Альберт Виолант-и-Хольц - Том 9. Загадка Ферма. Трехвековой вызов математике

• Название: Том 9. Загадка Ферма. Трехвековой вызов математике
• Автор: Альберт Виолант-и-Хольц
• Издательство: «Де Агостини»
• Жанр: Математика
• Год: 2014
• ISBN: 978-5-9774-0625-3

На первый взгляд теорема Ферма кажется очень простой. Те, кто сталкиваются с ней впервые, обычно недоумевают: почему на протяжении 380 с лишним лет математики не могли ее доказать? Однако вскоре подобные иллюзии рассеиваются, и становится понятно: теорема Ферма — одна из сложнейших математических задач всех времен. Данная книга повествует не только о Пьере Ферма и его теореме, но также о британце Эндрю Уайлсе — гениальном математике, который бросил вызов грандиозной задаче и вышел из этой схватки победителем.

---

Все они задавались этим пугающим вопросом: «Может, мы имеем дело с одной из теорем математики, этого „божественного безумия человеческого духа“, как говорил Альфред Уайтхед, которые выходят за рамки человеческого понимания?» Математики Барри Мазур, Кен Рибет, Герхард Фрай и Герд Фалтингс отказывались в это верить. Среди обитателей таинственного замка, хранящего загадку французского адвоката и его утерянное «чудесное доказательство», залы которого скрывала тьма, был Эндрю Уайлс, едва ли известный кому-то, кроме узких специалистов. Человек, чья природная скромность и робость только усилились летом 1986 года, когда он по собственной воле стал затворником. По словам его немногочисленных родственников, сделать это его побудила очень важная задача, о которой, однако же, им было ничего не известно.

Портрет Пьера де Ферма кисти Франсуа де Пуайи на обложке книги «Разные математические сочинения», составленной сыном знаменитого математика в 1679 году.

Понедельник, вторник…

В июне 1993 года на кафедре чистой математики Кембриджского университета, которую возглавлял австралиец Джон Коутс, прошла международная конференция по теории Ивасавы — подразделу теории чисел, в котором изучаются эллиптические кривые. Этот пугающий термин играет важную роль в нашем повествовании. Среди выступавших был бывший студент Коутса, который в свое время работал с ним над доказательством частного случая гипотезы Свиннертон-Дайера. Эта гипотеза широко известна благодаря тому, что в 2000 году Институт Клэя назначил за ее доказательство премию в один миллион долларов. Хотя нашего бывшего студента можно было назвать затворником, он был великолепным математиком и вскоре после получения степени доктора оставил Кембридж и перешел в престижный Принстонский университет в США. Несмотря на тесные отношения, которые неизбежно возникают между учеником и учителем, что особенно справедливо для такого пристанища индивидуалистов и одиночек, как Кембридж, Коутс давно, лет семь назад, потерял этого студента из вида. Казалось, тот словно провалился сквозь землю. На самом деле (Коутсу наверняка это было неизвестно) за семь лет до этого американский математик Кен Рибет доказал так называемую эпсилон-гипотезу, сформулированную французом Жан-Пьером Серром и основанную на гениальной догадке немецкого математика Герхарда Фрая. Рибет доказал, что легендарная последняя теорема Ферма удивительным образом связана с гипотезой Таниямы — Симуры, сформулированной в 1950-е годы, в которой шла речь об определенных свойствах эллиптических кривых.

Коутс был приятно удивлен, что после стольких лет забвения его ученик, о котором мы говорим (а это был не кто иной, как Эндрю Уайлс), принял приглашение на конференцию. Коутс удивился еще больше, когда в ответ на вопрос, сколько времени тому понадобится на выступление, Уайлс, который отличался робостью и нелюбовью к публичным выступлениям, попросил выделить для него целых три часа. Заинтригованный Коутс спросил, какая же тема заслуживает трехчасового выступления, на что Уайлс ответил ему точно так же, как и другим своим коллегам: «Приходите, и вы сами всё увидите».

В названии доклада «Модулярные формы, эллиптические кривые и представления Галуа» перечислялись, несомненно, известные термины, но Уайлс не говорил ничего о том, как они связаны между собой, как будто бы ему был известен какой-то секрет. Подобная сдержанность была достаточно необычной даже в среде профессиональных математиков, в целом отличающихся замкнутостью, которые общались лишь с коллегами, когда им был нужен какой-то совет.

В понедельник Уайлс, вооруженный многочисленными заметками, вошел в конференц-зал. Под удивленными взглядами двух десятков присутствующих этот высокий и худощавый человек, которому едва исполнилось сорок, за пробивающуюся лысину получивший прозвище «яйцеголовый», столь типичное для ученых, во время доклада перечислил результаты своих работ, представлявшие огромный научный интерес. Слухи распространились незамедлительно, и на следующем выступлении, запланированном на вторник, в зале не осталось ни одного пустого места.

Когда он закончил второй доклад и направился к выходу, присутствующие проводили его уважительным молчанием, а затем бросились обсуждать то, что они только что услышали. Было очевидно, что Уайлс не просто хотел перечислить полученные им результаты, хотя они, бесспорно, имели огромную ценность. Его доклады как будто подводили к какому-то выводу. Это было невероятно сложное и любопытным образом выстроенное доказательство… но доказательство чего? Кен Рибет, также присутствовавший в зале, не испытывал никаких сомнений по этому поводу. «Доклад Уайлса имеет кульминацию, единственную финальную цель»[2], — сказал он позднее.

…и среда

23 июня 1993 года проход в зал, где Уайлс должен был прочитать свой третий и последний доклад, оказался забит небольшой толпой. Некоторые из присутствующих принесли с собой фотоаппараты, и им не терпелось сделать множество снимков этого худощавого математика, который излучал какое-то сверхъестественное спокойствие. Когда в зале установилась тишина, Уайлс начал третью часть доклада, который должен был стать одним из важнейших за всю историю математики. Выкладки на доске сменяли друг друга, и напряжение все возрастало. Наконец Уайлс записал последние несколько строк, которые были выражены в терминах современной математики, но означали то же самое, что написал один французский математик на полях книги более трехсот лет назад. «И это доказывает великую теорему Ферма, — сказал Уайлс. — Думаю, мне следует на этом остановиться».

И царство математики, где долгое время царила тьма, озарилось светом, и древний призрак был изгнан из него.

Фотография математика Эндрю Уайлса, сделанная во время конференции 23 июня 1993 года, когда он привел доказательство последней теоремы Ферма.

Математик на первой полосе

О достижении Уайлса с таким энтузиазмом начал говорить весь математический мир, что и неспециалисты не смогли обойти вниманием это событие. Газета «Нью-Иорк Таймс» 24 июня вышла с таким заголовком: «Наконец-то можно крикнуть „Эврика!“ Вековая тайна математики раскрыта»[3], и большинство крупных газет по всему миру уделили этой новости такое же внимание. Об удивительной истории Ферма и его последней теореме были написаны передовицы газет и снято множество телепрограмм. Робкому и застенчивому Уайлсу пришлось привыкнуть к статусу скромной знаменитости. «Семь лет решение этой задачи вызывало во мне удивительные чувства, — вспоминал он в 1997 году. — И наконец мне удалось решить ее». Однако на этом цитата не заканчивается: «И только потом стало известно, что не все было так гладко».

Легкий путь к славе и профессиональному признанию спустя несколько месяцев после триумфального выступления в Кембридже превратился в ночной кошмар. Старый призрак не собирался так легко сдаваться. Но чтобы понять, что именно последовало за восторгами июня 1993 года, и оценить по достоинству путь, проделанный Уайлсом, — этот мучительный путь через пустыню, который он хотел пройти до конца, — нужно взглянуть в самую суть задачи и, насколько это возможно, осознать всю ее широту и сложность. Для этого нужно совершить увлекательное путешествие во времени, своеобразную одиссею от момента зарождения математики за 2000 лет до Рождества Христова и до современной алгебры и теории чисел. По возвращении на Итаку, удовлетворив свое любопытство и утолив жажду приключений, мы поблагодарим Ферма и его великую теорему за пройденный нами путь, на котором мы увидим наивысшее воплощение человеческого интеллекта и любознательности.

Глава 2 Все началось в Шумерии

Кто сказал, что история математики не так уж важна? Именно история математики хранит истоки человеческой мысли, рассказывает, как развивались идеи и где найти ключи к пониманию будущего. Это основное средство изучения математики и к тому же еще одна возможность насладиться ее красотой. История загадки Ферма уходит корнями на много тысяч лет назад, в Шумерию и Древнюю Индию. Ее истоки хранит знаменитая теорема Пифагора, которая гласит, что если х и у — катеты прямоугольного треугольника, a z — его гипотенуза, то х2 + у2 = z2.

Пифагор, несомненно, один из самых знаменитых математиков, а теорема Пифагора — одна из известнейших теорем. Тем удивительнее, что за несколько веков до его рождения эта теорема уже была известна. Настало время переименовать ее, но в честь кого ее следует назвать?