Генри Дьюдени - Пятьсот двадцать головоломок

• Название: Пятьсот двадцать головоломок
• Автор: Генри Дьюдени
• Издательство: Мир
• Жанр: Математика
• Год: 1975

Генри Э. Дьюдени по праву считается классиком занимательной математики. Многие его задачи, породив обширную литературу и вызвав многочисленные подражания, вошли в ее золотой фонд.

В предлагаемой книге собрано 520 задач и головоломок Дьюдени по арифметике, алгебре, геометрии, разрезанию и составлению фигур. Читателя ждет встреча с постоянно действующими героями Дьюдени — семейством Крэкхэмов, профессором Рэкбрейном и др.

Книга доставит удовольствие всем любителям занимательной математики.

---

353. Сложив AB вдвое, найдите середину E. Согните бумагу вдоль EC. Совместите EB с EC и согните так, чтобы получить EF и FG. Сделайте так, чтобы отрезок CH стал равным отрезку CG. Найдите K — середину отрезка BH и отложите отрезок CL, равный BK. Отрезок KL — сторона правильного пятиугольника. Затем отложите (см. правую часть рисунка) отрезки KM и LN, равные KL, так, чтобы M и N соответственно лежали на BA и CD. Согнув бумагу вдоль PQ, отложите MO и NO, равные KM и LN. Многоугольник KMONL и есть искомый пятиугольник.

354. Соединив между собой края AB и CD, вы можете отметить сгибами средние точки E и G. Аналогичным образом вы можете найти точки F и H, а затем согнуть квадрат EHGF. Далее совместите CH с EH и EC с EH, при этом вы получите точку пересечения 1. Сделайте то же самое с оставшимися тремя углами — сгибы очертят правильный восьмиугольник, который затем можно будет вырезать с помощью ножниц.

355. Сложите квадрат пополам вдоль FE. Загните сторону AB так, чтобы точка B легла на FE, и вы получите точки G и H, через которые можно провести сгиб HGJ. Оставляя точки B и G по-прежнему совмещенными, отогните AB назад на AH, и вы получите прямую AK. Теперь вы можете сложить треугольник AJK — наибольший равносторонний треугольник из всех возможных.

356. Отогнув угол A, найдите точку C, которая делала бы отрезок BC равным отрезку AB, и перегните полоску, как показано в случае 1. Вы получите точку D. Далее согните полоску так, как показано в случае 2, чтобы ее край прошел вдоль AB. Вы получите точку E. Продолжая действовать аналогичным образом (случай 3), вы уложите всю полоску в форме пятиугольника. Это, как мы уже говорили, просто, но вместе с тем интересно и поучительно.

357. Разбейте AB пополам точкой C и проведите прямую CG параллельно BH. Затем найдите точку D (середину AC) и опишите полуокружность DB, пересекающую CG в точке E. Прямая DEF даст положение наикратчайшего сгиба.

358. Перенумеруйте марки, как было показано на исходном рисунке, то есть 1, 2, 3, 4 в первой и 5, 6, 7, 8 во второй строке. Чтобы сложить их в порядке 1, 5, 6, 4, 8, 7, 3, 2 (сверху видна только первая марка), начните следующим образом. Повернув все марки лицом вниз

5678 1234

согните полоску так, чтобы марка 7 пришлась на марку 6. Положите 4 на 8 и введите их обе между 7 и 6 так, чтобы эти четыре марки расположились в порядке 7, 8, 4, 6. Теперь поместите 5 и 1 под 6, и все готово.

Добиться, чтобы марки расположились в последовательности 1, 3, 7, 5, 6, 8, 4, 2, труднее, и ее можно легко проглядеть, если кто-нибудь не убежден, что в силу некоторого закона и такое расположение возможно. Сначала согните блок так, чтобы были видны только марки 5, 6, 7, 8, лежащие лицевой стороной кверху. Положите 5 на 6. Теперь между марками 1 и 5 вы можете поместить марки 7 и 8 так, чтобы марка 7 оказалась поверх марки 5, а марка 5, обернувшись кругом, оказалась под маркой 6, и нужный порядок получен.

359. Действуя следующим образом, вы за семь ходов удалите все фишки, кроме 1, которая и сделает последний прыжок: 2—10, 4—12, 6—5, 3—6, 7—15, (8—16, 8—7, 8—14, 8—3), (1—9, 1—2, 1—11, 1—8, 1—13, 1—4).

360. «Девятка» последовательно перепрыгивает через 13, 14, 6, 4, 3, 1, 2, 7, 15, 17, 16, 11. Затем 12 перепрыгивает через 8, 10 — через 5 и 12, а 9 — через 10.

361. Составьте за 9 ходов стопку из пяти фишек (от 1 до 5) в квадрате B. За 7 ходов постройте стопку из четырех фишек (от 6 до 9) в квадрате C. Образуйте стопку из трех фишек (от 10 до 12) в D за 5 ходов. Поместите в E стопку из двух фишек (13 и 14) за 3 хода. Переместите одну фишку (15) в F за 1 ход. Переместите 13 и 14 в F за 3 хода, 10 и 12 в F за 5, с 6 по 9 за 7 и с 1 по 5 за 9 ходов. Всего получится 49 ходов.

362. Передвигайте фишки в следующем порядке: 12, 8, 4, 3, 2, 6, 10, 9, 13, 15, 14, 12, 8, 4, 7, 10, 9, 14, 12. 8, 4, 7, 10, 9, 6, 2, 3, 10, 9, 6, 5, 1, 2, 3, 6, 5, 3, 2, 1, 13, 14, 3, 2, 1, 13, 14, 3, 12, 15, 3 — всего 50 ходов.

[Если фишки 14 и 15 расположены сначала в правильном порядке, то магический квадрат можно получить за 37 ходов: 15, 14, 10, 6, 7, 3, 2, 7, 6, 11, 3, 2, 7, 6, 11, 10, 14, 3, 2, 11, 10, 9, 5, 1, 6, 10, 9, 5, 1, 6, 10, 9, 5, 2, 12, 15, 3. — М. Г.]

363. Одну дополнительную фишку следует поместить в четвертом квадрате второго (сверху) ряда, а другую — во втором квадрате четвертого ряда. Головоломка оказывается столь просто разрешимой, что не требуется даже перечислять необходимые ходы.

364. Наименьшее число ходов 24. Действовать нужно следующим образом. (Необходимо всего лишь указать буквами, из какого круга в какой перемещается фишка. За один раз можно перемещать лишь одну фишку.) Итак, E в A, E в B, E в C, E в D, B в D, E в B, C в B, A в B, E в C, E в A, B в A, C в E, B в C, A в C, B в A, C в B, C в A, B в A, E в C, E в B, C в B, D в E, D в B, E в B — всего 24 хода.

365. Нарисуйте схему путей, как показано на рисунке, возьмите 5 фишек, обозначенных X, L, R, A и B. Паровозы — это L и R, два вагона справа — A и B. Три вагона слева разделять не следует, поэтому мы обозначим их X. Тупик обозначен через S. Далее действуйте следующим образом: R налево, R в S, XL направо, R налево, XLA налево, L загоняет A в S, L налево, XL направо, R к A, RA налево, XLB налево, L направляет B в S, L налево, LX направо, RA к B, RAB прямо. Всего получилось 14 ходов, поскольку в первом и третьем ходах (R налево и XL направо) не происходит изменения направления. За меньшее число ходов задачу решить нельзя.

366. Меняйте пары местами следующим образом: (1—7, 7—20, 20—16, 16—11, 11—2, 2—24), (3—10, 10—23, 23—14, 14—18, 18—5), (14—19, 19—9, 9—22), (6—12, 12—15, 15—13, 13—25), (17—21). Теперь все фишки правильно размещены за 19 ходов. Внутри скобок заключены полные циклы. Выпишите числа в исходном порядке, а под ними числа в правильном порядке так:

724101931220822и т. д. 123456789и т. д.

Структура циклов становится теперь очевидной: 1 в нижней строке меняется местами с 7 над ней, 7 — с 20 и т. д. до тех пор, пока мы не дойдем до 24 под 1.

367. Пусть солдаты двигаются в следующем порядке: 2—1, 3—2, 4—3, 5—11, 6—4, 7—5, 8—6, 9—7, 1—13, 9—10, 8—9, 1—12, 7—13, 6—8, 5—7, 1—11, 4—12, 3—6, 2—5, 1—1, 2—2, 3—3, 4—4, 5—5, 6—6, 7—7, 8—8, 9—9; тогда сержант окажется на нужном месте за 28 ходов.