Жуан Гомес - Мир математики. т.4. Когда прямые искривляются. Неевклидовы геометрии

• Название: Мир математики. т.4. Когда прямые искривляются. Неевклидовы геометрии
• Автор: Жуан Гомес
• Издательство: «Де Агостини»
• Жанр: Математика
• Год: 2014
• ISBN: 978-5-9774-0635-2

Многие из нас слышали о том, что современная наука уже довольно давно поставила под сомнение основные постулаты евклидовой геометрии. Но какие именно теории пришли на смену классической доктрине? На ум приходит разве что популярная теория относительности Эйнштейна. На самом деле таких революционных идей и гипотез гораздо больше. Пространство Минковского, гиперболическая геометрия Лобачевского и Бойяи, эллиптическая геометрия Римана и другие любопытные способы описания окружающего нас мира относятся к группе так называемых неевклидовых геометрий. Каким образом пересекаются параллельные прямые? В каком случае сумма внутренних углов треугольника может составить больше 180°? Ответы на эти и многие другие вопросы вы найдете в данной книге.

---

Развитие неевклидовых геометрий проходило в два этапа: сначала были попытки доказать пятый постулат Евклида, а потом появились новые геометрии с альтернативным пятым постулатом, которые сосуществовали с евклидовой геометрией.

Такой подход предполагает существенные изменения в нашем восприятии реальности. Например, пятый постулат Евклида можно рассматривать в формулировке о сумме углов треугольника и сформулировать альтернативные постулаты. Сумма трех внутренних углов любого треугольника равна 180° — но только в мире Евклида, где параллельные линии можно продолжать до бесконечности и пространство не искривлено. А если бы Евклид побывал в бесконечности и увидел, что там произошло с параллельными линиями? А вдруг они бы пересеклись? Это бы значило, что пространство искривлено, а сумма углов треугольника больше 180°, как если бы треугольник был нарисован на поверхности апельсина. Аналогично в гиперболической геометрии, где параллельные линии неумолимо расходятся, сумма углов треугольника меньше 180°.

Евклидова геометрия содержит основные понятия любой геометрии, такие как точки, прямые и плоскости, но эти понятия в других геометриях необходимо пересмотреть. В новой геометрии прямой линией будет называться любая линия, которая является кратчайшим расстоянием между двумя точками, а плоскостью будет такая поверхность, которая обладает следующим свойством: если две точки на прямой принадлежат этой поверхности, то все другие точки на этой прямой также будут принадлежать этой поверхности.

Эти идеи действительны во всех геометриях и характеризуют новый подход к восприятию форм. Неевклидовы прямые линии могут оказаться искривленными, а в так называемой сферической геометрии сфера считается плоскостью и большие окружности на ее поверхности являются прямыми линиями. Обе геометрии имеют общую терминологию, потому что и там, и там прямая линия является самой простой линией, а плоскость — самой простой поверхностью.

Как же мы можем быть уверены в том, что две прямые параллельны? Нам нужно продолжить их в бесконечность и убедиться, что они никогда не пересекутся. Человеческий разум владеет абстрактным понятием прямой линии, имеющей только длину, но не ширину. Можно представить себе две линии, которые никогда не пересекаются и всегда находятся на одинаковом расстоянии друг от друга. Все это можно представить, но нельзя доказать экспериментально. В конце концов, евклидова геометрия является такой же абстрактной идеей, как и все остальные.

* * *

НАПОМИНАНИЕ

До сих пор никто не смог доказать ни одно из следующих утверждений.

1. Через точку вне прямой проходит только одна прямая, параллельная данной.

2. Через точку вне прямой проходит более одной прямой, параллельной данной.

3. Через точку вне прямой не проходит ни одна прямая, параллельная данной.

Все эти постулаты возможны и приводят к новым геометриям.

-

ЗЛОПОЛУЧНАЯ ФРАЗА

В конце 1950 гг. математики со всего мира встречались на семинарах и конгрессах в Европе и Америке, обсуждая необходимость преподавания так называемой «современной математики» в средней школе. Самый известный конгресс состоялся в Руайомоне (Франция) в ноябре 1959 г. Там французский математик Жан Дьёдонне (1906–1992), заканчивая свой доклад, посвященный «Началам» Евклида, воскликнул: «Долой Евклида!» Эта фраза стала популярной в математическом сообществе и ассоциируется с наступлением эры современной математики.

К сожалению, эти слова были сказаны одним из самых влиятельных математиков XX в. Нет необходимости еще раз говорить о значении «Начал» и вкладе их автора: без Евклида мы были бы не в состоянии объяснить окружающую реальность или развивать другие геометрии. К счастью, специалисты в области образования во всем мире отстояли наследие Евклида, и его геометрию продолжают изучать в школе.

Глава 3 Конкуренты Евклида

На протяжении веков пятый постулат вызывал обильные комментарии и критику в трудах самых известных геометров. Многие из них были убеждены, что этот постулат можно доказать с помощью других постулатов, и сосредоточили свои усилия на поиске доказательства, чтобы, наконец, объявить его теоремой.

После многих столетий развития математических теорий никто так и не смог доказать ни сам постулат, ни ложность тех геометрий, которые этот постулат отвергают.

Последний греческий мастер

Список математиков, которые пытались доказать пятый постулат Евклида, содержит много самых знаменитых имен в истории науки. Результаты этих ученых открыли дорогу новым геометриям, и мы не должны забывать их новаторских работ в этой области.

Тем не менее, несмотря на усилия лучших математиков, все попытки были тщетны. Каждый, кто брался за решение этой задачи, получал результаты, эквивалентные пятому постулату, но строгое доказательство так и не было найдено. Одна из первых попыток была сделана Проклом в V в.

Прокл оставил ряд своих комментариев, например:

«Это положение должно быть совершенно изъято из числа постулатов, потому что это — теорема, вызывающая много сомнений, которые Птолемей пытался разрешить в одной из своих книг, и его доказательство потребовало сложных определений и теорем. Кроме того, обратное утверждение было доказано самим Евклидом в качестве теоремы. Утверждение, что «две прямые неизбежно пересекаются, будучи продленными достаточно далеко», представляется правдоподобным, но не необходимым. Таким образом, совершенно ясно, что должно быть найдено доказательство настоящей теоремы, а такое требование природе постулатов совершенно чуждо».

* * *

ПРОКЛ АЛЕКСАНДРИЙСКИЙ (410–485)

Греческий математик Прокл родился в Константинополе и умер в Афинах. Он был последним крупным языческим ученым. Из-за своего язычества он был изгнан из Афин на целый год. Он был выдающимся комментатором Евклида и Птолемея, а потому является важной фигурой древнегреческой геометрии.

* * *

Фактически греческий математик хотел показать, что только одна параллельная прямая m проходит через точку Р вне прямой l.

Прокл предположил, что, по крайней мере одна прямая, параллельная l, проходит через точку Р, и он обозначил ее буквой m. Затем он хотел доказать, что любая другая прямая, проходящая через Р и отличная от m, пересекает прямую l.

Таким образом было бы показано, что если существует параллельная прямая, проходящая через Р, то она должна быть единственной. Итак, Прокл провел через точку Р прямую n, отличную от m, и опустил из точки Р перпендикуляр на прямую l, обозначив его основание буквой Q.

Далее, если прямая n проходит через точки Р и Q, то n пересекает прямую l в точке Q. Но что если n не проходит через точки Р и Q? В этом случае на прямой n можно отметить точку Y и опустить из нее перпендикуляр на прямую m, обозначив его основание точкой Z.

На рисунке выше мы видим, что отрезок РY ограничен прямой m и отрезком YZ, а точка Y может двигаться вправо по прямой n.

Далее Прокл отмечает, что длина отрезка YZ увеличивается по мере продвижения вправо (и может стать бесконечно большой). Поскольку расстояние между прямыми m и l постоянно, то n обязательно пересечет l в некоторой точке. Таким образом, как думал Прокл, пятый постулат был доказан.

Обратите внимание: рассуждения греческого ученого опираются на то, что расстояние между прямыми m и l постоянно. Таким образом, единственным аргументом является то, что прямые m и l не пересекаются.

Кроме того, длина отрезка может увеличиваться бесконечно, но не превышать некоторой фиксированной величины. Фактически Прокл свел доказательство пятого постулата к доказательству того, что параллельные прямые находятся на постоянном расстоянии друг от друга, что эквивалентно аксиоме параллельности Плейфера.

Средневековые хранители греческого наследия

Арабские математики также пытались доказать пятый постулат. Первым из них был Ибн ал-Хайсам (965—1039), известный на Западе как Альхазен. Он исходил из предположения, что если четырехугольник имеет три прямых угла, то четвертый угол тоже должен быть прямым, откуда Альхазен заключил, что через точку вне прямой проходит только одна параллельная линия. Его заключение основывается на том, что геометрическое место точек, равноудаленных от данной прямой, является прямой линией. Обратите внимание, что его аргументы тоже основаны на понятии равноудаленности, хотя и не так явно. Таким образом, его предположение (если четырехугольник имеет три прямых угла, то четвертый угол тоже прямой) эквивалентно пятому постулату Евклида: Альхазен использует пятый постулат, чтобы доказать пятый постулат!