Ричард Манкевич - История математики. От счетных палочек до бессчетных вселенных

• Название: История математики. От счетных палочек до бессчетных вселенных
• Автор: Ричард Манкевич
• Издательство: Ломоносовъ
• Жанр: Научпоп
• Год: 2011
• ISBN: 978-5-91678-097-0

Эта книга, по словам самого автора, — «путешествие во времени от вавилонских „шестидесятников“ до фракталов и размытой логики». Таких «от… и до…» в «Истории математики» много. От загадочных счетных палочек первобытных людей до первого «калькулятора» — абака. От древневавилонской системы счисления до первых практических карт. От древнегреческих астрономов до живописцев Средневековья. От иллюстрированных средневековых трактатов до «математического» сюрреализма двадцатого века…

Но книга рассказывает не только об истории науки. Читатель узнает немало интересного о взлетах и падениях древних цивилизаций, о современной астрономии, об искусстве шифрования и уловках взломщиков кодов, о военной стратегии, навигации и, конечно же, о современном искусстве, непременно включающем в себя компьютерную графику и непостижимые фрактальные узоры.

---

В некоторых регионах звезда Аристотеля начала гаснуть. Роджер Бэкон писал: «Если бы я имел власть, то сжег бы все работы Аристотеля». Он видел в них тормоз на пути прогресса из-за чрезмерной самоуверенности Аристотеля, предпочтения философских догм наблюдению и опыту. Его откровенные и решительные идеи привели его в тюрьму, что в ту эпоху нередко происходило и с другими интеллектуалами. Уильям Оккам (ок. 1285–1349) продолжал нападать на Аристотеля, утверждая, что богословие и натурфилософия должны быть отделены друг от друга, поскольку первая имеет дело со знанием, полученным в результате откровения, а вторая — на основании опыта. То, что теперь известно как «бритва Оккама», было уже заявлено Гроссетестом — это философия, согласно которой в науке нужно искать самое простое решение, соответствующее фактам. Богословие и схоластическая философия стремились объяснить физическую действительность посредством дедуктивной системы, основанной на чистых предположениях. Средневековые ученые искали индуктивный переход от экспериментальных данных к физической гипотезе, который, будучи выраженным на языке математики, позволил бы вывести следствия, поддающиеся проверке. Можно увидеть, что эти средневековые ученые предпринимали колоссальные усилия, чтобы создать реальную эмпирическую философию.

Уильям из Оккама умер преждевременно в 1349 году от чумы — Черной смерти, которая неистовствовала по всей Европе. Неясно, чума была виновата в угасании математики и естественных наук, или их погубило убеждение церковников, что эта напасть была наказанием за непокорство и свободный дух. Какой бы ни была причина случившегося, но средневековая наука была пресечена в корне, и потребовалось еще двести лет, прежде чем она снова смогла расцвести.

9. Перспектива в эпоху Возрождения

Очень много писалось об итальянском Ренессансе как о периоде, определившем направление европейского сознания. Пробуждение интереса к классическим наукам соединилось с желанием выйти за пределы простого подражания и изучить новые стили, новые идеи и новые направления исследования. Этот новый путь отлично иллюстрирует взаимодействие между искусством и геометрией, и, в частности, использование перспективы. Натурализм Ренессанса был заметен в искусстве еще до того, как исследование перспективы принесло свои плоды, но перспектива усилила реалистичность изображения, формально включив точку зрения зрителя в ткань живописи. Перспектива была также очень важна для архитекторов. Возрождение классического стиля в архитектуре в значительной степени основывалось на трактате римского архитектора и инженера Марка Витрувия Поллиона (ок. 80/70 до н. э. — после 15 н. э.) «Десять книг об архитектуре» и возобновившемся интересе к изучению оставшихся классических зданий. Одними из первых авторов, писавших о перспективе, были великий итальянский архитектор Филиппо Брунеллески (1377–1446) и итальянский же ученый Леон Баттиста Альберти (1404–1472), которые соединили практическую математику каменщиков и архитекторов с геометрическими построениями, однако считается, что первым трудом, посвященным вопросам перспективы и предназначенным для живописцев, был математический трактат «О перспективе в живописи» итальянского художника и теоретика Пьеро делла Франчески (ок. 1415–1492).

Пьеро делла Франческа был сыном торговца из Борго-Сан-Сеполькро, городка под Флоренцией, и, вероятно, чтобы занять место в семейном бизнесе, изучал математику в одной из многочисленных школ практической математики, которые возникали в Италии в то время. Он выказал большой талант и, возможно, стал бы математиком, специализирующимся на задачах из области торговли, но вместо этого решил пойти в обучение к местному художнику. Уникальная комбинация его навыков сделала Пьеро одним из немногих людей, упоминающихся одновременно в анналах как искусства, так и математики. Скорее всего, он провел некоторое, очень короткое время во Флоренции, и большинство его известных работ находили в небольших городках вроде Урбино. До нас дошли только три его трактата, причем не известны ни точные даты их написания, ни их оригинальные названия. Прежде чем мы обратимся к его работе о вопросах перспективы, стоит упомянуть одно новшество в геометрии. Считается, что Пьеро вновь открыл пять из архимедовых тел, которые называются так потому, что в четвертом веке нашей эры математик Папп Александрийский (ок. 290 — ок. 350) приписал их открытие Архимеду. В работе Иоганна Кеплера 1619 года приводятся тринадцать архимедовых тел — в это число входят и пять Платоновых тел. Пять архимедовых тел строятся путем усечения ребер Платоновых тел. До Пьеро эти фигуры описывались риторически — просто заявлялось об использовании необходимых многоугольников, — но Пьеро описывает их построение и изображает его. Не все фигуры изображались с правильной перспективой, однако это был огромный шаг вперед в то время, когда в работах по практической геометрии фигуры нередко иллюстрировались схематично, например, конус изображался как треугольник, стоящий поверх круга. Работа Пьеро была использована в трактате итальянского математика Луки Пачоли (1445–1517) «О божественной пропорции», изданном в Венеции в 1508 году. В трактат были включены иллюстрации друга Пачоли — Леонардо да Винчи — и рисунок шестого архимедова тела — ромбокубоктаэдра.

Рукопись дела Франчески «О перспективе в живописи» сохранилась до наших дней. Трактат был написан Пьеро как на латыни, так и на тосканском диалекте. Во введении сказано, что в нем объясняется только использование перспективы живописцами. Но Пьеро и его современники видели в правилах перспективы часть более общей науки — оптики. Речь идет не только о создании натуралистических картин — дело в том, что, для того чтобы картины выглядели естественно, они должны подчиняться правилам, объясняющим, как глаз видит мир. Таким образом, глаз наблюдателя — центр всей работы. Если на картине изображается сценка, увиденная в окно, существует только одна точка в пространстве, с которой зритель может видеть ее правильно. Глаза зрителя должны располагаться на той же высоте, что и горизонт картины, и фокусироваться на точке схода. Трансверсали, которые помогают в построении изображений объектов с учетом перспективы, сходятся в одной точке на горизонте. Обычно эта точка находится за рамками изображения, и расстояние между этой точкой и точкой схода — оптимальное расстояние от холста, с которого следует рассматривать картину. Трактат «О перспективе в живописи» написан на манер «Начал» Евклида, в виде теорем и их доказательств. Пьеро представляет множество конструкций, отображающих реальные «идеальные фигуры» на плоскость картины, таким образом, создавая «ухудшенные» фигуры, которые должны быть изображены на холсте, с линиями взгляда, сходящимися в глазу зрителя. Он использует квадратные плитки мощеного пола — pavimento, — чтобы показать, как плитки, более удаленные от зрителя, выглядят в перспективе с увеличением расстояния. Затем он рассматривает другие многоугольники, приводя как их надлежащую форму, так и их «ухудшенные», искаженные формы. Далее Пьеро рассматривает призмы, от куба до различных форм колонн, например шестиугольную призму, и показывает, как длинный ряд колонн выглядел бы с учетом перспективы. Он заканчивает рядом изображений человеческой головы с множества различных точек зрения.

Работа Пьеро позднее использовалась живописцами и архитекторами, а также художниками-декораторами в театрах. На картинах той эпохи уже использовался эффект перспективы. Мы видим, что он использовался и до Пьеро, на таких картинах, как «Благовещение» (ок. 1445–1447) Доменико Венециано (1410–1461) и «Битва при Сан Романо» (1456–1460) Паоло Уччелло (1397–1475). Мы видим его на картине Пьеро «Бичевание Христа» (1469), которую можно считать практическим воплощением его трактата, но на его же фреске «Благовещение» (1464) мы видим, что фигуры святых намного больше, чем они были бы в случае реалистической живописи, — художник сделал это, чтобы подчеркнуть важность святых. Микеланджело утверждал, что мало обращал внимания на математическую точность, потому что «циркуль — в глазах, не в руке, ибо руки работают, а глаз оценивает». Однако Сикстинская капелла расписана в строгом соответствии с перспективой; и в «Страшном суде» Микеланджело сделал фигуры в верхней части картины намного большими, чем фигуры внизу, заранее предположив: они будут рассматриваться с большего расстояния, — цель не очевидная, если смотреть на фреску как на изображение в книге. Хотя художники очень быстро изучили эту новую технику, они не жертвовали живописностью в угоду математической точности.

В шестнадцатом веке о Пьеро помнили уже скорее как о математике, чем как о художнике. В эпоху Ренессанса его трактат не издавался, но циркулировал в форме рукописи, а содержание работы часто цитировалось в публикациях других авторов. Однако многие его построения самых сложных фигур было трудно повторить, и содержащие их разделы — наиболее трудные для понимания — часто опускались. Однако возрастал интерес к измерительным инструментам, подобным тем, которыми пользуются землемеры, — они помогали художникам изображать предметы в перспективе. В трактате Альбрехта Дюрера «Руководство к измерению циркулем и линейкой» изображено множество таких инструментов. В большинстве из них натянутая веревка представляла собой линию взгляда, упирающуюся в рамку с подвижным перекрестьем нитей; изображение при этом наращивалось точка за точкой. Художник мог также рассматривать сцену через квадратную сетку, которая действовала наподобие системы координат. Такое устройство уже использовалось и ранее — как способ привести рисунок к определенному масштабу, перед тем как наносить краски.