Жуан Гомес - Мир математики. т.2. Математики, шпионы и хакеры. Кодирование и криптография

• Название: Мир математики. т.2. Математики, шпионы и хакеры. Кодирование и криптография
• Автор: Жуан Гомес
• Издательство: ООО «Де Агостини»
• Жанр: Математика
• Год: 2014
• ISBN: 978-5-9774-0682-6; 978-5-9774-0639-0 (т. 2)

Если бы историю человечества можно было представить в виде шпионского романа, то главными героями этого произведения, несомненно, стали бы криптографы и криптоаналитики. Первые — специалисты, виртуозно владеющие искусством кодирования сообщений. Вторые — гении взлома и дешифровки, на компьютерном сленге именуемые хакерами. История соперничества криптографов и криптоаналитиков стара как мир.

Эволюционируя вместе с развитием высоких технологий, ремесло шифрования достигло в XXI веке самой дальней границы современной науки — квантовой механики. И хотя объектом кодирования обычно является текст, инструментом работы кодировщиков была и остается математика.

Эта книга — попытка рассказать читателю историю шифрования через призму развития математической мысли.

---

* * *

КРОШЕЧНЫЕ БУКВЫ

В годы холодной войны герои шпионских триллеров часто использовали крошечные микрофильмы для пересылки сообщений, чтобы их было невозможно прочитать невооруженным глазом. Этот стеганографический метод, названный «микроточки», был разработан на несколько лет раньше, в Германии во время Второй мировой войны. Фотография текста сообщения уменьшалась до размеров точки, а затем прикреплялась к безобидному письму в качестве одного из многих типографских символов.

* * *

Использование скиталы основано на криптографическом методе, известном как перестановочное шифрование, когда буквы сообщения переставляются местами.

Чтобы получить представление о силе этого метода, рассмотрим простой пример перестановки всего трех букв: А, О и R. Быстрая проверка без каких-либо расчетов показывает, что они могут быть переставлены шестью различными способами:

AOR, ARO, OAR, ORA, ROA и RAO.

В абстрактных терминах процесс выглядит следующим образом: как только одна из трех возможных букв поставлена на первое место, что дает нам три различных возможности, остаются еще две буквы, которые в свою очередь могут быть переставлены двумя различными способами. Таким образом, общее количество составит 3 x 2 = 6 способов. В случае более длинного сообщения, например, из 10 букв, число возможных перестановок составит 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1. Такое произведение в математике записывается как 10! и дает число 3 628 800. В общем случае для сообщения из n букв существует n! различных способов изменить их порядок.

Таким образом, скромное сообщение из 40 символов имеет так много способов изменения порядка букв, что это сообщение практически невозможно расшифровать вручную. Может быть, мы нашли идеальный криптографической метод?

Не совсем так. По сути, алгоритм перестановочного шифрования обеспечивает высокий уровень безопасности, но как насчет ключа, который позволяет расшифровать сообщение? Случайность процесса составляет и его силу, и его слабость. Потребовался другой метод шифрования, чтобы генерировать ключи, которые были бы простыми и легкими для запоминания и передачи без потери уровня безопасности.

Так начались поиски идеального алгоритма, и первые успехи в этом деле были достигнуты римскими императорами.

* * *

РУКОВОДСТВО ДЛЯ МОЛОДЫХ ДАМ

Камасутра — это пространное руководство, которое посвящено, среди прочего, тому, что необходимо знать каждой женщине, чтобы быть хорошей женой. Созданное около IV в. до н. э. брамином по имени Ватьсьяяна, оно рассказывает о 64 различных навыках, в том числе о музыке, кулинарии и шахматах. Особый интерес для нас имеет навык под номером 45, потому что он представляет собой искусство тайнописи, или млеччхита-викальпа. Древний мудрец рекомендует несколько методов, в том числе такой: разделить алфавит на две части и распределить буквы по парам случайным образом. В этой системе каждое соответствие пар представляет собой ключ. Например, один из ключей может быть следующим:

Чтобы написать тайное послание, нужно просто заменить каждую букву А в оригинальном тексте буквой Е, букву Р, соответственно, буквой С, J — буквой W, и так далее.

Кесарю кесарево

Veni, vidi, vici (пришел, увидел, победил).

Юлий Цезарь

Шифры подстановки разрабатывались параллельно с перестановочным шифрованием. В отличие от перестановочного шифрования, строгий шифр подстановки заме няет каждую букву или символ на какой-то другой. В отличие от перестановочного шифрования, шифр подстановки основывается не только на буквах, которые содержатся в сообщении. В перестановочном шифровании буква меняет свое положение, но сохраняет свою роль; одна и та же литера имеет одинаковое значение в исходном сообщении и в зашифрованном. В шифре подстановки буквы сохраняют свои позиции, но меняют роли (одна и та же буква или символ имеет в исходном сообщении одно значение, а в зашифрованном — другое). Одним из первых известных алгоритмов шифра подстановки был шифр Полибия, названный в честь греческого историка Полибия (203–120 гг. до н. э.), который оставил нам его описание. Об этом методе подробно рассказано в Приложении.

Спустя примерно 50 лет после появления шифра Полибия, в I в. до н. э., возник другой шифр подстановки, известный под общим названием шифра Цезаря, потому что именно Юлий Цезарь использовал его для секретной переписки со своими генералами. Шифр Цезаря является одним из наиболее изученных в криптографии, и он очень полезен тем, что иллюстрирует принципы модульной арифметики, одной из математических основ кодированного письма.

Шифр Цезаря заменяет каждую букву другой, находящейся в алфавите на некоторое фиксированное число позиций правее. Как писал великий историк Светоний в книге «Жизнь двенадцати цезарей», Юлий Цезарь использовал для своей личной переписки следующий алгоритм подстановки: каждая буква исходного сообщения сдвигалась по алфавиту на три позиции, а именно, буква А заменялась на D, В — на Е, и так далее. Буква W превращалась в Z, а X, Y и Z возвращались к А, В и С.

* * *

ГАЙ ЮЛИЙ ЦЕЗАРЬ (100-44 гг. до н. э.)

Цезарь (на изображении справа) был военным и государственным деятелем, диктатура которого положила конец Римской республике. После службы в качестве магистрата в Дальней Испании он присоединился к двум другим влиятельным людям того времени, Помпею и Крассу, образовав Первый Триумвират, скрепленный браком Помпея с дочерью Цезаря, Юлией. Три союзника разделили между собой Римскую империю: Красе получил восточные провинции, Помпей остался в Риме, а Цезарь взял на себя военное командование Цизальпийской Галлией и управление Трансальпийской Галлией. В это время началась Галльская война. Она длилась восемь лет и завершилась завоеванием римлянами галльских территорий. После этого Цезарь со своей победоносной армией вернулся в столицу империи и назначил себя единственным диктатором.

* * *

Кодирование и декодирование зашифрованных таким образом сообщений может быть осуществлено с помощью простого устройства, показанного ниже:

Рассмотрим теперь этот процесс подробнее. В таблице ниже мы видим изначальный алфавит из 26 букв и алфавит, преобразованный шифром Цезаря, где каждая буква сдвинута на три позиции вправо (верхний ряд — алфавит открытого сообщения, а нижний — шифроалфавит).

Когда два алфавита, оригинальный (или алфавит открытого сообщения) и шифроалфавит, расположены таким образом, шифрование любого сообщения сводится к замене букв из первого алфавита буквами из второго. Ключ к такому шифру получает название по букве, соответствующей зашифрованному значению буквы А (первой буквы оригинального алфавита). В нашем случае это буква D. Известное выражение AVE CAESAR («Радуйся, Цезарь») будет зашифровано как DYH FDHVDU. Обратно, если зашифрованное сообщение выглядит как WUHH, то расшифрованный текст будет TREE («Дерево»). В случае с только что описанным шифром Цезаря криптоаналитик, который перехватил сообщение и знает используемый алгоритм, но не знает ключ к шифру, должен будет перебрать все возможные сдвиги алфавита, пока не найдет сообщение, имеющее смысл. Для этого он должен будет, в худшем случае, попробовать все возможные ключи или сдвиги. В алфавите, состоящем из n букв, существует n возможных сдвигов, то есть n ключей.

* * *

ШИФРЫ В ФИЛЬМАХ

В классическом научно-фантастическом фильме режиссера Стэнли Кубрика по мотивам повести Артура Кларка «Космическая одиссея 2001 года» (1968) наделенный сознанием суперкомпьютер космического корабля HAL 9000 сходит с ума и пытается убить человеческий экипаж.

Теперь предположим, что слово HAL закодировано шифром Цезаря со сдвигом на одну позицию. Тогда буква Н соответствует букве I, А соответствует В, a L — букве М; другими словами, получается IBM, в то время крупнейший в мире производитель компьютеров. О чем пытался рассказать этот фильм: об опасностях искусственного интеллекта или об угрозах бесконтрольной коммерческой монополии? Или это просто совпадение?

Всевидящий глаз компьютера HAL 9000 из фильма «Космическая одиссея 2001 года»

16 = 4. Модульная арифметика и математика шифра Цезаря