Алекс Беллос - Алекс в стране чисел. Необычайное путешествие в волшебный мир математики

• Название: Алекс в стране чисел. Необычайное путешествие в волшебный мир математики
• Автор: Алекс Беллос
• Издательство: КоЛибри
• Жанр: Научпоп
• Год: 2012
• ISBN: 978-5-389-01770-2

Алекс Беллос, известный журналист, многие годы работавший для «Guardian», написал замечательную книгу о математике. Книга эта для всех — и для тех, кто любит математику, и для тех, кто считает ее невероятно скучной и далекой от жизни. Беллосу удалось создать настоящий интеллектуальный коктейль, где есть и история, и философия, и религия, и конечно же математика — чудесные задачки, которые пока не решишь, не заснешь!

---

Действительно, в последнее время в неврологии сделано немало новых важных открытий в области исследований числовой когнитивности. Например, появилась возможность увидеть, что происходит с отдельными нейронами в мозгу у обезьяны, когда она думает о точном числе точек.

Андреас Нидер из Университета Тюбингена, расположенного на юге Германии, научил макак-резусов думать о числах. Он добился этого, показывая им на экране компьютера один набор точек, а затем, после интервала в одну секунду, — другой набор точек. Обезьянок обучили, что если во втором наборе будет столько же точек, сколько и в первом, и они нажмут на рычаг, то получат награду в виде яблочного сока. Если же во втором наборе окажется другое число точек, а они все равно нажмут на рычаг, то яблочного сока не будет. Примерно через год обезьянки научились нажимать рычаг только в том случае, когда число точек в первом наборе совпадало с числом точек во втором. Нидер и его коллеги утверждают, что в течение той секунды, которая проходит перед появлением на экране компьютера второй картинки, обезьянки думают о числе точек, которые они увидели на первой картинке.

Далее Нидер решил, что теперь надо выяснить, что происходит у обезьянок в мозгу в то время, когда они держат эти числа у себя в голове. Для этого он, просверлив дырочку в обезьяньем черепе, внедрил в нервную ткань мозга электрод диаметром в два микрона. Этот электрод настолько мал, что никак не вредит мозгу и не вызывает болевых ощущений. (Внедрение электродов в человеческий мозг для исследований считается превышением этических норм, хотя и допустимо по медицинским показаниям, например при лечении эпилепсии.) Нидер располагал электрод в обезьяньем мозгу так, чтобы он находился напротив префронтальной коры, а затем начинал эксперимент с точками.

Электрод настолько чувствителен, что может улавливать электрический импульс в отдельных нейронах. Когда обезьянки «думают» о числах, Нидер видит, что определенные нейроны активизируются, — у обезьянок целые области в мозгу «зажигаются». Исследуя эту картину подробнее, он пришел к чрезвычайно интересному открытию. Чувствительные к числам нейроны реагируют с различной степенью интенсивности в зависимости от того, о каком числе обезьянка в данный момент думает. Причем у каждого нейрона есть «любимое» число — то, из-за которого данный нейрон становится максимально активным. Имеется, например, кластер из нескольких тысяч нейронов, которые «любят» число 1. Эти нейроны ярко сияют, когда обезьяна думает о единице, менее ярко — о двойке, еще менее ярко — о тройке и т. д. Имеется другая группа нейронов, которые предпочитают число 2. Эти нейроны сияют ярче всего, когда обезьяна думает о двойке; менее ярко, когда она думает о единице или тройке, и становятся совсем тусклыми, когда обезьяна думает о четверке. Другая группа нейронов полюбила число 3, а еще одна — число 4. Нидер проводил эксперименты вплоть до 30, и для каждого числа он нашел нейроны, которые предпочитают именно это число.

Результаты, полученные Нидером, позволяют объяснить, почему наша интуиция тяготеет к приближенному восприятию чисел. Когда обезьянка думает о числе 4, наиболее активны, конечно, нейроны, которые предпочитают число 4. Но нейроны, которые предпочитают тройку, и нейроны, которые предпочитают пятерку, тоже активны, хотя и в меньшей степени. Это, по-видимому, связано с тем, что мозг обезьянки при этом одновременно думает и о числах, окружающих четверку. «Восприятие числа размыто шумом, — объясняет Нидер. — Обезьяны способны представлять себе кардинальности только приблизительным образом».

Можно быть почти уверенным, что то же самое происходит и в человеческом мозгу. Тут возникает интересный вопрос; если наш мозг способен представлять числа только на оценочном уровне, то как же мы вообще сумели их «изобрести»? «Восприятие чисел в точном смысле — это уникальное свойство человеческого мозга, которое, скорее всего, развилось из нашей способности точно выражать числа с помощью символов», — заключает Нидер. Таким образом, числа — артефакт, продукт человеческой культуры, а не что-то, данное нам от природы.

Глава 1 Культурный счет

Автор узнает о тирании десяти и о тех, кто замышляет ее ниспровержение, а затем посещает внеклассные занятия в Токио, где ученики осваивают вычисления, думая о бусинках.

В Средние века в Англии, в Линкольншире, «pimp» плюс «dik» равнялось «bumfit». И в том не было ничего необычного. Эти слова просто обозначали числа пять, десять и пятнадцать на жаргоне, которым при счете овец пользовались пастухи. Полный набор этих числительных выглядел так:

1. Yan 11. Yan-a-dik 2. Tan 12. Tan-a-dik 3. Tethera 13. Tethera-dik 4. Pethera 14. Pethera-dik 5. Pimp 15. Bumfit 6. Sethera 16. Yan-a-bumfit 7. Lethera 17. Tan-a-bumfit 8. Hovera 18. Tethera-bumfit 9. Covera 19. Pethera-bumfit 10. Dik 20. Piggot

В наши дни мы считаем по-другому, — и дело не только в том, что тут все слова незнакомые. Линкольнширские пастухи организовывали числа в группы по двадцать, начиная счет со слова уап и заканчивая словом piggot. Если у пастуха было более двадцати овец — при условии, что он не заснет, занимаясь их пересчетом, — ему приходилось делать отметку о том, что он закончил один цикл, например положив камешек в карман или проведя линию на земле. После этого он опять начинал считать сначала: «Yan, tan, tethera». Если у него восемьдесят овец, то в кармане у него в конце концов окажется четыре камушка или же на земле будут нарисованы четыре линии.

В современном мире мы, разумеется, группируем числа десятками, так что в нашей числовой системе десять цифр. Число, выражающее размер группы, используемой при счете, — которое к тому же часто совпадает с числом используемых символов, — называется основанием системы счисления, так что наша десятичная система имеет основание десять, а принятая у английских пастухов — двадцать.

Если при счете не пользоваться каким-либо разумным основанием, с числами вообще невозможно иметь дело. Представим себе, что у пастухов система счета с основанием единица. Это означает, что у них имеется только одно слово для чисел, уап, обозначающее единицу. «Два» тогда будет уап уап. «Три» — уап уап уап. Восемьдесят овец потребуют произнесения слова уап восемьдесят раз. Такая система достаточно бесполезна для счета чего бы то ни было, превосходящего числом тройку. С другой стороны, вообразим, что каждое число выражается отдельным новым словом, так что способность досчитать до восьмидесяти потребует запоминания восьмидесяти разных слов. Попробуйте-ка теперь досчитать до тысячи!

Многие сообщества людей, живущих в изоляции, до сих пор используют нестандартные основания. Представители племени арара, живущие в Амазонии, например, считают парами, выражая числа от одного до восьми таким образом: анане, адак, адак анане, адак адак, адак адак анане, адак адак адак анане, адак адак адак адак. Счет двойками — не слишком большое усовершенствование по сравнению со счетом единицами. Чтобы добраться до сотни, придется повторить адак пятьдесят раз подряд — спорить и торговаться на базаре окажется делом, занимающим немало времени. В Амазонии также встречаются системы счета с основаниями 3 и 4.

Число, являющееся основанием, должно быть достаточно большим, чтобы позволять проговаривать числа типа сотни, не сбиваясь с дыхания, но при этом не настолько большим, чтобы нам приходилось перенапрягать память. Наиболее распространенные в истории основания — это 5, 10 и 20, и нетрудно понять почему. Эти числа получены из человеческого тела. У нас пять пальцев на руке, так что пять — первое число, которое просится, чтобы на нем перевели дух при счете от одного и выше. Следующая естественная пауза происходит из-за наличия двух рук, или десяти пальцев, а вслед за тем — двадцати пальцах на руках и ногах. (Некоторые системы — составные. Например, Линкольнширский лексикон для счета овец содержит основания 5 и 10, а также основание 20: первые десять чисел уникальны, а следующие десять сгруппированы в пятерки.) Роль, которую исторически сыграли пальцы, отражена в используемых словах, не в последнюю очередь — в наличии двух значений слова «digit»[2]. Например, в России число «пять» соотносится со словом «пясть», обозначающим раскрытую ладонь. Аналогичным же образом, слово «пять» на санскрите — панча — связано с персидским пенча, что также обозначает руку.