Eugenio Aguilar - Наука. Величайшие теории: выпуск 7: Эврика! Радость открытия. Архимед

• Название: Наука. Величайшие теории: выпуск 7: Эврика! Радость открытия. Архимед
• Автор: Eugenio Aguilar
• Издательство: Де Агостини
• Жанр: Научпоп
• Год: 2012
• ISBN: 2409-0069

Архимед из Сиракуз жил в эпоху войн, поэтому не удивительно, что часть своего дарования он направил на создание машин, призванных защитить его родной город. Ученый внес серьезный вклад в эту сферу деятельности, впрочем, как и во все другие, входящие в круг его интересов: математику, физику, инженерное дело, астрономию... Он вычислил площадь сегмента параболы с помощью метода, который можно считать предвестником интегрального исчисления. Он открыл физические законы работы рычага и даже осмелился сосчитать количество песчинок, которыми можно заполнить Вселенную, — такое огромное число, что Архимеду пришлось изобретать собственный способ его записи! Но более всего древнегреческого ученого прославило открытие закона гидростатики, носящего теперь его имя. Данный закон, без сомнения, является одним из самых важных в истории, и он по праву удостоился того радостного возгласа, который с тех пор стал символом научного открытия: «Эврика!»

Прим. OCR: Врезки текста выделены жирным шрифтом. Символ "корень квадратный" заменен в тексте SQRT().

---

РИС. 1

РИС. 2

РИС.З

РИС. 4

— архимедова, или арифметическая спираль (рисунок 1). Она описывается уравнением r=а + bθ;

— спираль Ферма, или параболическая спираль (рисунок 2): r=θ½;

— гиперболическая спираль (рисунок 3). Это инверсия архимедовой спирали, ее уравнение: r=а/θ;

— логарифмическая, или изогональная спираль (рисунок 4): r=logb(r/a).

Две древние проблемы

Тремя знаменитыми проблемами древности были удвоение куба, трисекция угла и квадратура круга. Некоторые специалисты утверждают, что глубинной целью, которую Архимед преследовал в своем трактате «О спиралях», было найти решение двух из этих задач. Действительно, с помощью спирали можно справиться с трисекцией угла и квадратурой круга, хотя при этом придется пренебречь одним из начальных условий. Задачу надо было решать исключительно с помощью циркуля и линейки, а построение спирали нуждается в кинематических операциях. В 1837 году французский математик Пьер Ванцель доказал невозможность трисекции угла и удвоения куба при помощи только линейки и циркуля. Потом в 1882 году немецкий математик Фердинанд фон Линдеман доказал, что π — иррациональное число, а следовательно, и решение задачи квадратуры круга с помощью этих инструментов тоже невозможно. Если же выйти за пределы условий и применить архимедову спираль, то трисекцию угла можно выполнить следующим образом (рисунок 8).

РИС. 8

РИС. 9

— Угол, который предстоит делить, образован лучами ОА и ОВ.

— Луч О А вращается вокруг точки О, по нему равномерно перемещается точка Р, образуя таким образом архимедову спираль.

— При совпадении лучей ОА и ОВ отрезок ОР делится на три равные части точками R и Q.

— Проводятся окружности с центром О и радиусами OR и OQ которые пересекают спираль соответственно в точках U и V.

— Проводятся лучи из точки О, проходящие через U и V. Так мы получили трисекцию угла.

Задача о квадратуре круга, которая заключается в требовании построить квадрат, равный по площади заданному кругу, тоже может быть решена с помощью архимедовой спирали, хотя и опять же с некоторым нарушением условий (рисунок 9).

— Через точку Р проводится касательная к спирали PQ.

— Строится отрезок, соединяющий Р и центр спирали О.

— Из точки О проводится перпендикуляр к отрезку ОР до пересечения с прямой PQ в точке Q.

— Строится сегмент окружности PS с центром О и радиусом ОР.

— Можно доказать, что отрезок OQ равен по длине кривой PS.

— Отсюда выводится, что касательная к спирали в точке R будет пересекаться с горизонтальной осью, причем длина отрезка, образованного точкой О и точкой пересечения касательной и оси, будет равна четверти длины окружности с радиусом OR.

— С учетом утверждения о площадях круга и прямоугольного треугольника (см. стр. 88) задача о квадратуре круга решена.

Квадратура параболы

В трактате «О квадратуре параболы» Архимед излагает различные теоремы, ранее, как он пишет во введении, еще не изученные. Это значит, что он их сформулировал сам. Из утверждений, изложенных Архимедом в данном труде, популярная литература чаще всего упоминает утверждение 24, касающееся квадратуры параболы:

«Площадь поверхности, ограниченной параболой и пересекающей ее прямой, на 1/3 больше площади треугольника с основанием, равным отрезку данной прямой и высотой, равной параболе» (рисунок 10).

Архимед послал эту работу Досифею Пелузийскому — это был первый труд, отправленный им кому бы то ни было после смерти его друга Конона Самосского. Трактат «О квадратуре параболы» содержит 24 утверждения. В первых пяти Архимед представляет некоторые свойства этой кривой; в утверждениях с 6-го по 16-е он проводит механический анализ параболы, основываясь на законе рычага. В утверждении 17 впервые говорится о его решении задачи квадратуры параболы с помощью механического метода, а в следующих утверждениях ученый использует метод исчерпывания, чтобы окончательно доказать правильность найденного решения (утверждение 24).

Таким образом, Архимед решает задачу квадратуры сначала механическим методом, а потом, считая его недостаточно строгим, добивается того же результата с помощью классического геометрического метода исчерпывания. Интересно отметить, что квадратура параболы является первой известной работой Архимеда, в которой тот применяет механический метод. Существует еще и третье решение этой квадратуры, которое содержится в трактате «О методе механических теорем».

Как уже говорилось, чтобы доказать утверждение 24, Архимед использовал метод исчерпывания (рисунок 11). Начинает он, принимая результат за данное, то есть с утверждения, что Sp — площадь параболы, ST — площадь треугольника АВС, и тогда Sp= 4/3 ST. Шаги доказательства таковы.

РИС. 10

РИС. 11

— Провести хорду параболы (АС) и построить треугольник с основанием, совпадающим с этой хордой и третьей вершиной, совпадающей с вершиной параболы (В). При этом у параболы появляются еще две хорды АВ и СВ.

— Аналогично построить треугольники ADB и ВЕС.

— Такую операцию можно продолжать до бесконечности, причем получаемый многоугольник будет все более и более приближаться к параболе.

— В утверждении 21 доказывается, что каждый треугольник, построенный по такому принципу, имеет площадь, равную 1/4 от площади предыдущего треугольника. То есть получается SADB =SВЕС = 1/4Sтреугольника

— Архимед предположил, что мы можем достаточно долго заполнять пространство между треугольником и параболой построением новых треугольников на вновь образованных хордах.

— Основываясь на этой идее, он смог доказать, что площадь под параболой не может быть больше 4/3 площади изначального треугольника, но не может она быть и меньше 4/3.

— Таким образом, с помощью метода доказательства от противного выводится соотношение Sp =4/3SТ, что и требовалось доказать.

Складывая почти до бесконечности

Самый древний пример того, что можно считать провозвестником вычисления бесконечно малых величин, мы встречаем у Зенона Элейского (490-430 до н.э.). Рассмотренная им процедура (дихотомия, последовательное деление пополам) представляла собой прецедент для работы греческих математиков в последующие века.

Архимед вплотную подошел к идее пределов в различных своих работах, где он употреблял метод исчерпывания. Одна из таких работ — «О квадратуре параболы». Речь идет о том, что складывание бесконечного числа величин дает в результате конечное число. Хотя Архимед и не мог суммировать все слагаемые, ему, несомненно, удалось достичь удовлетворительного приближения к искомой сумме интуитивным способом. Эта сумма вычисляется в утверждении 23, предпоследнем пункте трактата, как раз перед утверждением, в котором второй раз в данном тексте представлена квадратура параболы. Опираясь на этот результат, он смог доказать решение задачи о квадратуре параболы методом доказательства от противного. В сущности, утверждение 23 служит базой для решения задачи, то есть его можно рассматривать как инструмент вычисления для достижения поставленной цели. Утверждение 23 гласит:

«Если некоторые величины соотносятся друг с другом как один к четырем, то сумма всех величин и еще одна треть самой маленькой величины составит четыре трети самой большой».

Объясним это более понятным образом. Берем квадрат и делим его на четыре равные части. Складываем квадрат с его четвертью. Четверть тоже делим на четыре части и так далее до бесконечности, каждый раз прибавляя четверть к предыдущей сумме. Затем суммируются площади всех этих частей и прибавляется 1 /3 самой маленькой из них. Результат всегда будет составлять 4/3 площади изначального квадрата (см. рисунки 12 и 13 на следующей странице; на рисунке 12 представлено только одно деление, а на рисунке 13 — все деления).

Как можно увидеть, результат всегда равен А + 1/3 А, то есть сумма всех последовательных делений, проделанных указанным способом, равна 1/3 площади изначального большого квадрата. Здесь Архимед приходит интуитивным образом к следующему выражению, описывающему п делений квадрата:

В наше время такая последовательность называется геометрической прогрессией, в которой каждый следующий элемент получается путем умножения предыдущего на определенное постоянное число, называемое знаменателем прогрессии. Общая формула геометрической прогрессии такова: аn = а1 • r(n-1)