Роза Мария Рос - Мир математики. т.30. Музыка сфер. Астрономия и математика

• Название: Мир математики. т.30. Музыка сфер. Астрономия и математика
• Автор: Роза Мария Рос
• Издательство: «Де Агостини»
• Жанр: Математика
• Год: 2014
• ISBN: 978-5-9774-0682-6; 978-5-9774-0725-0 (т.30)

Астрономия — это целый мир, полный прекрасных образов. Эта удивительная наука помогает найти ответы на важнейшие вопросы нашего бытия: узнать об устройстве Вселенной и ее прошлом, о Солнечной системе, о том, каким образом вращается Земля, и о многом другом. Между астрономией и математикой существует особая связь, ведь астрономические прогнозы являются результатом строгих расчетов. По сути, многие задачи астрономии стало возможным решить благодаря развитию новых разделов математики.

Из этой книги читатель узнает о том, каким образом измеряется положение небесных тел и расстояние между ними, а также об астрономических явлениях, во время которых космические объекты занимают особое положение в пространстве.

---

Большая полуось орбиты а — это половина большой оси эллипса. Ближайшая к Солнцу точка пересечения большой полуоси с орбитой называется перигелием, наиболее удаленная от Солнца — афелием (см. рисунок). Таким образом, расстояние между перигелием и афелием равно удвоенной большой полуоси эллипса.

Определить размер эллипса можно и другим способом: для этого нужно заменить большую полуось на период вращения, то есть время, за которое планета совершает полный оборот вокруг Солнца. Любая из этих двух величин дает нам представление о размерах орбиты.

Орбита планеты имеет форму эллипса. На схеме отмечены большая полуось, половина фокального расстояния, афелий и перигелий. В фокусе эллипса находится Солнце. Эксцентриситет рассчитывается по формуле е = с/а.

Эксцентриситет эллипса е указывает, насколько вытянут эллипс. Эксцентриситет определяется как половина расстояния между фокусами с, разделенная на длину большей полуоси эллипса а, то есть е = с/а. Если бы орбита планеты имела форму окружности, оба фокуса совпали бы в ее центре, расстояние между фокусами было бы равно нулю, следовательно, эксцентриситет также равнялся бы нулю.

Если эксцентриситет орбиты очень мал и практически равен нулю, орбита по форме близка к окружности — именно такую форму имеют орбиты большинства планет.

Эксцентриситет эллипса всегда меньше 1, так как половина фокального расстояния всегда меньше большой полуоси.

Когда эксцентриситет равен 1, эллипс приобретает форму параболы — незамкнутой кривой — и не описывает орбиту какой-либо из планет. Если рассматривать орбиты комет, то их эксцентриситет может быть даже больше 1 — в этом случае орбита будет иметь форму гиперболы. В подобных случаях кометы приближаются к Солнцу лишь однажды, после чего, пройдя через перигелий, больше никогда не возвращаются в Солнечную систему. Такие кометы выглядят намного эффектнее, чем кометы, движущиеся по эллиптическим орбитам: последние периодически приближаются к Солнцу и при каждом прохождении мимо него теряют часть своей массы, пока не будут уничтожены совсем. Определить положение небесного тела на орбите можно в момент, когда она проходит через перигелий.

Теперь расскажем о трех других элементах орбиты. Наклонение i указывает угол между плоскостью эклиптики и плоскостью орбиты рассматриваемой планеты. Линия пересечения этих плоскостей называется линией узлов. На рисунке, где плоскость эклиптики изображена как горизонтальная плоскость, планета при движении по орбите проходит через восходящий узел (после прохождения этой точки планета «восходит» над плоскостью эклиптики), затем — через нисходящий узел. Чтобы окончательно определить положение орбиты относительно эклиптики, недостает еще одного угла — долготы восходящего узла (Ω). Это угол, откладываемый от точки весеннего равноденствия (γ) до восходящего узла против часовой стрелки.

Наконец, чтобы определить расположение орбиты на плоскости, используется третий эйлеров угол — аргумент перицентра ω. Это угол, откладываемый от восходящего узла до перигелия против часовой стрелки.

Эллиптическая орбита планеты. На схеме отмечены наклонение i, долгота восходящего узла Ω и аргумент перицентра ω.

Эти элементы орбиты используются для вычисления орбит небесных тел Солнечной системы и при расчетах траекторий искусственных спутников. Эти элементы возникли при решении задачи двух тел без внешних возмущений. С учетом этих возмущений траектория будет представлять собой последовательность конических сечений, имеющих с ней общий фокус. В этом случае орбита будет касательной к этой последовательности конических сечений.

Элементы орбит реальных объектов со временем изменяются. Основной причиной является действие силы тяжести близлежащих тел Солнечной системы. К примеру, орбиты комет могут отклоняться в результате выброса газа, под влиянием электромагнитного излучения или электромагнитных сил. Изменение элементов орбиты искусственных спутников может быть вызвано неидеальной формой Земли или силой трения с верхними слоями атмосферы. Существует множество компьютерных программ, позволяющих следить за искусственными спутниками Земли, однако чтобы получить точные координаты, нужно непрерывно вводить новые значения элементов орбит, иначе уже через месяц результаты расчетов могут потерять всякую точность.

Где искать экзопланеты

Считается, что Солнечная система сформировалась примерно 4,5 млрд лет назад. Из облака газа и межзвездной пыли образовались центральная звезда и диск вокруг нее. В этом диске из мелких частиц стали постепенно формироваться более крупные тела, планетезимали, затем — протопланеты и, наконец, планеты. Возможно, этот же процесс произошел во многих других уголках Вселенной.

Число известных планет за пределами Солнечной системы исчисляется сотнями.

Большинство из них принадлежат к планетным системам, состоящим из нескольких планет. Такие планеты называются экзопланетами. Как правило, все они имеют большие размеры (намного больше, чем Юпитер — крупнейшая планета Солнечной системы), поэтому массы таких планет часто сравнивают с массой Юпитера (1,9∙1027 кг). Лишь некоторые из них по размерам сопоставимы с Землей, однако эта точка зрения может объясняться и несовершенством наших оптических инструментов.

Принцип обозначения экзопланет прост: после названия звезды указывается строчная буква, начиная с «Ь» (например, 51 Пегаса Ь). Следующие планеты обозначаются следующими буквами алфавита: с, d, е, f… (51 Пегаса с, 51 Пегаса d, 51 Пегаса е, 51 Пегаса f и так далее).

Первая экзопланета, обнаруженная непосредственно в результате наблюдений, — 2М1207 Ь. Ее масса в 3,3 раза превышает массу Юпитера. Она вращается на расстоянии в 55 а. е. от своей центральной звезды — коричневого карлика. Вокруг центральной звезды располагается пылевой диск, в котором можно видеть, как образуются планеты.

В таблице представлены некоторые планетные системы, насчитывающие несколько планет.

Приведенные данные, за исключением данных последнего столбца, взяты из каталога экстрасолнечных планет.

* Была вычислена с помощью метода радиальных скоростей, позволяющего определить минимальную массу планеты.

** При расчете диаметров, приведенных в последнем столбце таблицы, предполагалось, что плотность планеты равна плотности Юпитера (1330 кг/м3). Если предполагалось, что планета сравнима с Землей, при расчетах диаметра использовалась плотность Земли — 5520 кг/м3.

В предыдущей таблице представлены некоторые экзопланеты, расположенные очень близко к центральным звездам своих планетных систем (планеты Глизе 876 Ь, с, d к своей звезде ближе, чем Меркурий — к Солнцу). Другие планеты расположены на большем расстоянии (в планетной системе HD 8799 три планеты находятся примерно на том же расстоянии от звезды, как и Нептун от Солнца).

Экзопланеты могут вращаться вокруг звезд различных типов: в 1992 году радиоастрономы объявили об открытии планеты вблизи пульсара PSR1257+12. Эти планеты считаются первыми экзопланетами. В 1995 году было объявлено об открытии первых экзопланет вблизи звезды типа 51 Пегаса. Позднее были обнаружены экзопланеты, вращающиеся вокруг красного карлика (Глизе 876 в 1998), звезды-гиганта (Йота Дракона, 2001), коричневого карлика (2М1207, 2004), звезды спектрального класса К (HD40307, 2008) и звезды A-класса (Фомальгаут, 2008).

Планета Фомальгаут b в облаке межпланетной пыли в звездной системе Фомальгаута.

Изображение получено с помощью космического телескопа «Хаббл».

При вычислении диаметров экзопланет используется плотность Юпитера или плотность Земли (для экзопланет земного типа). Полученный результат приведен в таблице на стр. 60. Аналогично были вычислены диаметры планет первой много планетной системы, открытой вблизи звезды главной последовательности, Ипсилон Андромеды. Эта система состоит из трех планет, подобных Юпитеру: Ипсилон Андромеды Ь, с и d. Их диаметры при р = 1330 кг/м3  (плотность Юпитера) также представлены в таблице. Учитывая представленные выше результаты и периоды обращения экзопланет, можно определить массу центральных звезд соответствующих планетных систем по третьему закону Кеплера: постоянная а3/Р2 равна массе центральной звезды (см. приложение).