Генри Дьюдени - Пятьсот двадцать головоломок

• Название: Пятьсот двадцать головоломок
• Автор: Генри Дьюдени
• Издательство: Мир
• Жанр: Математика
• Год: 1975

Генри Э. Дьюдени по праву считается классиком занимательной математики. Многие его задачи, породив обширную литературу и вызвав многочисленные подражания, вошли в ее золотой фонд.

В предлагаемой книге собрано 520 задач и головоломок Дьюдени по арифметике, алгебре, геометрии, разрезанию и составлению фигур. Читателя ждет встреча с постоянно действующими героями Дьюдени — семейством Крэкхэмов, профессором Рэкбрейном и др.

Книга доставит удовольствие всем любителям занимательной математики.

---

43. Узнайте день рождения. Один читатель сообщил нам, что к полудню 11 ноября 1928 г. он прожил в XIX в. ровно столько же, сколько и в XX. Нам, конечно, захотелось узнать дату его рождения. Может быть, вы тоже сможете это сделать? Будем считать, что он родился в полдень,

44. Рождение Боадицеи. Боадицея[3] умерла через 129 лет после рождения Клеопатры. Их суммарный возраст (то есть сумма продолжительностей жизни каждой) равнялся ста годам. Клеопатра умерла в 30 г. до н. э. Когда родилась Боадицея?

45. Возраст Робинсона.

— Сколько вам лет, Робинсон? — спросил однажды полковник Крэкхэм.

— Точно не помню, — ответил тот, — но мой брат на 2 года старше меня. Моя сестра на 4 года старше брата. Когда я родился, моей маме было 20 лет, а вчера мне сказали, что средний возраст всех четверых составляет 39 лет.

Сколько лет Робинсону?

46. Часы из страны сновидений. Во сне я путешествовал по стране, где происходят удивительные вещи. Один случай запомнился мне так хорошо, что я не забыл его, даже когда проснулся. Во сне я увидел часы и произнес вслух время, которое они показывали, но мой проводник поправил меня. Он сказал:

— Очевидно, вы не знаете, что у нас минутные стрелки всегда движутся в направлении, противоположном часовым. Во всем остальном наши часы в точности такие же, как и те, к каким вы привыкли.

Если в тот момент, когда я смотрел на часы, обе стрелки совпали и находились между четырех- и пятичасовым делениями, а в полдень они обе показывали XII, то сколько времени было в ту минуту на обычных часах?

47. Когда это бывает? Когда стрелки часов располагаются таким образом, что если за расстояние принять число минутных делений после XII, то путь, пройденный одной из стрелок, равен квадрату пути, пройденному другой?

48. Часы с неразличимыми стрелками. У одного человека были часы, на которых совершенно невозможно было отличить часовую стрелку от минутной. Если эти часы пущены в полдень, то когда впервые нельзя будет узнать точное время?

Читатель должен помнить, что в подобных головоломках с часами существует соглашение, по которому считается, что мы в состоянии определять доли секунды. При таком допущении можно дать точный ответ.

49. Треснувший циферблат. Полковник Крэкхэм спросил за завтраком своих домашних, смогли бы они по памяти изобразить римские цифры, которые украшают циферблат часов. Джордж попал в ловушку, в которую многие уже попадали до него: он обозначил 4 ч цифрой IV вместо IIII.

Затем полковник Крэкхэм предложил угадать, как можно разбить циферблат на четыре части, чтобы при этом сумма цифр в каждой части равнялась 20. Чтобы пояснить, как это делается, полковник показал рисунок, на котором сумма цифр в двух частях действительно равна 20 (зато в двух остальных частях она равна соответственно 19 и 21, что делает этот пример непригодным в качестве решения).

50. Когда начался бал?

— На последнем балу, — сказала Дора во время завтрака, — гости подумали, что часы остановились: их стрелки находились в том же положении, что и в начале вечера. Однако оказалось, что часовая и минутная стрелки просто поменялись местами. Как вы помните, бал начался между десятью и одиннадцатью часами. Не можете ли вы назвать время более точно?

51. Перепутанные стрелки.

— Вчера между двумя и тремя часами, — сказал полковник Крэкхэм, — я взглянул на часы и, перепутав часовую стрелку с минутной, ошибся в определении времени. Ошибочное время было на 55 минут меньше истинного. Сколько времени было на самом деле?

52. Равные расстояния. Несколько дней назад профессор Рэкбрейн огорошил своих студентов следующей головоломкой: «Когда между тремя и четырьмя часами минутная стрелка находится на том же расстоянии от VIII, что и часовая от XII?»

53. Справа и слева. В какое время между тремя и четырьмя часами минутная стрелка находится на таком же расстоянии слева от XII, на каком часовая стрелка находится справа от XII?

54. Под прямым углом. Однажды за завтраком профессор Рэкбрейн задал своим юным друзьям легкий вопрос:

— Когда между пятью и шестью часами часовая и минутная стрелки будут находиться точно под прямым углом?

55. Вестминстерские часы. Один человек шел как-то утром по Вестминстерскому мосту между восьмью и девятью часами, если судить по башенным часам (которые часто по недоразумению называют Большим Беном, хотя так называется только большой колокол; но это между прочим). Возвращаясь между четырьмя и пятью часами, он заметил, что стрелки поменялись местами. В какое время человек шел по мосту туда и обратно?

56. По холму. Вилли-Лежебока взбирался вверх по холму со скоростью 1½ км/ч, а спускался со скоростью 4½ км/ч, так что все путешествие заняло у него ровно 6 ч. Сколько километров от подножия до вершины холма?

57. Скорость автомобиля.

— Я шел по дороге со скоростью 3½ км/ч, — сказал мистер Пипкинс, — как вдруг мимо, едва не сбив меня с ног, промчался автомобиль[4].

— А с какой скоростью он ехал? — спросил его друг.

— Сейчас скажу. С того момента, как он промчался мимо меня, до того, как он скрылся за поворотом, я сделал 27 шагов и затем, не останавливаясь, дошел до поворота, пройдя еще 135 шагов.

— Тогда мы сможем легко определить скорость автомобиля, если считать, что ваши скорости были постоянны.

58. Гонки по лестнице. На рисунке схематически изображен финиш гонок по лестнице, в которых принимали участие три человека. Акворт, лидер, перепрыгивал сразу через три ступени, Барнден, второй участник гонок, — через четыре, а последний бегун, Крофт, одним махом перекрывал пять ступенек. Из рисунка ясно, что победителем оказался Акворт. Сколько ступенек в лестнице, по которой бежали участники гонок, если верхнюю площадку также считать ступенькой? Следует иметь в виду, что на рисунке показана лишь верхняя часть лестницы. Под нижней чертой могут быть еще сотни ступенек. Поскольку нас интересует только финиш, на рисунке они не изображены. Однако рисунок позволяет определить наименьшее число ступенек, которое может содержать эта лестница.

59. Прогулка. Один человек в полдень отправился прогуляться из Эплминстера в Бонихэм, а его приятель в два часа того же дня вышел из Бонихэма в Эплминстер. По пути они встретились. Встреча произошла в пять минут пятого, после чего приятели одновременно пришли в свои конечные пункты. Когда они закончили свой путь?

60. Езда в ветреную погоду. Велосипедист проезжает километр за 3 мин, если ветер дует в спину, и за 4 мин, если ехать приходится против встречного ветра. За сколько времени он проедет 1 км, если ветер утихнет? Кто-нибудь, возможно, скажет, что, поскольку среднее арифметическое 3 и 4 равно 3½ велосипедисту потребуется 3½ мин, однако такое решение неверно.

61. Головоломка с гребцами. Команда гребцов может пройти на своей лодке данное расстояние против течения за 8 мин. В отсутствие течения это же расстояние она проходит за время на 7 мин меньше, чем то, которое потребуется, чтобы пройти его по течению. За сколько минут команда проходит данное расстояние по течению?

62. Эскалатор. Находясь на одном из эскалаторов лондонского метро, я обнаружил, что, прошагав 26 ступенек, я спустился бы до платформы за 30 с. Но если бы я прошагал 34 ступеньки, весь спуск занял бы 18 с. Сколько ступенек в эскалаторе? Время измеряется от момента, когда верхняя ступенька начинает опускаться, до того момента, когда я схожу с последней ступеньки на платформу.

63. Один велосипед на двоих. Двум братьям нужно было отправиться в путь и прибыть в пункт назначения одновременно. У них был только один велосипед, на котором они ехали по очереди, причем тот, кто ехал, когда истекало его время, слезал с велосипеда и, оставив его у забора, шел вперед пешком, не ожидая брата, а тот, кто шел сзади, дойдя до этого места, подбирал велосипед и ехал свое время и т. д. Где им лучше всего меняться велосипедом? Если скорости движения пешехода и велосипедиста одинаковы, то решить задачу крайне легко. Следует просто разделить путь на четное число участков равной длины и меняться велосипедом в конце каждого такого участка, который можно определить, например, по счетчику расстояния. В этом случае каждый из братьев половину пути пройдет пешком, а половину проедет на велосипеде.

Но вот аналогичная задача, которая решается не столь просто. Андерсон и Браун должны преодолеть расстояние в 20 км и одновременно прибыть в пункт назначения. У них один велосипед на двоих. Андерсон проходит пешком лишь 4, а Браун — 5 км/ч. Зато на велосипеде Андерсон едет со скоростью 10, а Браун лишь 8 км/ч. Где им надо меняться велосипедом? Каждый из них или едет, или идет пешком, не делая в пути ни одного привала.