Энрике Грасиан - Том 18. Открытие без границ. Бесконечность в математике

• Название: Том 18. Открытие без границ. Бесконечность в математике
• Автор: Энрике Грасиан
• Издательство: "Де Агостини"
• Жанр: Математика
• Год: 2014
• ISBN: 978-5-9774-0682-6; 978-5-9774-0713-7 (т.18)

Большинство из нас испытывает головокружение, думая о бесконечности: ее невозможно себе представить!

Быть может, именно поэтому она является неисчерпаемым источником вдохновения. В погоне за бесконечностью ученым пришлось петлять между догмами и парадоксами, вступать на территорию греческой философии, разбираться в хитросплетениях религиозных измышлений и секретов тайных обществ.

Но сегодня в математике бесконечность перестала быть чем-то неясным и превратилась в полноценный математический объект, подобный числам и геометрическим фигурам.

---

 Магнус  Гёста  Миттаг-Леффлер на  фотографии  1916  года.

Переводом  трудов  Кантора  на  французский  и  редактированием  занялась  группа  математиков  во  главе  с  Шарлем  Эрмитом,  который,  как  мы  отмечали  в  главе  5,  разработал  доказательство  трансцендентности  числа  е,  впоследствии  улучшенное  самим  Кантором.  Публикации  в  Acta  Mathematica  сыграли  большую  роль  в  поддержке  новой  теории  трансфинитных  чисел,  однако  инцидент,  связанный  с  публикацией «Основ  теории  отношений  порядка»,  свел  все  усилия  Кантора  на  нет.  Кантор в  то  время  безуспешно  пытался  найти  доказательство  континуум-гипотезы,  но  ему не  удавалось  достичь  сколько-нибудь  значимых  результатов.  В  упомянутой  выше работе  был  дан  новый  толчок  теории  множеств,  что,  как  считал  Кантор,  должно было  упростить  доказательство.  Однако  Миттаг-Леффлер  отложил  публикацию статьи  более  чем  на  год,  ссылаясь  на  то,  что  в  ней  не  только  отсутствовало  доказательство  континуум-гипотезы,  но  и  она  непременно  вызвала  бы  негативную  реакцию  научного  сообщества:  в  работе  использовалось  понятие  трансфинитных  чисел и  новый  математический  язык,  а  также  содержались  далекие  от  математики  философские  рассуждения.  Кантор  счел  этот  инцидент,  по  его  словам,  «настоящей  катастрофой»  и  для  математики,  и  для  него  лично.  Он  усмотрел  в  этом  влияние  «черной руки»  —  так  ученый  называл  группу  берлинских  математиков  (в  их  числе  были Куммер,  Вейерштрасс  и  Кронекер),  отвергавших  его  теории.  Как  мы  уже  отмечали, с  Кронекером  Кантор  вел  крайне  ожесточенную  полемику.

 Эксцентричность  Кантора

 В  марте  1874  года,  во  время  одной  из  частых  поездок  в  Берлин,  Кантор  познакомился  с  Валли  Гугтман,  подругой  своей  сестры  Софи,  и  в  августе  того  же  года  женился  на  ней.  Валли  была  увлекающейся  натурой,  она  любила  музыку,  и  Кантор всегда  относился  к  ней  с  величайшей  нежностью.  Тем  не  менее,  осознавая  свои  слабости,  он  еще  до  свадьбы  предупредил  невесту,  что  его  «без  явных  на  то  причин...

могут  сломить  жизненные  тяготы».  Как  бы  то  ни  было,  этот  брак  вполне  можно назвать  счастливым.  У  Кантора  родилось  четыре  сына  и  две  дочери.  Унаследовав достаточную  сумму,  чтобы  не  беспокоиться  о  своем  финансовом  положении,  ученый решил  построить  дом  в  Галле.  На  тот  момент  он  оставил  должность  в  Университете Галле  и  отказался  от  попыток  получить  работу  в  Берлинском  университете.

 К  1885  году  Кантор  устал  от  безрезультатных  попыток  доказать  континуум-гипотезу.  Он  был  глубоко  разочарован  тем,  что  представители  математического  сообщества  избегали  его,  и  отодвинул  занятия  математикой  на  второй  план.  В  1889  году ученый  посвятил  себя  попыткам  доказать,  что  произведения  Шекспира  (1564—1616)  в  действительности  написаны  Фрэнсисом  Бэконом  (1561—1626),  противоречивым  английским  философом  и  политиком,  который  попытался  претворить в  жизнь  важную  научную  реформу.  В  1898  году  Кантор  даже  прочел  курс  лекций о  жизни  и  творчестве  Фрэнсиса  Бэкона  —  ив  том  же  году  был  исключен  из  Шекспировского  общества.  Исследователь  собрал  объемную  библиотеку  английских  авторов  XVI—XVII  веков,  вложив  в  нее  часть  своего  состояния,  а  также  посвятил несколько  лет  философии  и  написал  несколько  философских  работ.  Интересовала его  главным  образом  метафизика,  особенно  темы,  имеющие  отношение  к  актуальной бесконечности.

 16  декабря  1899  года  Кантор  вернулся  из  Лейпцига,  где  выступал  на  конференции  с  докладом  о  Фрэнсисе  Бэконе,  и  узнал  о  смерти  своего  сына  Рудольфа:  13-летний  музыкально  одаренный  мальчик  отличался  слабым  здоровьем.  После  смерти сына  Кантор  неожиданно  заявил,  что  сожалеет  о  том,  что  оставил  музыку  и  занялся математикой,  и  в  результате  эта  «вздорная  идея»  помешала  ему  посвятить  себя  истинному  призванию.

 Безумие

 О  душевной  болезни  Кантора,  от  которой  он  страдал  в  последние  годы  жизни,  написано  немало  книг  и  высказано  множество  предположений.  История  болезни  ученого  не  сохранилась,  поэтому  сложно  сказать,  каким  был  настоящий  диагноз.  Все указывает  на  то,  что  Кантор  страдал  от  заболевания,  которое  сегодня  именуют  биполярным  аффективным  расстройством  —  болезнью  эндогенного  характера,  при которой  фазы  эйфории  сменяются  депрессией.  Поэтому  версия,  согласно  которой причиной  болезни  Кантора  стали  нападки  со  стороны  его  коллег,  в  особенности Кронекера,  выглядит  неубедительно.

 В  последние  двадцать  лет  жизни  исследователь  периодически  по  собственному желанию  лечился  в  психиатрических  клиниках.  Это  не  мешало  ему  продолжать  работу  и  в  промежутках  между  лечением  публиковать  свои  исследования.  В  последний раз  он  был  помещен  в  клинику  в  1917  году.  В  то  время  Германия  была  близка  к  поражению  в  Первой  мировой  войне,  экономика  страны  пришла  в  упадок,  и  без  того  тяжелые  условия  пребывания  в  психиатрических  больницах  еще  больше  ухудшились.

Это  единственный  раз,  когда  Кантор  был  помещен  в  больницу  против  своей  воли.

В  письмах  он  жаловался  на  холод,  одиночество  и  скудное  питание.  Хотя  к  этому  моменту  его  теории  уже  получили  широкое  признание  научного  сообщества,  6  января 1918  года  Кантор  умер  в  ужасных  условиях  и  в  полном  одиночестве.

* * *

 ТРАГИЧЕСКАЯ  ГИБЕЛЬ

 Помимо  смерти  сына,  большим  потрясением  для  ученого  стала  гибель  его  младшего  брата Людвига.  Братья  были  очень  близки  и  вместе  учились  в  начальной  школе,  правда  с  разными успехами.  Людвиг,  не  слишком  склонный  к  обучению,  решил  заняться  торговлей,  в  то  время  как Георг  поступил  в  университет.  В  1863  году  Людвиг  эмигрировал  в  США,  и  информация  об  этом периоде  его  жизни  практически  не  сохранилась.  Достоверно  известно  лишь  то,  что  в  1870  году он  умер  в  психиатрической  больнице,  куда  был  помещен  с  жалобами  на  глубокую  депрессию. Было  высказано  немало  предположений  о  том,  что  оба  брата  страдали  от  наследственного психического  заболевания.

* * *

 Теории  Кантора  о  бесконечности  входят  в  число  самых  революционных  теорий в  истории  математики  за  последние  2500  лет,  а  многие  историки  науки  считают  теорию  множеств  Кантора  одним  из  наиболее  выдающихся  достижений  человеческой мысли.

 Была  ли  болезнь  Кантора  наследственной  или  она  возникла  под  влиянием  обстоятельств,  не  столь  важно.  Возможно,  что  свою  роль  в  равной  степени  сыграли  оба фактора.  Как  бы  то  ни  было,  Кантор,  подобно  всем  гениям,  ясно  видевшим  то,  что для  остальных  имело  лишь  бесформенные  очертания,  страдал  от  одиночества.  В  одной  из  своих  философских  статей,  опубликованной  в  1883  году,  он  написал  слова, которые  можно  в  равной  степени  расценивать  и  как  песнь  свободе,  и  как  крик  отчаяния  в  адрес  общества,  задушенного  собственным  догматизмом:

 «Математика  в  своем  развитии  совершенно  свободна  и  связана  только  одним условием:  ее  понятия  должны  быть  непротиворечивы  и  согласованы  с  уже имеющимися  понятиями  посредством  четких  определений.  Сущность  математики  —  свобода».

 Кантор  предпочитал  использовать  понятие  «свободная  математика»  вместо  более  общего  «чистая  математика».

 Он  умер  в  одиночестве  в  больнице,  но  его  имя  никогда  не  будет  забыто.  Лучшая эпитафия  Кантору,  несомненно,  принадлежит  Гильберту,  который  сказал:  «Никто не  может  изгнать  нас  из  рая,  который  Кантор  создал  для  нас».

* * *

МНОЖЕСТВА  И  НАЦИЗМ

 Математическое  сообщество  решило  отдать  дань  уважения  труду  Кантора,  для  чего  к  его  70-летнему  юбилею  были  организованы  торжества,  однако  Первая  мировая  война  помешала  реализовать  эти  планы.  Тогда  группа  немецких  математиков  собралась  в  его  доме,  чтобы  вручить  ученому  в  знак  признания  мраморный  бюст,  который  в  настоящее  время  хранится  в  Университете Галле.  В  период  правления  Гитлера  этот  бюст  был  убран,  так  как  теория  множеств  считалась «еврейской  математикой».