Хавьер Фресан - Том. 22. Сон разума. Математическая логика и ее парадоксы

• Название: Том. 22. Сон разума. Математическая логика и ее парадоксы
• Автор: Хавьер Фресан
• Издательство: «Де Агостини»
• Жанр: Математика
• Год: 2014
• ISBN: 978-5-9774-0717-5

На пути своего развития математика периодически переживает переломные моменты, и эти кризисы всякий раз вынуждают мыслителей открывать все новые и новые горизонты. Стремление ко все большей степени абстракции и повышению строгости математических рассуждений неминуемо привело к размышлениям об основах самой математики и логических законах, на которые она опирается. Однако именно в логике, как известно еще со времен Зенона Элейского, таятся парадоксы — неразрешимые на первый (и даже на второй) взгляд утверждения, которые, с одной стороны, грозят разрушить многие стройные теории, а с другой — дают толчок их новому осмыслению.

Имена Давида Гильберта, Бертрана Рассела, Курта Гёделя, Алана Тьюринга ассоциируются именно с рождением совершенно новых точек зрения на, казалось бы, хорошо изученные явления. Так давайте же повторим удивительный путь, которым прошли эти ученые, выстраивая новый фундамент математики.

---

* * *

ПУАНКАРЕ ПРОТИВ ГИЛЬБЕРТА

Анри Пуанкаре (1854–1912), которого некоторые историки называют «последним универсальным математиком», испытывал неприязнь к тем, кто хотел свести математику к множеству формальных отношений между символами. Когда в 1899 году были опубликованы «Основания геометрии» Гильберта, Пуанкаре написал длинную рецензию, в которой критиковал автора за стремление «заставить математику функционировать подобно механическому пианино». Несколько лет спустя, когда Гильберт по-прежнему не вполне четко представлял себе различия между языком и метаязыком, он попытался доказать непротиворечивость арифметики, применив принцип индукции, то есть пятую аксиому Пеано. Пуанкаре обратил на это внимание, указав, что Гильберт попал в порочный круг: он пытался доказать непротиворечивость арифметики с помощью важнейшей аксиомы самой арифметики. И хотя Гильберт утверждал, что использовал не индукцию, а метаиндукцию, однако прав был все же Пуанкаре. И Гильберт в конце концов согласился с ним, вняв доводам своего ученика Германа Вейля (1885–1955).

Анри Пуанкаре.

* * *

Давид Гильберт был не единственным, кто отвергал неконструктивные методы. Одновременно с логицизмом и формализмом развивалась еще одна концепция, призванная разрешить парадоксы теории множеств, в которой предполагалось полно стью исключить использование бесконечности. Для интуиционистов все математические объекты были продуктами человеческого разума, следовательно, они могли существовать только в том случае, если их можно было построить. Последователи этого направления различали потенциальную бесконечность, соответствующую множествам, которые можно неограниченно расширять, и актуальную бесконечность, характерную для законченных сущностей. Интуиционисты признавали, что натуральных чисел потенциально бесконечно много, так как к любому конечному множеству вида {0, 1, 2, …, n} можно добавить новые числа, однако нельзя говорить обо всех натуральных числах одновременно. Они также не признавали закон исключенного третьего, согласно которому для любого высказывания истинным обязательно является либо оно само, либо его отрицание. Отвергнув этот закон, сторонники интуиционизма были вынуждены также отвергнуть все математические теоремы, в доказательстве которых он использовался. Сам основоположник интуиционизма, датский математик Лёйтзен Эгберт Ян Брауэр (1881–1966), был вынужден отвергнуть множество ранее полученных им самим результатов, в которых использовался закон исключенного третьего.

Интуиционисты также хотели избавиться от аксиомы выбора, предложенной Эрнстом Цермело для теории множеств. Согласно этой аксиоме, для данной совокупности множеств, конечной или бесконечной, можно выбрать по одному элементу из каждого множества и таким образом определить новое множество. Тем, кто не признавал существование актуальной бесконечности, вряд ли понравился бы подобный способ выбора элементов, который был сродни магии, не подчиняющийся никакому четкому правилу.

В ряде статей, опубликованных с 1904 по 1927 год, Давид Гильберт постепенно уточнял свою стратегию замены всех математических доказательств доказательствами, выполненными с помощью финитных методов. Кульминацией его программы должно было стать максимально строгое и четкое доказательство непротиворечивости арифметики. Однако глава Гёттингенской математической школы не мог и предположить, что некий австрийский юноша, который начал изучать в Венском университете физику, а затем и математику, попытается дополнить формалистскую программу и обнаружит, что мечте Гильберта не суждено сбыться. И более того, соберется доказать это финитными методами!

Глава 4 Теоремы Гёделя

«Когда возникнет противоречие, необходимости в споре между двумя философами будет не более, чем между двумя математиками. Им будет достаточно взять перья и абак и сказать друг другу: произведем вычисления».

Готфрид Вильгельм Лейбниц

Улицы Кёнигсберга видели многое. В этом городе семь мостов, и жители не раз задавались вопросом: можно ли пройти по всем мостам ровно один раз и при этом вернуться в исходную точку? Этого не мог сделать никто, но и доказать, что это невозможно, также не удавалось, пока в 1735 году швейцарский математик Леонард Эйлер не создал теорию графов и не дал отрицательный ответ на этот вопрос.

Сорок лет спустя Иммануил Кант гулял по тем же мостам, пытаясь определить пределы чистого разума. Давид Гильберт также родился возле Кёнигсберга, и у общества сторонников эмпирической философии было достаточно причин, чтобы совместно с Венским кружком именно в этом городе провести конференцию с 5 по 7 сентября 1930 года.

Схема решения задачи о кёнигсбергских мостах, принадлежащего Леонарду Эйлеру.

Целью конференции было определить, в какой степени в первые годы XX века удалось справиться с кризисом, вызванным парадоксом Рассела. Докладчиками на пленарном заседании стали те, кто внес наибольший вклад в развитие трех направлений, призванных разрешить кризис: логицизма, сторонники которого считали, что всю математику можно свести к логике; формализма, успехи которого заключались в проведении различий между языком и метаязыком; и интуицизма, в рамках которого предпринималась попытка исключить бесконечность из математики. Также в программу входили доклады участников, желавших представить свои последние открытия, и непринужденные беседы в городских кафе, которые, хотя и не могли сравниться с венскими, но тоже были весьма уютными.

Австрийский логик Курт Гёдель был приглашен выступить с тезисами своей докторской диссертации, открывавшей путь к математике, которой подвластно всё. Однако за то время, что прошло с момента защиты диссертации и до начала Кёнигсбергской конференции, Гёдель в своих исследованиях пришел к выводу, что мечте логиков его поколения не суждено сбыться. И хотя он не сказал об этом в своем выступлении, по окончании круглого стола, которым завершалась программа следующего дня конференции, он заявил, что располагает примерами истинных высказываний, которые нельзя доказать исходя из аксиом. Гёдель был подобен главному герою истории, который в финале произведения нашел разгадку с помощью ключа, упомянутого на первых страницах. Его слова застали собравшихся врасплох, поэтому практически не вызвали обсуждения и даже не были зафиксированы в протоколе.

Фотография Кёнигсбергского университета, известного в народе как Альбертина. Около 1900 года.

* * *

ДИАЛОГ ИЗ ФИЛЬМА «УБИЙСТВА В ОКСФОРДЕ»

(РЕЖИССЕР АЛЕКС ДЕ ЛА ИГЛЕСИА, АВТОР СЦЕНАРИЯ ХОРХЕ ГЕРРИКАЭЧЕВАРРИЯ, 2008)

Шелдон: О, я забыл, что говорю с защитником универсальной логики. Вы и полиция верите, что истину можно доказать. Исходя из неких аксиом с помощью корректных рассуждений можно прийти к верному выводу, не так ли?

Мартин: Это верно, как верно и то, что сегодня среда.

Шелдон: А что если я скажу «Все британцы лжецы»? Эта фраза будет истинной, ложной или ее нельзя будет доказать?

Мартин: Разумеется, существуют математические высказывания, которые нельзя доказать или опровергнуть исходя из аксиом. Это неразрешимые высказывания.

Шелдон: Именно. Теорема Гёделя о неполноте. Даже в мире чистой математики не все можно доказать.

Мартин: Да, я это знаю, но в нашем случае это не так.

Шелдон: Известно ли вам, что истинное и доказуемое разделяет пропасть, бездна? Мы никогда не узнаем, известны ли нам все данные о каком-либо явлении, при этом любая новая информация может изменить все.

* * *

И все же комментарий скромного юноши в круглых очках мог изменить направление дальнейшего развития всей логики, и это не ускользнуло от внимания некоторых присутствующих. Среди них был Джон фон Нейман, который, благодаря своей легендарной быстроте ума мгновенно понял, что имел в виду Гедель, и попросил его по окончании конференции изложить свои соображения подробнее. Фон Нейман учился с Гильбертом в Гёттингене и даже опубликовал несколько статей под его руководством, однако вскоре он начал сомневаться, что с помощью финитных методов, предложенных формалистами, можно доказать непротиворечивость математики. В юности фон Нейман добился некоторых успехов в разрешении этой проблемы и продолжал работать над ней. Как-то ночью ему приснилось решение, но, попытавшись его записать, математик увидел ошибку в рассуждениях и в итоге решил заняться другими вопросами.