Gustavo Pineiro - У интуиции есть своя логика. Гёдель. Теоремы о неполноте.

• Название: У интуиции есть своя логика. Гёдель. Теоремы о неполноте.
• Автор: Gustavo Pineiro
• Издательство: ООО «Де Агостини»,
• Жанр: Научпоп
• Год: 2015

Курт Гёдель изменил понимание математики. Две теоремы о неполноте, сформулированные им в 1931 году, с помощью формальной логики выявили хрупкость фундамента великого здания математики, которое усердно строили со времен Евклида. Научное сообщество было вынуждено признать, что справедливость той или иной гипотезы может лежать за гранью любой рациональной попытки доказать ее, и интуицию нельзя исключить из царства математики. Гёдель, получивший образование в благополучной Вене межвоенного периода, быстро заинтересовался эпистемологией и теорией доказательств. Так же как и его друг Альберт Эйнштейн, он оспаривал догмы современной науки, и точно так же в его жизни присутствовали война и изгнание.

---

После окончания Первой мировой войны Австро-Венгерская империя была разделена на части. Некоторые из них, такие как Австрия, Венгрия, Югославия и Чехословакия, стали отдельными странами. Другие вошли в состав уже существовавших государств, таких как Италия или Румыния. После этого раздела город Брно, в котором жила семья Гёделя, был присоединен к Чехословакии. Курт вспоминал, что с этого момента его отец всегда чувствовал себя австрийцем в изгнании. Возможно, это ощущение в какой-то степени повлияло на решение послать обоих сыновей учиться в Венский университет, чтобы они хотя бы таким образом могли вернуться на родину.

Гёдель поступил в Венский университет в 1923 году с намерением изучать физику. Можно предположить, что врожденное любопытство с самого раннего детства привело его к вопросам о том, почему вещи, подброшенные вверх, падают, или почему некоторые предметы плавают, а другие нет, или почему светит Солнце, — все они связаны с физикой. Однако основная причина, по которой он решил посвятить себя этой науке, по- видимому, сформировалась, когда Гёделю было 15 лет, после того как он прочитал о теории цвета Гёте и о противостоянии подходу Ньютона.

Очень мало известно о личной жизни Гёделя в студенческие годы. Он едва не женился на женщине, которая была на десять лет его старше, но родители воспротивились, и Курт отказался от своего намерения. Нет информации о других личных отношениях или близкой дружбе. По-видимому, юноша посвящал большую часть времени учебе. Но в университете его намерение посвятить себя физике вскоре пропало. В те годы в Вене преподавал Филипп Фуртвенглер, немецкий математик, специализировавшийся на высшей арифметике. Он родился в 1869 году в Эльце (Германия), в 1896-м защитил докторскую диссертацию в Геттингене под руководством Феликса Клейна, одного из самых выдающихся математиков конца XIX века.

Занятия Филиппа Фуртвенглера отличались блеском и ясностью. Число студентов, которые записывались на его курс, было таким большим (оно доходило до 400 человек одновременно), что ученики были вынуждены делиться на две группы, и урок проводился дважды, для каждой из них. У Фуртвенглера был поперечный паралич, и он со своего кресла на колесах диктовал помощнику, что тот должен написать на доске.

ТЕОРИЯ ЦВЕТА ГЁТЕ

Иоганн Вольфганг фон Гёте (1749- 1832) — немецкий романист, драматург и поэт, один из главных представителей романтизма. Помимо литературного творчества, Гёте также занимался наукой и стал автором работ по физике, зоологии и ботанике.

Многие его идеи вызвали споры, некоторые из них разрешились в последующие десятилетия. Например, его классификация растений и понятия о морфологии животных были использованы Чарльзом Дарвином и другими натуралистами XIX века. В книге Zur Farbenlehre («К теории цвета»), написанной в 1810 году, Гёте утверждал, что изучение цвета не должно сводиться к физическим аспектам света, но также должно включать в себя размышления о человеческом восприятии. Для Гёте оптика Ньютона была неполной и представляла собой только частный случай в рамках его собственной теории. Идеи Гёте о свете не заинтересовали физиков его времени; обычно они даже не включаются в работы по истории науки. Однако сегодня признано, что Гёте был прав, различая оптический аспект в том виде, как его изучал Ньютон, и более широкое явление — восприятие цветов человеком.

Портрет Гёте руки немецкого художника Йозефа Карла Штилера.

На юного Курта так подействовали занятия Фуртвенглера, что он оставил решение изучать физику и обратился к математике. Это, без сомнения, выдающийся пример того, как преподаватель может повлиять на жизнь ученика. Только через 25 лет в Принстоне у Гёделя появится возможность вспомнить о своей любви к физике. В 1949 и 1950 годах он опубликовал две важные работы по теории относительности — эти труды Гёделя, единственные не связанные с математической логикой, безусловно, стали результатом его бесед с Эйнштейном.

Небольшое совпадение: Филипп Фуртвенглер закончил обучение в Геттингене в 1896 году и оставался там до 1912-го, когда переехал в Венский университет. Между тем в 1895 году в Геттинген прибыл Давид Гильберт, считавшийся молодой надеждой немецкой математики. Хотя точных сведений об этом нет, мы уверены, что они были знакомы — Филипп Фуртвенглер, благодаря которому Гёдель посвятил себя математике, и Давид Гильберт, чья математическая работа 1920-х годов была «разрушена» теоремами Гёделя. Узнал ли когда-нибудь Фуртвенглер, что именно он вдохновил Гёделя посвятить себя математике? Нам это неизвестно.

ВЕНСКИЙ КРУЖОК

Вернемся к Гёделю и его университетским годам. В то время, в начале 1920-х годов, интеллектуальная жизнь Вены протекала более или менее неформально, в виде кружков (Kreise). Такие группы (которых, вероятно, были десятки, и многие из них назывались одинаково) собирались еженедельно в городских кафе, чтобы обсуждать различные темы, касающиеся философии, политики или психоанализа (в те годы в Вене жил и работал Фрейд).

Самый важный кружок был основан в 1922 году Морицем Шликом, который, кроме того, преподавал Гёделю философию науки. Сначала Шлик дал группе название «Ассоциация Эрнста Маха», но позже она была известна просто как «Венский кружок» (Der Wiener Kreis). В состав группы входили, среди прочих, философы Рудольф Карнап и Людвиг Витгенштейн, а также философ и математик Ханс Хан (который руководил докторской диссертацией Гёделя). Карл Поппер также участвовал в некоторых дискуссиях. Одна из его самых важных работ, Logik der Forschung («Логика научного исследования»), впервые появилась среди публикаций кружка.

Вступить в группу можно было строго по приглашению; Гёдель получил его от Шлика в 1926 году и регулярно ходил на встречи до 1928 года — только как слушатель. Когда Гёдель получил приглашение присоединиться к кружку, он был еще студентом, и это много говорит об авторитете, который он имел среди преподавателей.

Темы обсуждений в Венском кружке касались философии науки в целом и языка науки в частности. Также обсуждали математику, в особенности решения проблемы кризиса оснований, предложенные Расселом, Брауэром и Гильбертом. Явно именно там Гёдель приобрел первые глубокие знания о формальной программе.

Участие Гёделя в Венском кружке привело его в 1928 году к окончательному решению посвятить себя математической логике. На следующий год он закончил свою докторскую диссертацию о проблеме, связанной с программой Гильберта (хотя речь еще не шла о знаменитой теореме о неполноте, которую он представил в сентябре 1930 года на конгрессе в Кёнигсберге).

МОРИЦ ШЛИК

Мориц Шлик — немецкий философ, родился в 1882 году. Он изучал физику вместе с Максом Планком в Берлинском университете; его докторская диссертация, представленная в 1904 году, называлась «Об отражении света в неоднородной среде». Однако Шлинк посвятил свою жизнь не физике, а философии. Его первая научная работа, «Мудрость жизни», была опубликована в 1908 году, а через два года появилось эссе Das Wesen der Wahrheit nach der modernen Logik («Природа истины согласно современной логике»). Через некоторое время Шлинк переключил свое внимание на эпистемологию и философию

науки, и этим темам более не изменял. В 1922 году он занял кафедру философии в Венском университете и в это же время основал Венский кружок как центр для обсуждения новых философских горизонтов, далеких от метафизики и сосредоточенных на эмпиризме. Встречи кружка прекратились в 1936 году, с убийством Морица Шлика студентом университета (некоторые историки утверждают, что студент был психически нездоров, другие — будто он был сторонником нацистов, хотя обе версии не исключают друг друга).

Гёдель представил свою диссертацию в Венском университете 6 февраля 1930 года. В том же году он опубликовал ее в виде статьи. Эта его первая научная публикация появилась в томе 37 (1930) журнала Monatshefte für Mathematik und Physik под заголовком «Полнота аксиом логического функционального исчисления». Теорема, которая в ней доказана, сегодня известна как теорема Гёделя о полноте. В то время она была воспринята как знак выполнимости программы Гильберта.

ТЕОРЕМА О ПОЛНОТЕ

Чтобы понять теорему Гёделя о полноте, мы должны прежде углубиться в теорию математического доказательства по программе Гильберта. Напомним, что согласно ей нужно найти множество аксиом, которые позволили бы доказать все арифметические истины с помощью рассуждений, проверяемых алгоритмически. Но что точно представляет собой арифметика? Каковы истины, которые мы хотим доказать?

Цель моей теории — установить раз и навсегда определенность математических методов.