Яков Перельман - Живая математика. Математические рассказы и головоломки

• Название: Живая математика. Математические рассказы и головоломки
• Автор: Яков Перельман
• Жанр: Математика
• Год: 2007
• ISBN: ISBN 978-5-98986-123-1

Новую серию издательства "Мир энциклопедий Аванта+" открывает самая известная книга основоположника жанра "Занимательная наука" Якова Исидоровича Перельмана. В ней собраны увлекательные рассказы-задачи на математические темы, головоломки, а также авторские задачи замечательного ученого.

---

- Ну, это не довод. Вечером выяснится, правильно ли ваше предчувствие. За вами очередь, товарищ!

4. Кто больше?

- Двое считали в течение часа всех, кто проходил мимо них по тротуару. Один стоял у ворот дома, другой прохаживался взад и вперед по тротуару. Кто насчитал больше прохожих?

- Идя, больше насчитаешь, ясное дело, - донеслось с другого конца стола.

- Ответ узнаем за ужином, - объявил председатель. - Следующий!

5. Дед и внук

- То, о чем я скажу, происходило в 1932 году. Мне было тогда ровно столько лет, сколько выражают последние две цифры года моего рождения. Когда я об этом соотношении рассказал деду, он удивил меня заявлением, что с его возрастом выходит то же самое. Мне это показалось невозможным…

- Разумеется, невозможно, - вставил чей-то голос.

- Представьте, вполне возможно! Дед доказал мне это. Сколько же было лет каждому из нас?

6. Железнодорожные билеты

- Я - железнодорожная кассирша, продаю билеты, - начала следующая участница игры. - Многим это кажется очень простым делом. Не подозревают, с каким большим числом билетов приходится иметь дело кассиру даже маленькой станции. Ведь необходимо, чтобы пассажиры могли получить билеты от данной станции до любой другой на той же дороге, притом в обоих направлениях. Я служу на дороге с 25 станциями. Сколько же различных образцов билетов заготовлено железной дорогой для всех ее касс?

- Ваша очередь, товарищ летчик, - провозгласил председатель.

7. Полет дирижабля

- Из Ленинграда вылетел прямо на север дирижабль. Пролетев в северном направлении 500 километров, он повернул на восток. Пролетев в эту сторону 500 километров, дирижабль сделал новый поворот - на юг и прошел в южном направлении 500 километров.

Рис. 4. «500 шагов вперед, 500 вправо, 500 назад…»

Затем он повернул на запад и, пролетев 500 километров, опустился на землю. Спрашивается: где расположено место спуска дирижабля относительно Ленинграда - к западу, к востоку, к северу или к югу?

- На простака рассчитываете, - сказал кто-то, - 500 шагов вперед, 500 вправо, 500 назад да 500 влево, куда придем? Откуда вышли, туда и придем!

- Итак, где, по-вашему, спустился дирижабль?

- На том же ленинградском аэродроме, откуда поднялся. Не так разве?

- Именно не так.

- В таком случае я ничего не понимаю!

- В самом деле, здесь что-то неладно, - вступил в разговор сосед. - Разве дирижабль спустился не в Ленинграде? Нельзя ли повторить задачу?

Летчик охотно исполнил просьбу. Его внимательно выслушали и с недоумением переглянулись.

- Ладно, - объявил председатель. - До ужина успеем подумать об этой задаче, а сейчас будем продолжать.

8. Тень

- Позвольте мне, - сказал очередной загадчик, - взять сюжетом головоломки тот же дирижабль. Что длиннее: дирижабль или его полная тень?

- В этом и вся головоломка?

- Вся.

- Тень, конечно, длиннее дирижабля: ведь лучи солнца расходятся веером, - последовало сразу решение.

- Я бы сказал, - возразил кто-то, - что, напротив, лучи солнца параллельны; тень и дирижабль одной длины.

Рис. 5. Расходящиеся лучи от спрятавшегося за облаком солнца

- Что вы? Разве не случалось вам видеть расходящиеся лучи от спрятавшегося за облаком солнца? Тогда можно воочию убедиться, как сильно расходятся солнечные лучи. Тень дирижабля должна быть значительно больше самого дирижабля, как тень облака больше самого облака.

- Почему же обычно принимают, что лучи солнца параллельны? Моряки, астрономы - все так считают… Председатель не дал спору разгореться и предоставил слово следующему загадчику.

9. Задача со спинками

Очередной оратор высыпал на стол все спички из коробка и стал распределять их в три кучки.

- Костер собираетесь раскладывать? - шутили слушатели.

- Головоломка, - объяснил загадчик, - будет со спичками. Вот их три неравных кучки. Во всех вместе 48 штук. Сколько в каждой, я вам не сообщаю. Зато отметьте следующее: если из первой кучки я переложу во вторую столько спичек, сколько в этой второй кучке имелось; затем из второй в третью переложу столько, сколько в этой третьей перед тем будет находиться; и, наконец, из третьей переложу в первую столько спичек, сколько в этой первой кучке будет тогда иметься, - если, говорю, все это проделать, то число спичек во всех кучках станет одинаково. Сколько же было в каждой кучке первоначально?

10. Коварный пень

- Головоломка эта, - начал сосед последнего загадчика, - напоминает задачу, которую давно как-то задал мне деревенский математик. Это был целый рассказ, довольно забавный. Повстречал крестьянин в лесу незнакомого старика. Разговорились. Старик внимательно оглядел крестьянина и сказал:

- Известен мне в леску этом пенечек один удивительный. Очень в нужде помогает.

- Как помогает? Вылечивает?

- Лечить не лечит, а деньги удваивает. Положишь под него кошель с деньгами, досчитаешь до ста - и готово: деньги, какие были в кошельке, удвоились. Такое свойство имеет. Замечательный пень!

- Вот бы мне испробовать, - мечтательно сказал крестьянин.

- Это можно. Отчего же? Заплатить только надо.

- Кому платить? И много ли?

- Тому платить, кто дорогу укажет. Мне, значит. А много ли, о том особый разговор.

Стали торговаться. Узнав, что у крестьянина в кошельке денег мало, старик согласился получить после каждого удвоения по 1 руб. 20 коп. На том и порешили. Старик повел крестьянина в глубь леса, долго бродил с ним и наконец разыскал в кустах старый, покрытый мохом еловый пень. Взяв из рук крестьянина кошелек, он засунул его между корнями пня. Досчитали до ста. Старик снова стал шарить и возиться у основания пня, наконец извлек оттуда кошелек и подал крестьянину.

Заглянул крестьянин в кошелек, и что же? Деньги в самом деле удвоились! Отсчитал из них старику обещанные 1 руб. 20 коп. и попросил засунуть кошелек вторично под чудодейственный пень.

Снова досчитали до ста, снова старик стал возиться в кустах у пня, и снова совершилось диво: деньги в кошельке удвоились. Старик вторично получил из кошелька обусловленные 1 руб. 20 коп.

В третий раз спрятали кошель под пень. Деньги удвоились и на этот раз. Но когда крестьянин уплатил старику обещанное вознаграждение, в кошельке не осталось больше ни одной копейки.

Бедняга потерял на этой комбинации все свои деньги. Удваивать больше было уже нечего, и крестьянин уныло побрел из лесу.

Секрет волшебного удвоения денег вам, конечно, ясен - старик недаром, отыскивая кошелек, мешкал в зарослях у пня. Но можете ли вы ответить на другой вопрос: сколько было у крестьянина денег до злополучных опытов с коварным пнем?

11. Задача о декабре

- Я, товарищи, языковед, от всякой математики далек, - начал пожилой человек, которому пришел черед задавать головоломку. - Не ждите от меня поэтому математической задачи. Могу только предложить вопрос из знакомой мне области. Разрешите задать календарную головоломку?

- Просим!

- Двенадцатый месяц называется у нас «декабрь». А вы знаете, что, собственно, значит «декабрь»? Слово это происходит от греческого слова «дека» - десять, отсюда также слова «декалитр» - десять литров, «декада» - десять дней и т. д. Выходит, что месяц декабрь носит название «десятый». Чем объяснить такое несоответствие?

- Ну, теперь осталась только одна головоломка, - произнес председатель.

12. Арифметический фокус

- Мне приходится выступать последним, двенадцатым. Для разнообразия покажу вам арифметический фокус и попрошу раскрыть его секрет. Пусть кто-нибудь, хотя бы вы, товарищ председатель, напишет, тайно от меня, любое трехзначное число.

- Могут быть и нули в этом числе?

- Не ставлю никаких ограничений. Любое трехзначное число, какое пожелаете.

- Написал. Что теперь?

- Припишите к нему это же число еще раз. У вас получится, конечно, шестизначное число.

- Есть. Шестизначное число.

- Передайте бумажку соседу, что сидит подальше от меня. А он пусть разделит это шестизначное число на семь.

- Легко сказать: разделить на семь! Может, и не разделится.

- Не беспокойтесь, поделится без остатка.

- Числа не знаете, а уверены, что поделится.

- Сначала разделите, потом будем говорить.

- На ваше счастье - разделилось.

- Результат вручите своему соседу, не сообщая мне. Он разделит его на 11.

- Думаете, опять повезет - разделится?

- Делите, остатка не получится.

- В самом деле, без остатка! Теперь что?

- Передайте результат дальше. Разделим его… ну, скажем, на 13.