Jose Santonja - Физика учит новый язык. Лейбниц. Анализ бесконечно малых.

• Название: Физика учит новый язык. Лейбниц. Анализ бесконечно малых.
• Автор: Jose Santonja
• Жанр: Научпоп
• Год: 2015

Готфрид Вильгельм Лейбниц — один из самых гениальных ученых в истории науки. Он жил на рубеже XVII и XVIII веков, в эпоху больших социальных, политических и научных перемен. Его влияние распространяется практически на все области знания: физику, философию, историю, юриспруденцию... Но главный вклад Лейбница, без сомнения, был сделан в математику: кроме двоичного исчисления и одного из первых калькуляторов в истории он создал, независимо от Ньютона, самый мощный инструмент математического описания физического мира — анализ бесконечно малых.

---

Дело в том, что первые в его работах довольно тесно переплетаются со вторыми: ученый использует в своих философских рассуждениях и математические, и физические аспекты. Не стоит забывать, что Лейбниц решил заниматься механистической философией, неотъемлемой частью которой является наука.

Одним из философов, повлиявших на Лейбница в молодости, был Раймунд Луллий. Разберем некоторые нюансы его работы, которые помогут нам составить представление о том, как развивалась его философия. Но сначала рассмотрим появляющийся в ней математический аспект.

Мы можем считать комбинаторику частью математики, изучающей форму, в которой можно выбирать, группировать и располагать ряд объектов. Комбинаторика присутствует во многих ситуациях нашей жизни. Когда группа друзей или коллег задумывает на Рождество подарок «скрытому другу» — это перестановка порядка выбирающих людей. Три книги, выбираемые нами наугад, чтобы взять с собой в отпуск, — это одно сочетание среди многих возможных. В олимпийском беге, в котором участвуют восемь атлетов, способ нахождения призеров — размещение этих спортсменов, среди которых мы выбираем трех.

Как мы видим из предыдущих примеров, в перестановках мы выбираем все элементы и располагаем их в ином порядке. Чтобы найти количество возможных комбинаций, достаточно найти факториал этой величины. Факториал натурального числа п (который обозначается п\) — это произведение натуральных чисел от 1 до этого числа:

n! = n(n-1)(n-2) • ... • 3 • 2 • 1.

Например, если у нас есть пять книг, которые мы располагаем на полке, не устанавливая никакого конкретного порядка, количество способов это сделать будет равно:

5! = 5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 120 различных расположений.

Достаточно представить, что на первом месте может оказаться любая из пяти книг. Для каждого из этих пяти вариантов на второе место мы можем поместить любую из четырех оставшихся книг, на следующее — любую из трех оставшихся, и так до последнего места, для которого есть только один вариант, поскольку остается только одна книга.

Случай с размещениями похож на предыдущий: важен порядок, в котором выбираются элементы. Но выбираются не все из них, поэтому для их нахождения нам не нужно доходить до 1 в конечном произведении. Предположим, что нам нужно разместить на полке только две книги из пяти имеющихся. Если мы осуществим рассуждение, подобное предыдущему, число возможных выборов будет равно 5 х 4 = 20. В целом количество размещений п элементов, из которых мы берем только г, задано выражением:

Vrn = n(n-1) • ... • (n-r+1),

где количество множителей равно r, начиная с n.

Наконец, в сочетаниях нас не интересует порядок, мы только хотим знать, сколько существует различных вариантов выбора подмножеств из множества заданных объектов. Допустим, у нас есть набор монет, в котором присутствует только одна монета каждого номинала от 1 евроцента до 2 евро. Если нам дадут три монеты, нас не будет интересовать порядок, в котором они у нас появятся; как известно, от перестановки слагаемых сумма не меняется.

Чтобы найти количество сочетаний п объектов, взятых по г, мы пользуемся таким выражением:

Следующее выражение соответствует частному между факториалами, называемому числом сочетаний:

Итак, если бы мы хотели вычислить, сколько групп из 3 книг мы можем выбрать из возможных 15, нам пришлось бы вычислять число сочетаний 15 элементов взятых по 3, что дало бы:

Но комбинаторика почти с начала времен используется не только в математике, как можно было бы подумать, но и во многих других дисциплинах. Упоминания о перестановках встречаются в древних ассирийских текстах или в греческих источниках. В иудейских документах утверждается, что буквы алфавита расставлены мистическим образом и, если правильно скомбинировать символы и знаки, можно получить любое создание. В самом Талмуде говорится, что с помощью перестановки букв, которым приписывается числовое значение, можно воспроизвести структуру мира. Каббала, которая может быть рассмотрена как система взглядов, раскрывающая аспекты, связанные с человеком, причиной его существования, его предназначением в жизни и так далее, — это наука о числах. В ней раскрывается, помимо прочего, тайный смысл слов, для чего используются три метода: гематрия (наука о числовом значении букв), нотарикон (наука о первой, срединной и последней буквах слов) и темура (наука о перестановке и сочетании букв). Нечто подобное существует и в арабской культуре, где на основе 28 букв, составляющих алфавит, каждая из которых символизирует целое число, открывается бесконечное количество сочетаний.

ARS MAGNA

Целью Раймунда Луллия было найти методы для обращения в христианство евреев и арабов, поэтому он подробно изучал их основные воззрения. Следовательно, на его философию повлияли обе эти культуры. Не углубляясь в детальное изучение его работы, упомянем аспекты, связанные с вычислением, оказавшие влияние на Лейбница.

Ars magna («Великое искусство»), работа Луллия, опубликованная в 1308 году, преследует главную цель — познание Бога. Она основана на комбинаторной логике, и в ней сделана попытка найти все существующие в мире знания на основе нескольких понятий и принципов, которые, благодаря своим сочетаниям, могут охватить все науки. Ars magna тесно связана с логическим рассуждением, и в ней утверждается, что логика служит не только для того, чтобы установить справедливость умозаключений, но и для того, чтобы создавать новые умозаключения с помощью их сочетаний. В работе выделяется ряд принципов, абсолютных и относительных. Первые соответствуют свойствам Бога, в то время как вторые относятся к понятиям взаимодействия между объектами. Луллий связывает алфавит со свойствами Бога. Например, А соответствует самому Богу, следующие буквы — Его различным достоинствам...

Доброта В Могущество Е Добродетель Н Величие С Мудрость F Истина I Вечность D Воля G Слава J

Если мы вычислим число сочетаний этих элементов, взятых по два, то получим сумму возможных суждений:

результаты представлены в следующей таблице.

ВС CD DE EF FG GH HI U BD СЕ DF EG FH GI HJ   BE CF DG ЕН FI GJ   BF CG DH EI FJ     BG СН DI EJ       ВН CI DJ         BI CJ           BJ            

В качестве дополнения Луллий создал ряд из четырех аксиоматических фигур, смешав одни начала с другими. Ему нужно было механически осуществить то, что ему не позволяли сделать скудные математические познания. Одна из таких фигур соответствовала предыдущей таблице, другая — это круг (как на рисунке 1), поделенный на девять секторов, в которых находились абсолютные начала. На этом круге все достоинства равноудалены от центра, где находится Бог. Под каждой буквой располагается существительное и прилагательное, и каждый сектор связан с другими восьмью, указывая все возможные сочетания. Их можно перемешивать, при этом существительные превращаются в прилагательные и получается, например, великая доброта или доброе величие.