-20 000 Гц (колебаний в секунду). Нормальный человеческий глаз воспринимает свет с длиной волны (см. гл. VII) в диапазоне 380-760 нм (1 нм = 10-9 м). И звук, и свет (точнее электромагнитные волны) существуют и физически реальны в гораздо более широком диапазоне, чем тот, который доступен нашим органам чувств. Даже белый свет не белый, а, как показал еще Ньютон, представляет собой смесь многих частот. Наш глаз регистрирует только смесь, не разлагая ее на отдельные компоненты. В действительности в реальном мире нет красок. Цвет по словам Гёте, — это то, что мы видим.

Мы воспринимаем непосредственно не физический объект, а информацию о нем, которую дают наши органы чувств. Они же дают и всегда будут давать не подлинное изображение объективной реальности, доступной или недоступной нам, а скорее картину отношений между человеком и реальностью.

Тем не менее люди считают, что наша интуиция действует и за пределом чувственного опыта и мы можем с уверенностью полагаться на нее. Попробуем разобраться, сколь надежна человеческая интуиция.

Предположим, что некто совершает поездку на автомобиле из Нью-Йорка в Буффало (расстояние 400 миль) и по дороге туда развивает скорость 60 миль/ч, а по дороге обратно — всего лишь 30. Какова его средняя скорость? Интуиция почти заведомо подсказывает нам, что средняя скорость равна 45 миль/ч. Правильный же ответ, который получается, если расстояние разделить на время в пути, оказывается иным: около 40 миль/ч.

Рассмотрим еще несколько примеров проявления нашей хваленой интуиции. Предположим, что мы открыли в банке счет на сумму P долл. Банк выплачивает вкладчикам i процентов годовых, причем проценты начисляются не от начальной, а от текущей суммы (сложные проценты). Мы хотим выждать, покуда исходная сумма не удвоится. Предположим, что это произойдет через n лет. Интуиция подсказывает нам, что если бы мы открыли счет на сумму 2P долл., то она удвоилась бы быстрее, чем за n лет. В действительности же нам пришлось бы ждать удвоения нашего вклада одинаково долго.

Предположим, что некто сначала поднимается на веслах вверх по реке на 2 мили, а затем спускается вниз по реке на 2 мили. Скорость течения — 3 мили/ч. В стоячей воде наш гребец способен развивать скорость 5 миль/ч. Сколько времени — уйдет у него на весь путь туда и обратно? Интуиция подсказывает нам, что, когда лодка плывет вниз по реке, течение помогает ровно настолько, насколько оно мешает, когда лодка плывет вверх по реке. Следовательно, гребец преодолевает расстояние 4 мили со скоростью 5 миль/ч, затрачивая на весь путь туда и обратно 4/5 ч. Интуиция обманывает нас; на весь путь туда и обратно гребец затрачивает в действительности час с четвертью.

Предположим, что, желая приготовить мартини с более пикантным вкусом, мы добавляем к кварте джина кварту вермута. Интуиция подсказывает, что получатся две кварты мартини. Правильный ответ и на этот раз расходится с интуитивно ожидаемым: мартини получится одна и девять десятых кварты. Аналогичным образом, при смешивании пяти пинт воды и семи пинт спирта не получится двенадцать пинт смеси. В обоих случаях молекулы располагается более экономно.