Иван Рожанский - История естествознания в эпоху эллинизма и Римской империи

• Название: История естествознания в эпоху эллинизма и Римской империи
• Автор: Иван Рожанский
• Издательство: Наука
• Жанр: История
• Год: 1988
• ISBN: 5-02-008048-7

Рожанский Иван Дмитриевич. История естествознания в эпоху эллинизма и Римской империи.

Книга посвящена различным аспектам генезиса науки в эпоху раннего и среднего эллинизма и времен римского владычества. Естественнонаучные идеи мыслителей прошлого даны в тесном сопряжении с философскими, религиозными, вообще гуманитарными представлениями той эпохи.

Для философов, историков философии, всех интересующихся историей философии и историей науки.

---

Математические методы Архимеда оказали громадное влияние на развитие математики нового времени. Упомянем работы таких математиков XVII столетия, как Лука Валерио («Три книги о центре тяжести», 1604), Григорий Сен-Венсан («Геометрический труд о квадратуре круга и конических сечений», опубликован в 1647 г.), Пауль Гульдин (четыре книги «О центре тяжести», 1635–1641), Бонавентура Кавальери («Геометрия, развитая новым способом при помощи неделимых непрерывного», 1635; а также продолжение этого труда — «Шесть геометрических этюдов», 1647), Эванджелиста Торричелли («Геометрические труды», 1644) и другие. Во всех этих работах использовались и развивались процедуры, применявшиеся для решения аналогичных задач Архимедом, и тем самым подготавливалась великая революция в математике, выразившаяся в создании анализа бесконечно малых в трудах Ньютона и Лейбница. Можно только согласиться с И. Н. Веселовским, назвавшим Архимеда «ведущим математиком XVII в.»[294].

Переход к чисто геометрическим доказательствам не означал, что Архимед перестал признавать эвристическую ценность метода, основанного на механических аналогиях. Это ясно следует из его позднего, сравнительно недавно найденного сочинения, получившего наименование «Эфод»[295] (его полное греческое заглавие таково: Περί τών μηχανικών ϑεορημα τών προς Έρατοσϑένην ίφοδος). Рукопись этого сочинения была обнаружена в одном из иерусалимских монастырей приват-доцентом Петербургского университета, греком по национальности, Пападопуло Керамевсом, который увидел, что под текстов какого-то духовного содержания на пергаменте заметен другой, значительно более старый текст. Этот палимпсест был тщательно изучен в 1906–1908 гг. известным датским филологом И. Л. Хейбергом, установившим, что первоначальный текст содержит значительную часть трактата «О плавающих телах», а также «Эфод», ранее известный лишь по отдельным цитатам в «Метрике» Герона. Обнаружение и прочтение столь замечательного пергамента принадлежит, бесспорно, к числу значительнейших открытий классической филологии нашего века.

«Эфод» написан в форме письма Архимеда к Эратосфену. В нем Архимед приводит целую серию теорем, доказательства которых были им найдены сперва механическим методом (среди них содержится, между прочим, и теорема о квадратуре параболы). Во вступительной части письма Архимед пишет по этому поводу следующее: «Зная, что ты являешься… ученым человеком и по праву занимаешь выдающееся место в философии, а также при случае можешь оценить и математическую теорию, я счел нужным… изложить тебе некоторый особый метод, при помощи которого ты получишь возможность при помощи механики находить некоторые математические теоремы. Я уверен, что этот метод будет тебе ничуть не менее полезен и для доказательства самих теорем. Действительно, кое-что из того, что ранее было мною усмотрено при помощи механики, позднее было доказано также и геометрически, так как рассмотрение при помощи этого метода еще не является доказательством, однако получить при помощи этого метода некоторое предварительное представление об исследуемом, а затем найти и само доказательство гораздо удобнее, чем производить изыскания ничего не зная. Поэтому и относительно тех теорем о конусе и пирамиде, для которых Эвдокс первый нашел доказательство, а именно что всякий конус составляет третью часть цилиндра, а пирамида — третью часть призмы с тем же основанием и равной высотой, немалую долю заслуги я уделю и Демокриту, который первый высказал это положение относительно упомянутых фигур, хотя и без доказательства. И нам довелось найти публикуемые теперь теоремы тем же самым методом, как и предыдущие; поэтому я и решил написать об этом методе и обнародовать его, с одной стороны, для того, чтобы не оставались пустым звуком прежние мои упоминания о нем, а с другой — поскольку я убежден, что он может принести математике немалую пользу; я предполагаю, что некоторые современные нам или будущие математики смогут при помощи указанного метода найти и другие теоремы, которые нам еще не приходили в голову»[296].

Непосредственное отношение к теоретической механике имеет трактат Архимеда «О равновесии плоских фигур» (Περί επιπέδων ισορροπιών). Он состоит из двух частей. В первой части Архимед дает строго аксиоматический вывод закона равновесия рычага и определяет центры тяжести параллелограмма, треугольника и трапеции. Во второй части вычисляются центры тяжести параболического сегмента и параболической трапеции.

По поводу времени написания этого сочинения существуют различные мнения. Английский историк математики Т. Л. Хит, а у нас С. Я. Лурье считали, что первая часть трактата «О равновесии плоских фигур» относится к раннему периоду творчества Архимеда, когда он был занят проблемами центра тяжести и равновесия рычага[297]. Вторую часть трактата Хит относит к более позднему времени, когда уже была написана «Квадратура параболы». И. Н. Веселовский выражал свое несогласие с таким разделением трактата на два различных по времени создания сочинения и приводил по этому поводу ряд соображений, которые нам представляются достаточно вескими[298]. Вкратце эти соображения сводятся к следующему.

Как первая, так и вторая часть трактата резко отличаются по своему стилю от работ Архимеда раннего периода. Так, например, в «Квадратуре параболы» еще очень заметна механическая основа, на которой строится первое доказательство: говорится о рычагах, о подвешенных грузах, о равновесии, которое предполагается практически осуществимым, т. е. устойчивым, и т. д. Ничего этого нет в трактате «О равновесии плоских фигур». Он начинается с формулировки семи аксиом, из которых с помощью чистой дедукции выводится закон рычага. Вот эти аксиомы:

«1. Равные тяжести на равных длинах уравновешиваются, на неравных же длинах не уравновешиваются, но перевешивают тяжести па большей длине.

2. Если при равновесии тяжестей на каких-нибудь длинах к одной из тяжестей будет что-нибудь прибавлено, то они не будут уравновешиваться, но перевесит та тяжесть, к которой было прибавлено.

3. Точно так же если от одной из тяжестей будет отнято что-нибудь, то они не будут уравновешиваться, но перевесит та тяжесть, от которой не было отнято.

4. При совмещении друг с другом равных и подобных плоских фигур совместятся друг с другом и их центры тяжести.

5. У неравных же, но подобных фигур центры тяжести будут подобно же расположены. (Под подобным расположением точек в подобных фигурах мы подразумеваем такое, в котором прямые, проведенные из этих точек к вершинам равных углов, образуют равные углы с соответственными сторонами.)

6. Если величины уравновешиваются на каких-нибудь длинах, то на тех же самых длинах будут уравновешиваться и равные им.

7. Во всякой фигуре, периметр которой везде выпукл в одну и ту же сторону, центр тяжести должен находиться внутри фигуры»[299].

Мы видим, что эти аксиомы отчетливо распадаются на две группы. К первой группе относятся первая, вторая, третья и шестая аксиомы, лежащие в основе теории рычага. В аксиомах четвертой, пятой и седьмой говорится о центрах тяжести плоских фигур, причем само понятие центра тяжести считается хорошо известным. Связь между обеими группами аксиом становится очевидной в ходе последующих доказательств, причем эти доказательства имеют крайне формальный характер: место физического рычага занимают простые геометрические линии, и само равновесие становится каким-то неопределенным, отвлеченно-математическим; теоремы доказываются большей частью от противного, причем это относится в равной мере как к первой, так и ко второй части трактата. Материал первой книги подготавливает все необходимое для доказательства теорем второй книги, причем между предложениями обеих частей имеется тесная логическая связь.

Таким образом, следует принять тезис о достаточно позднем времени написания трактата «О равновесии плоских фигур». В этом сочинении Архимед решил придать строгую математическую форму результатам, которые были получены им значительно раньше.

Заметим, что Э. Мах, относившийся с недоверием ко всякому применению формально-дедуктивных методов к механике, полагал, что логическая строгость архимедовской теории рычага является мнимой. По его мнению, теоремы шестая и седьмая трактата, гласящие, что как соизмеримые, так и несоизмеримые величины уравновешиваются на длинах, обратно пропорциональных тяжестям, не могут быть выведены из приведенных выше семи аксиом без привлечения опытных данных. Вот что он писал по этому поводу в «Механике».

«Хотя результаты, полученные Архимедом и последующими исследователями, с первого взгляда и кажутся чрезвычайно поразительными, тем не менее у нас возникают при более точном рассмотрении сомнения в правильности их. Из одного допущения равновесия равных грузов на равных расстояниях выводится обратная пропорциональность между грузом и плечом рычага! Как же это возможно?. Раз уже одну голую зависимость равновесия от груза и расстояния вообще невозможно было измыслить из себя, а необходимо было заимствовать из опыта, то тем менее нам удастся найти спекулятивным путем форму этой зависимости, пропорциональность»[300].