Роджер Пенроуз - Тени разума. В поисках науки о сознании

• Название: Тени разума. В поисках науки о сознании
• Автор: Роджер Пенроуз
• Издательство: Институт компьютерных исследований
• Жанр: Философия
• ISBN: 5-93972-457-4, 0-19-510646-6

Книга знаменитого физика о современных подходах к изучению деятельности мозга, мыслительных процессов и пр. Излагаются основы математического аппарата — от классической теории (теорема Гёделя) до последних достижений, связанных с квантовыми вычислениями. Книга состоит из двух частей: в первой части обсуждается тезис о невычислимости сознания, во второй части рассматриваются вопросы физики и биологии, необходимые для понимания функционирования реального мозга.

Для широкого круга читателей, интересующихся наукой.

---

Пространство всех возможных комплексных отношений мы можем представить с помощью так называемой сферы Римана. Точки, образующие сферу Римана, соответствуют комплексным числам, либо ∞. Сферу Римана можно изобразить в виде единичной сферы, экваториальная плоскость которой совпадает с комплексной плоскостью, а центр располагается в точке начала координат (т.е. в нуле). Собственно экватор сферы есть не что иное, как единичная окружность на комплексной плоскости (см. рис. 5.19). Для представления какого-либо комплексного отношения, скажем, z : w, мы отмечаем на комплексной плоскости точку P, соответствующую комплексному числу p = z/w (допустим пока, что w ≠ 0), а затем проецируем эту точку P в точку P' на сфере, при этом в качестве центра проекции выбираем южный полюс S сферы. Иначе говоря, мы проводим через точки S и P прямую; там, где эта прямая пересекает сферу (кроме самой точки S), отмечаем точку P'. Такое точечное отображение плоскости на сферу называется стереографической проекцией. Сам южный полюс S при таком отображении соответствует комплексному отношению ∞. В самом деле, представим себе, что точка P комплексной плоскости удалена на очень большое расстояние от центра координат; соответствующая ей точка P' на сфере окажется при этом очень близко от полюса S — в пределе, когда модуль комплексного числа p устремляется к бесконечности, точки P' и S совпадают.

Рис. 5.19. Сфера Римана. Точка P на комплексной плоскости, соответствующая числу p = z/w, проецируется из южного полюса S на точку P' на сфере. Направление OP совпадает с направлением оси спина для общего состояния спина 1/2 (см. рис. 5.15).

Сфера Римана играет фундаментальную роль в квантовом описании систем с двумя состояниями. Эта роль не всегда очевидна, однако это не делает ее менее важной, и сфера Римана, пусть и незримо, где-то на сцене все равно присутствует. Она описывает — в абстрактном геометрическом виде — пространство всех физически достижимых состояний, которые можно получить из двух различных квантовых состояний посредством квантовой линейной суперпозиции. В качестве исходных можно взять, например, возможные состояния фотона |B〉 и |C〉. В общем случае их линейная комбинация имеет вид w|B〉 + z|C〉. В §5.7 мы подробно рассматривали только один конкретный случай |B〉 + i|C〉 (результат отражения/пропускания света, падающего на полусеребрёное зеркало), однако нетрудно реализовать и другие комбинации состояний. Для этого нужно всего лишь изменить степень «серебрёности» зеркала и поместить на пути одного из лучей что-нибудь преломляющее. Так можно набрать полную сферу Римана всевозможных альтернативных состояний, соответствующих различным физическим ситуациям вида w|B〉 + z|C〉, т.е. комбинациям двух начальных состояний |B〉 и |C〉.

Впрочем, в таких случаях геометрическая роль сферы Римана как раз и неочевидна. Однако возможны и иные ситуации, в которых целесообразность построения сферы Римана проявляется в полной мере. Самым наглядным примером такого рода является описание спиновых состояний частицы со спином 1/2 — электрона, скажем, или протона. В общем случае спиновое состояние можно записать в виде комбинации

|ψ〉 = w|↑〉 + z|↓〉;

как оказывается (при соответствующем выборе направлений ↑ и ↓ из физически эквивалентных возможных вариантов), это самое |ψ〉 представляет собой состояние правого спина (величины 1/2 ħ), направление оси которого совпадает с направлением от начала координат к точке, соответствующей отношению z/w, на сфере Римана. Таким образом, любое направление в пространстве выступает как возможное направление оси спина для любой частицы со спином 1/2. Хотя большая часть спиновых состояний представляется изначально в виде «таинственных комплексно-взвешенных комбинаций возможных альтернативных состояний» (т.е. состояний |↑〉 и |↓〉), мы видим, что эти состояния ничуть не более (но и не менее) таинственны, чем оригинальные состояния |↑〉 и |↓〉, выбранные нами в качестве начальных. Каждое физически реально в той же мере, что и все остальные.

А что же с состояниями большего спина? Здесь ситуация становится несколько более запутанной — и более таинственной! Приводимое ниже общее описание не пользуется широкой известностью среди современных физиков, хотя оно было предложено еще в 1932 году блестящим итальянским физиком Этторе Майораной (в 1938 году, в возрасте 31 года, Майорана бесследно исчез с борта входившего в Неаполитанский залив парома при обстоятельствах, которые до сих пор не получили удовлетворительного объяснения).

Рассмотрим сначала то, что физикам таки известно. Допустим, у нас есть атом (или какая-то другая частица) со спином 1/2 n. В качестве исходного направления мы снова можем выбрать направление вверх, а заодно и полюбопытствуем, «какая доля» спина атома действительно ориентирована в этом направлении (т.е. является правой относительно направленной вверх оси). Для удовлетворения любопытства можно воспользоваться стандартным устройством, которое называется установкой Штерна—Герлаха и способно осуществлять упомянутые измерения с помощью неоднородного магнитного поля. Как выясняется, различных возможных вариантов развития событий всего n + 1, что обусловлено тем фактом, что атомы в магнитном поле могут отклоняться только в одном из n + 1 возможных направлений (см. рис. 5.20). Доля спина, ориентированного в выбранном направлении, определяется конкретным направлением, в котором отклоняется атом. Будучи измеренной в единицах 1/2 ħ, доля ориентированного в данном направлении спина принимает одно из следующих значений: n, n - 2, n - 4, …, 2 - n, —n. Возможные же спиновые состояния для атома со спином 1/2 n представляют собой комплексные суперпозиции перечисленных допустимых состояний. Возможные результаты измерения Штерна—Герлаха для спина n + 1 (направление поля в установке — вертикально вверх) я буду записывать следующим образом:

|↑↑↑…↑〉, |↓↑↑…↑〉, |↓↓↑…↑〉, …, |↓↓↓…↓〉,

что соответствует значениям n, n - 2, n - 4, …, 2 - n, —n доли спина, ориентированного в этом направлении (запись каждого состояния содержит ровно n стрелок). Результаты можно интерпретировать так: каждая стрелка вверх дает долю 1/2 ħ спина, ориентированного вверх, а каждая стрелка вниз дает долю 1/2 ħ спина, ориентированного вниз. Складывая эти величины, мы получаем полный спин для каждого конкретного случая измерения с помощью установки Штерна—Герлаха (при ориентации осей в направлении вверх/вниз).

Рис. 5.20. Измерение спина с помощью установки Штерна—Герлаха. Для частицы со спином 1/2 n мы можем получить n +1 возможных результатов, в зависимости от того, какая «доля» спина ориентирована в выбранном направлении.

В общем случае суперпозиция этих состояний записывается в виде комплексной комбинации

z0|↑↑↑…↑〉 + z1|↓↑↑…↑〉 + z2|↓↓↑…↑〉 + … + zn|↓↓↓…↓〉,

где хотя бы один из комплексных коэффициентов z0, z1, z2, …, zn не равен нулю. Можно ли представить такое состояние с помощью отдельных направлений оси спина, отличных от элементарных «вверх» или «вниз»? Как показал Майорана, такое представление действительно возможно, однако следует допустить, что направления эти будут вполне независимы друг от друга: нет никакой необходимости брать в качестве исходных обязательно пару обязательно противоположных направлений (как в случае измерения с помощью установки Штерна—Герлаха). Иными словами, общее состояние спина 1/2 n мы представим в виде набора из n независимых «стрелок-направлений»; эти направления можно рассматривать как направления, задаваемые n точками на сфере Римана, — при этом каждая «стрелка» исходит из начала координат и заканчивается в соответствующей точке на сфере (см. рис. 5.21). Важно помнить, что мы имеем дело с неупорядоченной совокупностью точек (или направлений), и, следовательно, в порядок их рассмотрения никакого особого смысла вкладывать не нужно.