Валентин Асмус - Учение логики о доказательстве и опровержении

• Название: Учение логики о доказательстве и опровержении
• Автор: Валентин Асмус
• Издательство: Госполитиздат
• Жанр: Философия
• Год: 1954

Обнажая воочию маразм современной буржуазной мысли, поход против доказательства и доказательности, затеянный философскими мракобесами и декадентами, В.Ф. Асмус последовательно утверждает непреложную ценность доказательства в мышлении, цель которого ― не извращение, а утверждение истины. Ибо самым убийственным для отрицателей доказательства, и в то же время самым смешным в их действиях фактом, является то, что ненужность доказательства они пытаются (разумеется, безуспешно) «доказывать». Тем самым они на деле признают над собою безусловную власть того самого логического принципа, который они в реакционном «раже» бессмысленно отрицают. Ибо доказательство — отнюдь не второстепенный и не случайный элемент квалифицированного мышления. Доказательство есть жизненный нерв научного мышления, первейшее и необходимейшее условие научности всякого утверждения.В стремлении науки к доказательности обнаруживается одна из коренных и существеннейших черт научной мысли. Наука и научная мысль не терпят голословности. Научным любое утверждение становится лишь тогда, когда доказано.Для всех интересующихся проблемой подмены доказательств аргументацией в современной науке и философии.

---

Под постулатами (τα αιτήματα, буквально — «требования») Аристотель понимал такие положения, которые, безотносительно к их доказуемости, вводятся в начала науки без доказательства, хотя бы они представлялись учащемуся противными его мнению[17]. Именно потому, что постулат может быть противным мнению учащегося, он вводится в качестве требования: это — положение, которое должно быть принято для того, чтобы были приняты все вытекающие из него выводы.

Постулаты Аристотель отличал от аксиом, но не противопоставлял их аксиомам.

В развитии античной математики после Аристотеля были выработаны три точки зрения по вопросу о различии между аксиомами и постулатами. Эти три точки зрения рассматривает математик и философ Прокл (V век н. э.) в своих «Комментариях» к «Началам» Евклида.

Согласно первой из этих точек зрения, аксиомы — недоказываемые положения, на которые опираются доказательства теорем, а постулаты — недоказываемые положения, на которые опираются построения в геометрии.

Согласно второй точке зрения, аксиомы — допущения, общие для всех наук, а постулаты — специальные допущения, принятые в геометрии. Так, у Евклида в качестве аксиом рассматривались, например, такие положения: «равные одному и тому же равны и между собой», «если к равным прибавляются равные, то и целые будут равные» и т. д. В качестве постулатов у Евклида рассматриваются, например, такие положения: «от всякой точки до всякой точки <можно> провести прямую линию», «из всякого центра и всяким раствором <циркуля> <может быть> описан круг» и т. д.

Зачатки этого понимания различия между аксиомами и постулатами имелись уже у Аристотеля: «Из тех <начал>,— читаем у Аристотеля,— которые применяются в доказывающих науках, одни свойственны каждой науке в отдельности, другие — общи всем...»[18].

Согласно третьей точке зрения, постулаты — в отличие от аксиом — суть «требования», выдвигаемые преподающим науку или руководителем диспута. Постулаты должны быть приняты учащимися или участниками диспута, несмотря на то, что для них требования эти могут представляться не безусловно бесспорными[19].

Впоследствии возобладал взгляд, согласно которому аксиомами должны называться недоказываемые положения не специальные, имеющие силу для всех наук, постулатами же — недоказываемые положения более частные, относящиеся к области какой-нибудь особой специальной науки. Согласно этому взгляду, положение о том, что две величины, равные порознь третьей, равны между собой, рассматривалось в силу его всеобщности как типичная аксиома. Напротив, положение о параллельных вследствие его специально геометрического характера толковалось как типичный постулат.

Распределение аксиом и постулатов в «Началах» Евклида не вполне соответствует этому различению. Хотя ряд постулатов Евклида принадлежит к области геометрия, а ряд его аксиом — к области более общего учения о величинах, последовательное разграничение аксиом и постулатов по степени их специального характера оказывается невозможным. Так, 7-я аксиома первой книги «Начал», утверждающая, что «совмещающиеся друг с другом равны между собой», есть, конечно, аксиома геометрии. Положение о параллельных, принадлежащее к области геометрии, помещалось Евклидом в числе аксиом (11-я аксиома первой книги«Начал») и только позднейшими комментаторами и издателями стало рассматриваться как постулат (5-й постулат той же книги).

В философии и математике XVII века понимание логической природы аксиом и постулатов изменилось. Ряд математиков и логиков этого века сущность аксиом стал видеть в их будто бы безусловной очевидности или самоочевидности. Согласно этому новому взгляду, аксиомы — такие основания доказательства, которые не доказываются в науке не в силу своей общепринятости, а в силу своей полной и безусловной очевидности. Существуют будто бы такие положения, которые, как только на них направляется наш ум, представляются ему с ясностью и очевидностью, исключающими возможность какого бы то ни было сомнения. Будучи совершенно очевидными, положения эти будто не требуют доказательства, ниоткуда не выводятся, представляют истины, непосредственно постигаемые умом, или, другими словами, являются «интуициями», притом интуициями не чувств, а ума. Аксиомы — не просто недоказываемые истины, какими их считали древние математики. Это — истины будто бы недоказуемые. Не нуждаясь ни в каком доказательстве, они составляют последнюю основу всех доказываемых в науке истин. Доказать — значит вывести доказываемое положение или прямо из таких самоочевидных аксиом, или вывести его из положений, которые если не прямо, то в последней инстанции сами опираются на самоочевидные аксиомы и доказываются с их помощью.

В этом учении существенным признаком аксиом провозглашается их непосредственно постигаемая самоочевидность (интуитивность) и их недоказуемость. Напротив, их общепризнанность и более или менее общий для всех наук или специальный характер получает значение свойства, производного от указанных основных свойств.

В связи с этим характерное для античных логиков и математиков понимание различия между постулатами и аксиомами у логиков и математиков XVII века в значительной мере утрачивает прежнее значение. Возникает тенденция к сближению постулатов с аксиомами. Поскольку некоторые постулаты представляются не менее очевидными, чем аксиомы, и поскольку непосредственная очевидность аксиом рассматривается как основание их недоказуемости, такие постулаты по сути уже не отличаются от аксиом и вместе с аксиомами образуют совокупность последних оснований всякого доказательства.

В то же время, однако, некоторые постулаты не поддавались этому сближению с аксиомами по признаку безусловной очевидности. Таков был прежде всего постулат Евклида о параллельных. Уже в самой своей формулировке он содержал понятие о неограниченном продолжении прямой — понятие, которое никак не могло быть признано ни самоочевидным, ни непосредственно постигаемым.

К этому присоединилось ещё и то, что целый ряд начальных положений (теорем и задач на построение) геометрии Евклида доказывался и решался вовсе без участия постулата о параллельных. Только в двадцать девятом предложении первой книги «Начал» постулат Евклида впервые использовался в качестве одного из оснований доказательства этого предложения.

Эта далеко не безусловная «очевидность» постулата о параллельных, а также «позднее» появление его в числе оснований, на которые опираются доказательства теорем геометрии Евклида, в сопоставлении со взглядом на аксиомы, как на истины самоочевидные, уже давно внушали математикам мысль — не является ли этот постулат теоремой, которая может быть доказана.

Попытки доказать 5-й постулат Евклида предпринимались ещё античными математиками и продолжались до Лобачевского. Великий русский математик во второй половине 20-х годов прошлого века пришёл к гениальному открытию, которое повлекло за собой коренную переработку взгляда логики на природу аксиом и на их значение для доказательства.

В начале своих исследований, посвящённых теории параллельных, Лобачевский пытался доказать постулат Евклида способом от противного. Предполагая, в противоречии с постулатом Евклида, что через точку вне данной прямой в одной с ней плоскости можно провести не одну единственную прямую, не пересекающуюся с данной, Лобачевский надеялся, что, развивая следствия из этого предположения, он придёт в конце концов к следствию, опровергающему это предположение и тем самым доказывающему истинность самого постулата Евклида.

Но никакие следствия, развиваемые из предположения, противоречащего постулату Евклида, не могли доказать абсурдность этого предположения. Никаких противоречий между теоремами, доказанными на основе предположения, противоречащего постулату Евклида, не получалось.

В конце концов Лобачевский убедился, что все старания ряда математиков доказать постулат Евклида, т. е. вывести его как следствие из других аксиом и постулатов Евклида, были ошибочны не только по выполнению, но и по замыслу. Постулат о параллельных оказался независимым от остальных аксиом и постулатов Евклида. С другой стороны, как уже говорилось выше, постулат этот не обладает и безусловной очевидностью. Тем не менее постулат Евклида является одним из оснований классической системы геометрии, не заключающей нигде в своих доказываемых с помощью этого постулата положениях никаких противоречий.

Небезусловная очевидность постулата Евклида и отсутствие противоречий в системе теорем, доказываемых на основе постулата, противоречащего постулату о параллельных, даёт возможность поставить вопрос, каков будет результат, если вместо постулата Евклида в число оснований геометрии будет принят другой — тоже не безусловно очевидный — постулат. Согласно последнему, получившему название постулата Лобачевского, через данную точку С, лежащую вне данной прямой АВ, можно провести в одной с ней плоскости не одну единственную не пересекающуюся с прямой АВ прямую, как это утверждает постулат Евклида, а целый пучок прямых, заключающийся между двумя прямыми KL и MN, проходящими через данную точку (см. рис.1) и называемыми параллельными относительно АВ[20].