Сергей Бобров - ВОЛШЕБНЫЙ ДВУРОГ

• Название: ВОЛШЕБНЫЙ ДВУРОГ
• Автор: Сергей Бобров
• Издательство: Детская литература
• Жанр: Математика
• Год: 1967

В этой книге в занимательной форме рассказывается немало интересного для тех, кто любит точные науки и математику. Читатель узнает о развитии математики с ее древнейших времен, о значении математики в технике, а особенно об одной из важнейших отраслей математики - так называемом математическом анализе. На доступных примерах читатель познакомится с элементами дифференциального и интегрального исчислений. В книге также говорится о неевклидовых геометриях и о той, которая связана с открытиями великого русского геометра П. П. Лобачевского. Читателю предлагается немало занимательных задач, многие из которых сопровождаются подробным разбором.

-

Для среднего и старшего возраста.

---

- У них еще есть! Что есть - боюсь сказать. Но то же... вроде... Тесс! Молчок! Дело в том, что у них, видишь ли, есть еще... особые сорта голландского. Один называется альмагестическим сыром. Это давнишний сыр, традиционный, легендарный, многозвездный, покровитель мореходов, любимый сыр звездочетов, пока, разумеется, они еще не знали того, шотландского сыра. А сверх того еще один сыр, необыкновенный, якобы круглый... Называется - казанский.

- Казанский? - переспросил Илюша с удивлением.

- В этом городе сварили такой сыр, что самые серьезные люди называли этого дивного сыровара Коперником геометрии!

Это был второй Евклид. И представь себе, что эти сыры измеряют не на килограммы, потому что это и устарелый и неостроумный способ. На километры тоже неудобно - очень длинно! Долго они думали над этим вопросом. Пробовали мерить мегомами, атмосферами, люксами, кулонами, лошадиными силами, грамм-молекулами, большими калориями - и все как-то не получалось.

Но когда Коникос умножил одну секунду на шестьдесят в квадрате, то вышло в самый раз.

- Шестьдесят в квадрате секунд? - сказал Илюша. - Да это ведь час? Как же это так? Приходишь в магазин и говоришь: "Будьте так добры, дайте-ка мне полчасика сырку!"

- 255 -

- Ну почему час? - возразил козлоногий его собеседник. - Не час, а градус! Даже и градус-то не особенно удобная мера для сыров. Они меряют сыр, умножая градус еще на девяносто, то есть, попросту сказать, меряют его прямыми углами.

Когда ты попросишь: "Отпустите мне альмагестического сыру три прямых", тут уже все ясно и никаких недоразумений быть не может.

Илюша никак не мог сообразить, как это можно измерять сыр прямыми углами, однако он заинтересовался этим, потому что только что убедился, что все, что в прошлой схолии ему рассказывали о различных сырах Фавн, Дриада и громкоговоритель, хотя на первый взгляд это и была чушь непролазная, в дальнейшем получило вполне понятное объяснение.

Поэтому он и сейчас подумал, что, наверно, Фавн, рассказывая ему об альмагестическом и казанском сырах и отвешивании оных при помощи прямых углов, имеет в виду что-то необыкновенно интересное. В это время занавесь домика Асимптотоса широко распахнулась, оттуда выскочил покрасневший, как свекла, Коникос и крикнул:

- Молодой человек! Куда ты девался?

Илюша, недовольный тем, что его оторвали от такого интересного разговора, вышел потихоньку из-за кустов. А из домика показался очень взволнованный Асимптотос.

- Справедливые боги! - воскликнул он, воздевая руки ввысь. - Вот благодарность за мои красноречивые рассказы!

Убежать от меня в лес и там начать болтовню с какой-то бессловесной скотиной! Клянусь плавающим параболоидом Архимеда, ведь ты же неведомо чего от него можешь набраться!

Идем скорей!

- Я не знал, - сказал смущенный Илюша. - Но у вас там такой крик стоял...

- Не крик, а чисто принципиальное недоумение! - строго ответил ему Магистр Деревьев, высунувшись из-за занавеси.

Илюша не осмелился вступать с ними в пререкания и снова вошел в домик.

Стоявший в уголке Радикс досадливо погрозил ему пальцем. Илюша поспешно подошел к нему.

- Послушай, Радикс, - сказал он еле слышным шепотом, - я просто вышел на минутку. А этот Фавн, тот самый - помнишь?..

Но не успел Илюша докончить этой фразы, как около него словно из-под земли вырос всепроницающий Командор О. С. М.

- Это что такое? - строго вопросил он. - Кто это тебе позволил, гадкий мальчик?

- 256 -

А не хочешь ли, я прикоснусь к тебе при помощи касательной так, что ты у меня улетишь на такую бесконечно удаленную точку, что тебе оттуда архимедово число с квадриллионами нулей с единичку покажется?

И не успел еще Илюша рта раскрыть, как Доктор Четных и Нечетных воскликнул гневно, мрачно и торжественно:

- Молчание!

И вдруг лопнул, рассыпавшись разноцветными искрами.

Радикс, Асимптотос и Коникос стояли озадаченные, оторопевшие.

- Н-н-ну-с... - произнес слегка вздрагивающим голосом Коникос, - кажется, обошлось... Но, пожалуйста, не шали больше! Приступим к дальнейшему.

И в тот же миг перед нашими друзьями вырос громадный шар, метров трех в диаметре. Коникос снова взял в руки свой широченный нож, подошел к громадному шару и начал:

- Если взять поверхность обыкновенного шара, то есть сферу, то из нее возможно получить некоторый своеобразный треугольник.

Тут Коникос разрезал сферу своим широченным ножом ровно пополам, по экватору, и толкнул нижнюю половинку; она сдвинулась, откатилась и исчезла, а верхняя половина медленно опустилась на пол. Коникос снова разрезал ее пополам. А затем получившуюся четвертинку сферы он рассек еще раз надвое.

- Ну, вот-с! - сказал он, поглядывая на эту восьмую часть сферы. - Я утверждаю, что я получил треугольник. И я попрошу тебя, Илюша, выяснить, чему равняется сумма его углов.

- Мне кажется, - отвечал Илюша, - что вот этот угол, который поближе, очень похож на прямой... Но только я не уверен, что его можно называть прямым, просто потому, что не знаю, как измеряется угол между двумя кривыми.

- Измеряется он довольно просто, - отвечал Коникос. - Мы в таком случае меряем угол не между самыми кривыми, а между двумя их касательными, касающимися наших кривых как раз в той точке, которая есть вершина нашего угла. Ясно?

- Да, как будто ясно, - отвечал мальчик.

Илюша внимательно осмотрел получившийся у Коникоса кусок сферы, но сперва не обнаружил во всем этом ничего интересного. Разрезали шар на восемь частей - что же тут особенного? Иной раз так и арбузы режут...

- 257 -

- Я думаю, - заявил Илюша приглядевшись, - что этот кусок сферы образует с плоскостью, на которой он лежит, только прямые углы. Угол А прямой (смотри на картинку!), угол В прямой, и угол С тоже прямой! Следовательно, поверхность шара- сфера, - разрезанная таким образом, дает треугольник, сумма углов которого равняется трем прямым углам. Но как же это может быть? Ведь в настоящем треугольнике сумма углов равна двум прямым углам!.. Впрочем, это треугольник кривой, а если его растянуть на плоскости...

- А ну попробуй растяни! - сказал Асимптотос, приподняв свой треугольник и подавая его Илюше. - Только не рвать!

Илюша начал растягивать, но оказалось, что этот странный треугольник не хочет растягиваться. Когда Илюша нажал на него покрепче, он выгнулся в другую сторону, как зонтик под сильным ветром, но растягиваться не соглашался.

- Вот как, Илюша! - сказал Радикс. - Учил ты, учил планиметрию, а как до трех прямых дошло, так и запутался!

Ты прими во внимание: все, что ты учил о треугольниках, правильно, пока они на плоскости. И там все евклидовы теоремы правильны. Так и говорится: "евклидова геометрия".

А на шаре мы получаем не-евклидову геометрию. Если взять огромный шар и рассматривать маленькие треугольники, то чем шар больше, тем ближе их геометрия приближалась бы к евклидовой. Если бы радиус шара был безгранично велик, тогда бы и на его поверхности Евклид оказался прав. А на данной сфере в таком треугольнике сумма углов зависит от его площади, тогда как на плоскости это величина постоянная и равна 2d. А это сферический треугольник, но не плоский.

- И существует, - добавил Коникос, - особая сферическая тригонометрия, которая весьма необходима мореплавателям и астрономам. Она даже появилась на свет ранее обычной в одном астрономическом сочинении Клавдия Птолемея, так называемом "Альмагесте", написанном около сто тридцатого года вашей эры в Александрии.

"Так, так, так! - подумал Илюша. - Вот почему Фавн говорил об альмагестическом сыре и прямых углах!"

- До Коперника, - продолжал Коникос, - это было самое серьезное и самое авторитетное сочинение по астрономии.

- 258 -

Европейцы узнали его в арабском переводе, и под этим арабским названием "Альмагест" оно и стало известно. Именно там и изложена геоцентрическая теория Птолемея. Настоящее заглавие этого сочинения - "Великое построение математическое". Оно несомненно заслуживает такого названия, ибо долгое время служило на пользу людям.

- Но ведь это же было неверно, - сказал Илюша, - раз он считал, что в центре нашей системы находится Земля, а не Солнце? Мне вспоминается, что у Ломоносова есть даже стихи по этому поводу...

- Какие такие стихи? - спросил Гадикс.

- Постой-ка, сейчас вспомню, - отвечал мальчик. - Ага... вот как:

Случились вместе два астронома в пиру
И спорили весьма между собой в жару.

Один твердил: Земля, вертясь, круг Солнца ходит;
Другой - что Солнце все с собой планеты водит.
Один Коперник был, другой слыл Птолемей.
Тут повар спор решил усмешкою своей.

Хозяин спрашивал: "Ты звезд теченье знаешь?
Скажи, как ты о сем сомненье рассуждаешь?"
Он дал такой ответ: "Что в том Коперник прав,
Я правду докажу, на Солнце не бывав.

Кто видел простака из поваров такого,
Который бы вертел очаг кругом жаркого!"

- Возможно, это и так, - отвечал Асимптотос, - в том смысле, что с физической точки зрения естественней считать центром системы Солнце, а все-таки службу "Альмагест" сослужил немалую. И без него было бы не так-то просто построить современную систему. Но система "Альмагеста" уже тем нехороша, что она чересчур сложна. Планета двигалась у Птолемея вокруг Земли не просто по кругу, а по некоторому небольшому кругу, а центр этого круга, в свою очередь, катился по другому, большому кругу, в центре которого находилась Земля. Круги вертелись в разные стороны, да еще с переменной скоростью. Если составить карту звездного неба и нарисовать на ней путь движения какой-нибудь планеты на фоне неподвижных звезд ("планета" ведь и значит "блуждающая звезда"), то окажется, что он представляет собой кривую, которая образует петли. Планета двигается в определенном направлении, затем начинает опускаться, потом как бы идет назад, в "обратном направлении", снова поворачивает и, описав таким образом петлю, вновь начинает двигаться в том же примерно направлении, с которого мы начали.