Генри Дьюдени - Пятьсот двадцать головоломок

• Название: Пятьсот двадцать головоломок
• Автор: Генри Дьюдени
• Издательство: Мир
• Жанр: Математика
• Год: 1975

Генри Э. Дьюдени по праву считается классиком занимательной математики. Многие его задачи, породив обширную литературу и вызвав многочисленные подражания, вошли в ее золотой фонд.

В предлагаемой книге собрано 520 задач и головоломок Дьюдени по арифметике, алгебре, геометрии, разрезанию и составлению фигур. Читателя ждет встреча с постоянно действующими героями Дьюдени — семейством Крэкхэмов, профессором Рэкбрейном и др.

Книга доставит удовольствие всем любителям занимательной математики.

---

44. Между рождением Клеопатры и смертью Боадицеи прошло 129 лет, но, поскольку их суммарный возраст равнялся всего лишь 100 годам, был период времени в 29 лет, когда ни одной из них не было на свете (то есть период между смертью Клеопатры и рождением Боадицеи). Следовательно, Боадицея родилась через 29 лет после смерти Клеопатры, последовавшей в 30 г. до н. э., а именно в 1 г. н. э.

45. Робинсону 32 года, его брату — 34, сестре — 38, а матери 52 года.

46. Если бы это были обыкновенные часы, то они показывали бы 4 ч 23 мин. Но поскольку минутная стрелка двигалась в направлении, противоположном часовой, то истинное время составляло 4 ч 36 мин. Чтобы получить истинное время, надо из 60 вычесть то количество минут, которое показывают часы.

47. Это бывает в 9 ч 6¾ мин, когда часовая стрелка проходит путь в 45 (6¾ в квадрате) минутного деления (после XII). Если бы мы допустили дроби, меньшие одной минуты, то нашлось бы еще одно решение, а именно: 12 ч 5 с ( мин).

48. Впервые это произойдет в 12 ч 5 мин, что можно будет неправильно истолковать (из-за идентичности стрелок) как 1 ч мин.

49. Если циферблат треснет так, как показано на рисунке, то сумма цифр в каждой из четырех частей будет равна 20. Искушенный читатель сразу заметит, что поскольку три десятки (римская цифра X имеется ввиду и в числах IX и XI) соседствуют друг с другом, то две из них должны быть объединены в одной части. Это можно сделать двумя способами.

[В первом издании своих занимательных задач Дьюдени дал воистину дьявольское решение этой головоломки: IX надо было рассматривать вверх ногами и истолковывать как XI[30]. (Именно так и делается на исходном рисунке.) Позже автор привел решение, показанное здесь. Существует еще двенадцать решений. Читателю предлагается самому отыскать их.

Предполагается, что римские цифры неподвижно прикреплены к ободку циферблата. Трещина может пересекать цифру, как показано на рисунке, но не может окружить какую-либо цифру, отделив ее от ободка. — М. Г.]

50. Вечер начался в 10 ч 59 мин, а когда гости посмотрели на стрелки, поменявшиеся местами, те показывали 11 ч 54 мин.

51. Истинное время равнялось 2 ч 5 мин.

52. В 3 ч 23 мин.

53. В 3 ч 41 мин.

54. Для того чтобы угол между стрелками был прямым, минутная стрелка должна быть точно на 15 мин впереди или сзади часовой. Каждое из этих положений встретится за 12 ч 11 раз, то есть через каждые 1 ч 5 мин. Если восемь таких промежутков времени пройдет после 9 ч, то часы будут показывать 5 ч 43 мин. С другой стороны, если после 3 ч пройдет два таких промежутка, то мы получим 5 ч 43 мин. Это и есть те два момента времени, которые требовалось найти в задаче, причем второй момент наступит, разумеется, раньше первого.

55. В 8 ч 23 мин и в 4 ч 41 мин. В головоломках с часами мы исходим из предположения, что на часах можно определить дробные доли минуты.

56. До вершины холма 6¾ км. Вверх Вилли-Лежебока взбирался 4½ ч, а вниз спустился за 1½ ч.

57. Поскольку человек проходит 27 шагов за то время, за которое автомобиль проезжает расстояние в 162 шага, ясно, что автомобиль движется в 6 раз быстрее человека. Человек движется со скоростью 3½ км/ч; следовательно, скорость автомобиля 21 км/ч.

58. Если бы каждый бегун, достигнув верхней площадки лестницы, сделал целое число полных шагов и неукороченный последний шаг, то наименьшим возможным числом ступенек было бы, конечно, 60 (3 × 4 × 5). Но из исходного рисунка видно, что у А, шагающего через 3 ступеньки, последний шаг будет длиной лишь в одну ступеньку. Б, перепрыгивающий через 4 ступеньки, на последнем шаге преодолеет всего лишь 3 ступеньки. И К, перепрыгивающему по 5 ступенек, на последнем шаге останется перескочить только через 4 ступеньки. Следовательно, нам надо найти наименьшее число, которое при делении на 3 дает в остатке 1, при делении на 4 дает 3 и при делении на 5 дает остаток, равный 4. Это число равно 19. Таким образом, лестница содержит 19 ступенек, из которых только 4 не изображены на рисунке.

59. Надо заметить (и в этом ключ к решению), что человек из Б. проходит 7 км за то же время, за которое человек из Э. проходит 5 км. Пусть, к примеру, расстояние между городами 24 км, тогда они встретились на расстоянии 14 км от Э. Человек из Э. двигался со скоростью 3 км/ч, а человек из Б. — со скоростью 4⅘ км/ч. Оба закончили свой путь в 7 час. вечера.

60. Велосипедист проедет один километр за 3 мин, или со скоростью км/мин. Ветер изменяет его скорость на км/мин. Следовательно, по ветру он движется со скоростью км/мин, а против ветра — со скоростью км/мин, так что 1 км он проезжает за 3 и за 4 мин соответственно, как и утверждалось.

61. За 3 мин. Команда в стоячей воде проходит ⅕ всего расстояния в минуту, а течение — всего расстояния в минуту. Разность и сумма этих дробей равны соответственно и . Следовательно, путь против течения займет (или 8) мин, а по течению (или 3) мин.

62. Если я прошагаю 26 ступенек; то мне потребуется на спуск 30 с, а если 34, то — 18 с. Умножая 30 на 34 и 26 на 18, мы получим 1020 и 468, разность между этими числами равна 552. Разделив ее на разность между 30 и 18 (то есть на 12), мы получаем в ответе 46, число ступенек на эскалаторе, который движется со скоростью 1 ступенька за 1½ с. Скорость, с которой я двигаюсь по эскалатору, роли не играет, поскольку ступенька, с которой я схожу, достигает платформы в один и тот же момент вне зависимости от того, что я делал до этого.

63. Пусть Андерсон проедет 11 км, бросит велосипед и оставшуюся часть пути пройдет пешком. Браун будет идти пешком до тех пор, пока не подберет велосипед, а затем проедет на нем оставшуюся часть пути. При этом он прибудет в пункт назначения одновременно с Андерсоном, и весь путь займет у них 3 ч 20 мин. Можно также разделить 20 км на 9 участков по 2 км каждый, причем Андерсон должен будет ехать первым. В этом случае Андерсон проедет каждый из своих 5 участков за ч и пройдет пешком каждый из оставшихся 4 участков за ч, затратив на весь путь 3⅓ ч. Браун проедет каждый из своих 4 участков за ч и пройдет пешком каждый из оставшихся 5 участков за ч, затратив на весь путь также 3⅓ ч. Расстояния, которые проедут Андерсон и Браун соответственно, относятся друг к другу как 5 к 4, а расстояния, которые они пройдут пешком, как 4 к 5.

64. Андерсон проезжает 7, Браун 1, а Картер 11 км, что в сумме составляет 20 км. Они могут ехать в любом порядке, но при этом каждый должен воспользоваться велосипедом только один раз, а второй ездок должен идти пешком и до и после езды. Путешествие займет у каждого 3 ч, и, следовательно, все прибудут в пункт назначения одновременно.

65. Аткинс везет Кларка 40 км и высаживает, чтобы оставшиеся 12 км тот прошел пешком. Затем он возвращается назад, в 16 км от старта подбирает Болдуина и везет его до конца пути. Все трое тратят на дорогу 5 ч. Другое решение состоит в том, что Аткинс сначала 36 км везет Болдуина и возвращается за Кларком, прошедшим к этому времени 12 км. Мотоцикл в обоих случаях проехал по 100 км, в том числе 24 км без пассажиров.

66. Проделанное связным расстояние равно квадратному корню из удвоенного квадрата 40, прибавленному к 40, что составляет 96,568 км, или приблизительно 96½ км.

67. Относительная скорость встречных поездов составляет 600 футов в 5 с, или 81 миль/ч. Когда поезда движутся в одном направлении, то их относительная скорость составляет 600 футов в 15 с, или 27 миль/ч. Отсюда мы получаем, что скорость более быстрого поезда равна 54 миль/ч, а скорость более медленного — 27 миль/ч.

68. Существуют два расстояния, удовлетворяющих условию задачи, — 210 и 144 мили. Последней случай исключен, так как в условии сказано, что поезда движутся со скоростями, «не слишком отличающимися от обычных». (Если бы мы приняли расстояние в 144 мили, то А прошел бы 140 миль за то же время, за которое B и D прошли бы 4 мили. Так что если бы последние шли со скоростью 2 миль/ч, то первый делал бы 70 миль/ч — скорость, которую, конечно, нельзя назвать «не слишком отличающейся от обычных»!) Если расстояние равно 210 милям, то окажется, что скорости B и D в два раза меньше скорости A, а скорость C составляет ¾ скорости A, что выглядит вполне разумным.

69. Расстояние от Англчестера до Клинкертона составляет 200 миль. Поезд прошел 50 миль со скоростью 50 миль/ч и 150 миль со скоростью 30 миль/ч. Если бы поломка произошла на 50 миль дальше, то поезд прошел бы 100 миль со скоростью 50 миль/ч и 100 миль со скоростью 30 миль/ч.