Антонио Лизана - Если бы числа могли говорить. Гаусс. Теория чисел

• Название: Если бы числа могли говорить. Гаусс. Теория чисел
• Автор: Антонио Лизана
• Издательство: ООО «Де Агостини»,
• Жанр: Научпоп
• Год: 2012

При жизни Карл Фридрих Гаусс получил титул короля математиков. Личность этого ученого можно сравнить с личностью другого его гениального современника и соотечественника — Вольфганга Амадея Моцарта. Оба были вундеркиндами, которым покровительствовали и помогали получить образование представители власти. Но в отличие от композитора, Гауссу повезло прожить долгую и спокойную жизнь. Он сделал много открытий в таких научных областях, как геометрия, астрономия, физика и статистика.

Прим. OCR: Знак "корень квадратный" заменен на SQRT(), врезки обозначены жирным шрифтом.

---

Такие учебные заведения, как Коллегия Карла, не были редкостью в Германии, стране, которая на тот момент была образована несколькими независимыми государствами. Они представляли собой промежуточный этап между гимназиями, в которых дети получали элементарное образование, и университетами. В таких школах получали базовое образование будущие военные, архитекторы, инженеры, механики и коммерсанты. На этом же этапе происходила и специализация учеников в разных областях. Здесь изучали древние и современные языки, христианскую мораль и догматику, философию, историю и литературу, статистику, законы, математику, физику и естественную историю. Также в программе присутствовали занятия по рисованию и другим дисциплинам, развивающим творческие способности учащихся. Привилегированные закрытые школы стали примером новаторского подхода к образованию: здесь преподаватели старались сформировать личность, а не только давать знания. Это были элитные учебные заведения, в которых получили образование многие известные писатели и ученые конца XVIII — начала XIX века. Публичное образование в Брауншвейге было одной из сфер, в которой прогресс был наиболее очевидным, и судьба Гаусса — пример того, как человек простого происхождения мог получить в то время высшее образование.

Портрет Гаусса, написанный около 1803 года, когда великому немецкому гению было 26 лет. Это был самый плодотворный этап деятельности великого математика. За два года до этого он опубликовал свою первую великую работу, «Арифметические исследования».

Особого упоминания заслуживает библиотека Коллегии Карла с прекрасной подборкой классической математической литературы. Гаусс учился в Коллегии до 1795 года. Он изучал классические языки, литературу, философию и, естественно, высшую математику, демонстрируя блестящие успехи во всех областях. Среди математических книг, которые он штудировал в то время, были «Математические начала» Ньютона (1642— 1727), «Искусство предположений» Якоба Бернулли (1654— 1705), работы Лагранжа (1736-1813) и некоторые мемуары Эйлера. Особенно привлекали будущего ученого работы Ньютона, которого он считал математическим гением и примером для подражания.

В Коллегии Карла Гаусс начал некоторые математические исследования, связанные с распределением простых чисел и основами геометрии. Прогресс ученого, должно быть, удовлетворял герцога, который из года в год увеличивал финансовую поддержку.

Осенью 1795 года, в возрасте 18 лет, Гаусс оставил родной Брауншвейг и переехал в Гёттинген, маленький ганноверский город, известный благодаря своему университету.

Юноша отправился в путешествие вопреки желанию герцога Брауншвейгского, который хотел, чтобы его подопечный продолжал обучение в местном университете в Хельмштедте. Но несмотря на это меценат продолжил оказывать Гауссу финансовую поддержку. Гёттингенский университет носил имя Георга Августа — в честь короля Англии Георга II, который также был курфюрстом Ганновера. Храм наук был задуман по модели Оксфорда и Кембриджа, что означало большую независимость от церковного влияния и лучшее качество образования. Гаусс получил свободу в своих академических обязанностях и мог самостоятельно выбирать предметы и наставников, что было очень благоприятно для его образования.

ГЁТТИНГЕН

Гёттинген (нем. Gottingen) впервые упомянут как Gutingi в документе императора Священной Римской империи Оттона I. К началу XIII века Гёттинген уже обладал правами города. С 1584 года он принадлежал княжеству Брауншвейг-Вольфенбюттель, а в 1692 году перешел в подчинение княжеству Ганновер. Поскольку королева Великобритании Анна умерла, не оставив наследников, в 1714 году представитель ганноверской династии стал королем Великобритании под именем Георга I. С этого времени и до 1837 года интересы Ганновера и Великобритании совпадали, за исключением периода наполеоновских войн. В 1806 году княжество некоторое время находилось под контролем Пруссии, а в 1807-м вошло в состав королевства Вестфалия, созданного Наполеоном. Эти территориальные изменения были отменены после разгрома Наполеона, и в 1813 году Гёттинген вернулся под контроль Ганновера, ставшего в 1814 году королевством. Не считая этого периода, город, в котором поселился Гаусс, жил спокойной жизнью за средневековыми стенами. В эти годы в программе обучения университета преобладала теология, но к моменту назначения Гаусса преподавателем астрономии и директором городской обсерватории в 1807 году главными дисциплинами уже стали научные. Не стоит и говорить, что благодаря Гауссу этот университет получил широкую известность и привлекал студентов и ученых.

Слушатели Гёттингенского университета, где Гаусс учился, а затем был преподавателем. Гравюра по дереву на основе рисунка Роберта Гайсслера (1865).

Главным преподавателем математики в университете был 76-летний Готхельф Абрахам Кестнер (1719-1800), но так как он не посвящал себя математическим исследованиям, то так и не стал для Гаусса примером для подражания. В университете юноша завел знакомство со многими преподавателями, среди которых следует упомянуть физика Георга Лихтенберга (1742— 1799), астронома Карла Сейфера (1762-1822) и лингвиста Христиана Готлиба Гейне (1729-1812). Друзей среди студентов у Гаусса было немного, и одним из них стал Вольфганг фон Бойяи, дворянин из Трансильвании — провинции со значительной долей немецкого населения. Самый важный результат этой дружбы — переписка Гаусса и Бойяи, которая длилась больше 50 лет. Началась она в 1799 году, когда Гаусс покинул Гёттинген, и завершилась в 1853 году, за два года до смерти ученого.

Гаусс говорил о Бойяи: «Он был самым сложным по духу из тех, кого я когда-либо знал». Бойяи рассказывал об этой дружбе более подробно: «Нас объединяли страсть к математике и наши мысли, и мы гуляли долгие часы в тишине, каждый занятый собственными размышлениями».

Бойяи был единственным, кто смог понять мои метафизические критерии математики.

Карл Фридрих Гаусс о своем друге Вольфганге Бойяи

В течение трех лет в Гёттингене Гаусс совершенно самостоятельно формировал свою образовательную программу. В конце 1798 года он по неясным причинам покинул университет, но к этому времени уже успел разработать наиболее важные математические идеи, которые будут публиковаться в течение следующих 25 лет. Гаусс оставил Гёттинген, не получив диплома. Из его переписки с Бойяи мы знаем, что по просьбе герцога Брауншвейгского ученый в 1799 году послал свою докторскую диссертацию в Хельмштедтский университет. Степень была предоставлена ему заочно, без обычного устного экзамена.

ФАРКАШ БОЙЯИ

Этот венгерский математик известен в Германии как Вольфганг Бойяи (1775-1856), и ему принадлежат в основном работы в области геометрии.

Главный труд Бойяи озаглавлен Tentamen iuventutem studiosam en elementa matheosos introducendi, и в нем прослеживается попытка ученого придать строгую и систематическую базу геометрии, арифметике, алгебре и анализу. В своей работе он изложил повторяющиеся процессы для решения уравнений. Проблема повторяющихся процессов в решении математических задач состоит в следующем: не всегда можно гарантировать, что число повторений будет конечным; когда метод может гарантировать это, говорят, что он сходящийся. Процедуры, описанные Бойяи, были именно такими. Другое важное значение его работы состоит в том, что она включала определение равенства двух плоских фигур, если обе они могут быть поделены на конечное число эквивалентных частей, что отражено в теореме Бойяи — Гервина. Сыном Вольфганга был Янош Бойяи, также математик, сфера интересов которого лежала в области неевклидовой геометрии. Гаусс признавал, что многими своими идеями в области геометрии он обязан именно Бойяи, с которым мог обсудить их и улучшить.

ПОСТРОЕНИЕ ПРАВИЛЬНОГО МНОГОУГОЛЬНИКА С 17 СТОРОНАМИ С ПОМОЩЬЮ ЛИНЕЙКИ И ЦИРКУЛЯ

Со времени прибытия в Гёттинген молодой Гаусс продолжил свои исследования о числах, начатые в Коллегии. Без сомнения, именно в ходе этих исследований, а не благодаря занятиям у Кестнера в Брауншвейге он сделал открытие, ставшее ключевым не только для карьеры математика, но и для будущего науки. Речь о методе построения правильного многоугольника с 17 сторонами с помощью линейки и циркуля.

НАУЧНЫЙ ДНЕВНИК ГАУССА И ЕГО ТОЛКОВАНИЕ

Благодаря построению 17-угольника в 1796 году Гаусс понял, что может извлечь больше пользы из своего таланта, занимаясь математикой, а не философией. Осознавая важность своего открытия, которое решало одну из проблем построения с помощью линейки и циркуля — проблему, очень долго волновавшую математиков, — он написал об этом в своем небольшом дневнике. Эта запись стала первой в одном из самых интересных математических документов в истории науки. Последняя запись сделана 9 июля 1814 года. Дневник Гаусса — это всего 19 страниц, на которых содержится 146 коротких записей с открытиями или результатами вычислений. Содержание записей ученого стало известно только в 1898 году, через 43 года после смерти Гаусса, когда Королевское сообщество Гёттингена попросило внука математика предоставить дневник для изучения. Так стали известны большинство результатов, полученных Гауссом, и были разрешены многие споры об авторстве математических открытий. Дневник позволял ученому быстро записывать идеи, которые у него появлялись. Гаусс записывал конечный результат, без его строгого доказательства, причем даже сама формулировка требовала определенной расшифровки. Ученый вел дневник для себя, поэтому прибегал в записи к аббревиатурам, значение которых знал только он, и не всегда использовал математические обозначения. Большинство записей удалось расшифровать, поскольку результаты, к которым они относятся, Гаусс позже опубликовал в более формальном виде (например, записи, относящиеся к треугольным числам, к методу наименьших квадратов или дифференциальной геометрии). Теорема, относящаяся к треугольным числам, имеет в дневнике следующий вид: