Иоланда Гевара - Том 38. Измерение мира. Календари, меры длины и математика

• Название: Том 38. Измерение мира. Календари, меры длины и математика
• Автор: Иоланда Гевара
• Издательство: «Де Агостини»
• Жанр: Математика
• Год: 2014
• ISBN: 978-5-9774-0732-8

Измерения играют важнейшую роль в современной науке, но без них немыслима и повседневная жизнь. Например, без измерений невозможно узнать, что находится рядом с нами, а что — вдали. Если мы составим список всех измерений, которые проводим в течение дня, то удивимся тому, каким длинным он будет. За свою историю человечество выработало различные методы измерений. С их помощью мы смогли определить размеры нашей планеты, протяженность межзвездного пространства и даже измерить время. В этой книге пойдет речь о математических методах, на которых строятся астрономические, геодезические, календарные и метрологические измерения.

---

Если мы будем производить наблюдения из центра сфер (то есть с Земли) и рассмотрим совокупное движение сфер 3 и 4, то увидим, что планета движется вдоль кривой, называемой лемнискатой Бута (эта лемниската построена на поверхности сферы). Но так как планета также смещается в результате движения сферы 2 (медленное движение на восток) и сферы 1 (движение на запад), при наблюдении из центра сферы мы увидим все особенности ее траектории, в том числе попятное движение.

Следовательно, каждая планета совершает суточное движение вокруг Земли с востока на запад, собственное движение на восток вдоль зодиака, а также попятное движение.

* * *

ЛЕМНИСКАТА

В теории гомоцентричных сфер Евдокса фигурирует кривая под названием лемниската Бута. На плоскости лемниската представляет собой кривую характерной формы, состоящую из двух петель, пересекающихся в центральной точке так, как показано на рисунке.

На плоскости лемниската может быть задана следующим уравнением в общем виде:

(х2 + у2)2 = 2а2 (х2 - у2).

где 2а — расстояние между фокусами F1 и F2. Эту плоскую кривую, также известную как лемниската Бернулли, впервые описал в 1694 году швейцарский математик Якоб Бернулли (1654–1705), рассмотрев ее как видоизмененный эллипс. Если эллипс — это кривая, определяемая как множество точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек F1  и F2 (фокусов) постоянна, то лемниската — это множество точек плоскости, для которых постоянным будет произведение расстояний до двух фокусов.

* * *

Космология Аристотеля

Великий философ Аристотель (384 г. до н. э. — 322 г. до н. э.), ученик Платона и основатель афинского Ликея, задался целью упорядочить и систематизировать все знания своего времени. Он включил в свою космологию теорию гомоцентричных сфер, чтобы объяснить движение планет, а также заложил основы науки, которую сегодня мы называем античной физикой.

Мраморный бюст Аристотеля в Национальном римском музее.

Согласно Аристотелю, существует принципиальная разница между подлунным миром, который простирается от Земли до Луны, и надлунным. Вращение небесных сфер в надлунном мире вечно, равномерно и неизменно, движения в подлунном мире конечны, нерегулярны и недолговечны. Предметы в подлунном мире состоят из четырех элементов: земли, воды, воздуха и огня. Небесные тела, однако, состоят не из этих четырех элементов, а из иного, чистого, неизменного, прозрачного и невесомого элемента — эфира, или квинтэссенции. Так как эфир неизменен, ничто на небесах никогда не меняется.

В своей космологии Аристотель использовал теорию гомоцентричных сфер Евдокса, которую усовершенствовал Каллипп Кизикский (370 г. до н. э. — 300 г. до н. э.), увеличив общее число сфер с 27 до 34. Однако Аристотель, отличавшийся системным мышлением, попытался придать геометрическим фигурам модели физическое воплощение. Геометрическую модель мира можно было считать корректной только при условии, что она имела механический смысл и соответствовала нашим общим представлениям о материи и движении.

Аристотель построил систему гомоцентричных сфер, двигавшихся одновременно и соединенных между собой. Наружная, звездная, сфера придавала всем остальным вращение с востока на запад. Чтобы сфера, соответствующая определенной планете, не передавала свое движение прочим внутренним сферам, Аристотель добавил к модели компенсирующие сферы: они располагались между множеством звезд для каждой планеты и следующей за ней, внутренней планеты, вращались вокруг тех же осей и с той же скоростью, что и планетные сферы предыдущего, внешнего множества, но в противоположном направлении. С появлением множества этих компенсирующих сфер общее число сфер в модели возросло до 56. Теперь они соприкасались друг с другом и образовывали единую систему.

Теория гомоцентрических сфер стала объектом критики уже в древности: расстояние между любой данной планетой и Землей считалось неизменным, и было непросто объяснить, почему планеты во время попятного движения светят ярче (изменение яркости планет связывалось с их приближением к Земле).

Аристотель заложил основы античной физики, объяснив движение небесных тел и проведя четкое различие между небесной динамикой (движением в надлунном мире) и земной динамикой (движением в подлунном мире). Его физическая доктрина стала догмой для 60 последующих поколений, поскольку она была крайне подробной и не противоречила здравому смыслу и наблюдениям.

Модель Аристотеля. Первые четыре сферы соответствуют Сатурну. За исключением сферы 1, которая сообщает остальным движение на запад, движение трех других сфер (2, 3, 4) для следующих планет компенсируется движением трех сфер, вращающихся в обратном направлении (4', 3' и 2').

Аристотель не ограничился тем, что принял на веру геоцентрическую и геостатическую модель, в которой планеты двигались по круговым орбитам, — он весьма умело и остроумно доказал ее истинность. В своей космологии он установил тесную взаимосвязь между астрономией и физикой и создал настоящую систему мира — космофизику. Поэтому неудивительно, что все греческие, арабские и христианские астрономы, за редкими исключениями (одним из них стал Аристарх Самосский), явно или неявно разделяли основные предпосылки космологии Аристотеля: замкнутый и конечный космос, неподвижность Земли, расположенной в центре мира, и наличие двух принципиально разных миров — надлунного (небесного) и подлунного (земного).

Аристарх Самосский

О жизни Аристарха Самосского (ок. 310 г. до н. э. — ок. 230 г. до н. э.), который был учеником Стратона из Лампсака, третьего главы Ликея, известно немногое. Все сведения о нем взяты из его книги «О величинах и расстояниях Солнца и Луны» и упоминаний более поздних авторов. Его считали авторитетным астрономом, называли математиком и отмечали его обширные знания в геометрии, астрономии, музыке и других науках. Его современник Архимед (ок. 287 г. до н. э. — ок. 212 г. до н. э.) в своем труде «Исчисление песчинок» утверждает: Аристарх предполагал, что Солнце и сфера, на которой закреплены звезды, неподвижны, а Земля вращается вокруг Солнца по кругу.

Книга «О величинах и расстояниях Солнца и Луны» — это астрономический трактат, в котором с помощью геометрических методов рассчитаны соотношения расстояний между небесными телами. В современном языке эти соотношения обозначаются синусами углов. Свои геометрические методы Аристарх позаимствовал из теории пропорций Евдокса, изложенной в книге V «Начал» Евклида. Он применил и другие соотношения, которые мы относим к тригонометрии, считая их известными или тривиальными. Он сравнил расстояние Земля — Солнце с расстоянием Земля — Луна и вычислил, что первое почти в 20 раз больше второго (истинное соотношение между этими расстояниями намного больше — 390:1).

Почему последователи Аристарха не приняли его гелиоцентрическую модель и ее вновь предложил лишь Николай Коперник в своем труде «О вращении небесных сфер» (1343)? Чтобы ответить на этот вопрос, нужно перенестись из XXI века в III век до н. э. Утверждать, что Земля движется, значило попрать древнее учение, здравый смысл и физику Аристотеля. Кроме того, если бы Земля двигалась, то наблюдался бы параллакс звезд, чего отмечено не было. Помимо этого, другие возможные преимущества этой модели (так, с ее помощью можно было объяснить изменение блеска планет) вскоре были сведены на нет при помощи новых методов, не противоречивших традиционной космологии.

* * *

ОТНОШЕНИЕ РАССТОЯНИЙ «ЗЕМЛЯ — ЛУНА» И «ЗЕМЛЯ — СОЛНЦЕ» ВЫЧИСЛЕННОЕ АРИСТАРХОМ САМОССКИМ

В III веке до н. э. Аристарх Самосский вычислил, насколько дальше Земля располагается от Солнца, чем от Луны, а также определил их относительные размеры. Для этого он использовал следующее соотношение: треугольник ЗЛС, в вершинах которого находятся Земля, Солнце и молодая Луна, прямоугольный, так как угол Земля — Луна — Солнце равен 90°. Далее он измерил угол между Солнцем и Луной и принял его равным 87°. Так как сумма углов треугольника равна 180°, β = 3°.

Таким образом он смог вычислить отношение расстояний d(3, С)/d(3, Л) путем математических рассуждений. В упрощенном виде и в современной нотации суть рассуждений Аристарха записывается так: