Марио Ливио - φ – Число Бога. Золотое сечение – формула мироздания

• Название: φ – Число Бога. Золотое сечение – формула мироздания
• Автор: Марио Ливио
• Жанр: Математика
• Год: 2015
• ISBN: 978-5-17-094497-2

Как только не называли это загадочное число, которое математики обозначают буквой φ: и золотым сечением, и числом Бога, и божественной пропорцией. Оно играет важнейшую роль и в геометрии живой природы, и в творениях человека, его закладывают в основу произведений живописи, скульптуры и архитектуры, мало того – ему посвящают приключенческие романы! Но заслужена ли подобная слава? Что здесь правда, а что не совсем, какова история Золотого сечения в науке и культуре, и чем вызван такой интерес к простому геометрическому соотношению, решил выяснить известный американский астрофизик и популяризатор науки Марио Ливио. Увлекательное расследование привело к неожиданным результатам…

Увлекательный сюжет и нетривиальная развязка, убедительная логика и независимость суждений, малоизвестные факты из истории науки и неожиданные сопоставления – вот что делает эту научно-популярную книгу настоящим детективом и несомненным бестселлером.

---

Затем события приняли неожиданный поворот: в 1998 году две группы астрономов обнаружили, что наша Вселенная не просто расширяется (что уже доказал астроном Эдвин Хаббл в двадцатые годы), но расширяется с ускорением. Это открытие вызвало настоящее потрясение, поскольку астрономы, естественно, полагали, что расширение должно замедляться из-за силы тяготения. Ведь если бросить мяч вверх, стоя на поверхности Земли, его движение будет замедляться, поскольку на него действует сила тяготения, которая в конце концов и заставит его изменить направление движения на противоположное, – так и сила тяготения всей материи во Вселенной, казалось бы, должна замедлить скорость космического расширения. Открытие, что расширение не замедляется, а ускоряется, наводит на мысль о существовании какой-то «темной энергии», которая проявляется как отталкивающая сила, которая в нашей нынешней Вселенной пересиливает силу тяготения. Физики еще спорят о том, каков источник и природа этой «темной энергии». Согласно одной гипотезе эта энергия связана с квантовым полем, пронизывающим весь космос наподобие знакомого нам электромагнитного поля. Это поле очень похоже на невидимую среду Аристотеля и даже иногда называется «квинтэссенция». Кстати, в научно-фантастическом фильме Люка Бессона «Пятый элемент» «пятой стихией» – «квинтэссенцией» – была названа сила самой жизни, то, что оживляет неживое.

Теория Платона отнюдь не сводилась к символической связи фигур и стихий. Он отметил, что грани первых четырех правильных многогранников можно составить из двух видов прямоугольных треугольников: равнобедренного, с углами 45°–90°–45°, и треугольника с углами 30°–90°–60°. Далее Платон объясняет, как при помощи этих свойств можно объяснить основные «химические реакции». Например, согласно платоновой «химии», когда огонь нагревает воду, получается две частицы пара (воздуха) и одна частица огня. Формулу этой реакции можно записать так:

[вода] → 2 [воздух] + [огонь]

А если сбалансировать количество участвующих в реакции граней платоновых тел, которые соответствуют этим стихиям, то получится 20 = 2 × 8 + 4. Хотя это, конечно, никак не соответствует современному пониманию структуры материи, основная идея, что большинство фундаментальных частиц в нашей Вселенной и их взаимодействия можно описать математической теорией, которой свойственна некоторая симметрия, – краеугольный камень современных исследований в области физики частиц.

Сложные явления, которые мы наблюдаем во Вселенной, для Платона не играли существенной роли: он считал, что подлинно фундаментальна именно лежащая в их основе симметрия, а она не меняется. Это представление отнюдь не противоречит современным представлениям о законах природы. Ведь эти законы, в частности, одинаковы во всех уголках Вселенной. По этой причине законы, которые мы выводим из лабораторных экспериментов, можно применить, скажем, при изучении атома водорода и здесь, на Земле, и в галактике, лежащей в миллиардах световых лет от нас. Эта симметрия законов природы проявляется и в том, что величина, которую мы называем импульсом (равная произведению массы тела и его скорости и имеющая направление), сохраняется, то есть имеет одно и то же значение что сегодня, что через год. Подобным же образом, поскольку законы природы с течением времени не меняются, сохраняется и величина, которую мы называем энергией. Энергию невозможно получить из ничего. Вот почему современные теории, основанные на симметриях и на законах сохранения, – законы подлинно платонические.

Вероятно, интерес к многогранникам у пифагорейцев был первоначально вызван наблюдениями над кристаллами пирита в Южной Италии, где находилась пифагорейская школа. Кристаллы пирита, он же серный колчедан, часто имеют в форму додекаэдра. Однако платоновы тела, их красота и математические свойства поражали воображение ученых и спустя много столетий после Платона – и упоминания о них мы встречаем в самых неожиданных местах. Например, в научно-фантастическом романе Сирано де Бержерака (1619–1655) «Иной мир» автор строит летательный аппарат в виде икосаэдра, чтобы сбежать из башни, где он заточен, и приземлиться на Солнце.

Золотое сечение, число φ, играет важнейшую роль в пропорциях и симметрических свойствах некоторых платоновых тел. В частности, додекаэдр с длиной ребра (места, где сходятся две грани) в одну единицу, имеет площадь поверхности в 15 × φ / (√3 – φ) и объем 5 × φ3 / (6–2 × φ). Подобным же образом икосаэдр с длиной ребра в одну единицу имеет объем (5 × φ5)/6.

Из симметрии платоновых тел можно вывести интересные следствия. Например, у куба и октаэдра одинаковое число ребер – 12, – однако число граней и вершин взаимно обратное – у куба шесть граней и восемь вершин, а у октаэдра восемь граней и шесть вершин. То же самое можно сказать о додекаэдре и икосаэдре – у обоих по 30 ребер, но у додекаэдра 12 граней и 20 вершин, а у икосаэдра – наоборот. Это симметрическое сходство платоновых тел позволяет очень интересно вписывать правильный многогранник в его «двойник». Если соединить центры граней куба, получится октаэдр (рис. 21), а если соединить центры граней октаэдра, получится куб. Ту же самую процедуру можно проделать, чтобы вписать икосаэдр в додекаэдр и наоборот – а соотношение длин ребер каждого многогранника (одного в другом) опять же можно выразить при помощи золотого сечения: это φ2/√5. А тетраэдр – сам себе «двойник»: если соединить четыре центра граней тетраэдра, получится другой тетраэдр.

Рис. 21

Хотя в античности были известны не все свойства платоновых тел, ни от Платона, ни от его последователей не скрылась их красота. В некотором смысле даже трудности при построении этих фигур, которые поначалу возникали (пока не были выведены методы, связанные с золотым сечением), можно считать их имманентными свойствами. Ведь последние слова диалога «Гиппий Больший» гласят: «Прекрасное – трудно». Греческий историк Плутарх (ок. 46 – ок. 120) в своем сочинении «Об упадке оракулов» пишет: «Пирамида [тетраэдр], октаэдр, икосаэдр, додекаэдр, все первоначальные фигуры, которые предсказывает Платон, прекрасны благодаря симметрии и равенствам в их отношениях, и ничего лучше и даже ничего сопоставимого с ними Природа не создала».

Рис. 22

Как уже упоминалось, икосаэдр и додекаэдр тесно связаны с золотым сечением, и связей этих несколько. Например, 12 вершин икосаэдра можно объединить в три группы по четыре, и вершины из каждой группы будут лежать на углах золотого прямоугольника, то есть прямоугольника, у которого длины сторон соотносятся как φ. Прямоугольники перпендикулярны друг другу, а единственная их общая точка лежит в геометрическом центре икосаэдра (рис. 22). Подобным же образом центры 12 пятиугольных граней додекаэдра можно объединить в три группы по четыре, и каждая из этих групп также составит золотой прямоугольник. Тесные связи между некоторыми плоскими фигурами, скажем, правильным пятиугольником и пентаграммой, и золотым сечением привели к неизбежному выводу, что интерес греков к золотому сечению начался, вероятно, с попыток построить подобные плоские фигуры и геометрические тела. Подобные математические изыскания велись примерно в начале IV века до н. э. Однако до нас дошли и многочисленные утверждения, что на основе золотого сечения создан и архитектурный проект Парфенона, который был построен и украшен в 447–432 годах до н. э., в правление Перикла. Насколько обоснованны подобные заявления?

Обитель Девы

Храм Парфенон (по-гречески «Обитель Девы») был выстроен на Афинском Акрополе для отправления культа Афины Парфенос (Афины Девы). Зодчих звали Иктин и Калликрат, а Фидию с учениками и помощниками было поручено обеспечить храм скульптурами. Фронтоны с западной и восточной стороны здания украшали скульптурные группы. На одной из них изображалось рождение Афины и состязание между Афиной и Посейдоном. Со своей кажущейся простотой Парфенон по сей день остается одним из прекраснейших шедевров архитектуры, идеалом единства и ясности линий. Двадцать шестого сентября 1687 года при попытке отбить Афины у Османской Империи Парфенон был разрушен прямым попаданием венецианского снаряда; турки устроили в храме пороховой склад. Разрушения были очень велики, однако основная конструкция здания осталась нетронутой. Генерал Кёнигсмарк, сопровождавший главнокомандующего, вспоминал: «Как огорчила его светлость гибель прекрасного храма, простоявшего три тысячи лет!» В дальнейшем, особенно после окончания турецкого владычества (в 1830 году), были предприняты многочисленные попытки выявить математические и геометрические принципы, которые, предположительно, легли в основу проекта Парфенона и обеспечили его совершенную красоту. В большинстве книг о золотом сечении утверждается, что параметры Парфенона – когда треугольные фронтоны были еще целы – идеально соответствовали золотому прямоугольнику. Обычно в доказательство приводят чертеж наподобие того, что мы видим на рис. 23. Считается, что золотое сечение соблюдено и в других параметрах Парфенона. Например, одна из самых дотошных монографий о золотом сечении – «Золотое сечение» Адольфа Цайзинга (Adolph Zeising. Der Goldener Schnitt, 1884) – сообщает, что высота фасада от вершины тимпана (внутреннего поля фронтона) до подножия пьедестала под колоннами разделяется вершиной колонн в соответствии с золотым сечением. Это утверждение повторяется во множестве книг, в том числе, например, в достаточно известном и авторитетном труде Матилы Гика «Золотое сечение» (Matila Ghyka. Le Nombre d’or, 1931). Другие авторы, например, Милутин Бориссавлевич в книге «Золотое сечение и научная эстетика архитектуры» (Miloutine Borissavlievitch. The Golden Number and the Scientific Aesthetics of Architecture, 1958), хотя и не отрицают наличие числа φ в дизайне Парфенона, предполагают, что своей красотой и гармонией храм обязан скорее правильному ритму, который обеспечивается повторением одинаковых колонн.