Леонард Млодинов - Евклидово окно. История геометрии от параллельных прямых до гиперпространства

• Название: Евклидово окно. История геометрии от параллельных прямых до гиперпространства
• Автор: Леонард Млодинов
• Жанр: Математика
• Год: 2014
• ISBN: 978-5-904584-60-3

Мы привыкли воспринимать как должное два важнейших природных умений человека – воображение и абстрактное мышление, а зря: «Евклидово окно» рассказывает нам, как происходила эволюция нашей способности представлять то, чего мы не видим воочию.

Эта книга – восхитительная смесь научного авторитетного труда и веселого балагурства, она превращает классические теории и понятия геометрии в доступные, поражающие воображение истории.

Спасибо Млодинову: не нужно быть математиком или физиком, чтобы постичь загадки пространства и поразиться великолепию мироустройства.

---

31

Наиболее полная биография Пифагора, со всеми ссылками, – гормановская. Также см.: Leslie Ralph, Pythagoras (London: Krikos, 1961).

32

См.: Donald Johanson and Blake Edgar, From Lucy to Language (New York: Simon & Schuster, 1996), стр. 106–107.

33

Jane Muir, Of Men and Numbers (New York: Dodd, Mead & Co., 1961), стр. 6.

34

Square deal (англ. букв.) – «квадратная сделка», употребляется в значении «справедливая, честная сделка». – Прим. пер.

35

Gorman, стр. 108.

36

Gorman, стр. 19.

37

Gorman, стр. 110.

38

Gorman, стр. 111.

39

Gorman, стр. 111.

40

Gorman, стр. 123.

41

Для интересующихся математикой приведем доказательство. Обозначим длину диагонали как с и начнем с допущения, что с можно выразить в виде дроби – скажем, m/n, в которой у m и n нет общих делителей, и они ни в коем случае не четные одновременно. Доказательство производится в три этапа. Первый: заметим, если с2 = 2, значит, m2 = 2n2. Словами: m2 – четное число. Поскольку квадраты нечетных чисел – нечетные, значит, и m само по себе должно быть четным. Второй: поскольку m иn не могут быть оба четными, значит, n должно быть нечетным. Третий: взглянем на уравнение m2 = 2n2 с другой стороны. Поскольку m – четное, его можно записать как 2q, при любом q. Если заменить m в m2 = 2n2 на 2q, получим 4q2 = 2n2, что то же самое, что и 2q2 = n2. Это означает, что n2, а следовательно, и n – четное.

Мы только что доказали, что если с можно записать как с = m/n, то m есть нечетное, а n – четное. Получается противоречие, а значит, исходное допущение, что с можно записать как с = m/n, – ложное. Такого рода доказательства, когда мы допускаем отрицание того, что стремимся доказать, а потом показываем, что отрицание ведет к противоречию, называется reductio ad absurdum. Это одно из изобретений пифагорейцев, и поныне полезное для математики.

42

Muir, стр. 12–13.

43

Kramer, стр. 577.

44

Gorman, стр 192–193.

45

Спиноза, знаковый философ XVII века, писал «Этику» – свой главный труд – в стиле евклидовых «Начал», вплоть до определений и аксиом, с помощью которых, как он считал, строго доказывал теоремы. См. также «Историю западной философии» Бертрана Расселла: Bertand Russell, A History of Western Philosophy (New York: Simon & Schuster, 1945), стр. 572. Авраам Линкольн, еще будучи никому не известным юристом, изучал «Начала» с целью улучшить свои навыки логики, см.: Hooper, стр. 44. Кант читал евклидову геометрию неотъемлемой частью человеческого мозга, см. Расселл. [На рус. яз.: Бенедикт Спиноза, «Этика», М., СПб, Азбука, Азбука-Аттикус, 2012, пер. Я. Боровского, Н. Иванцова; Бертран Рассел, «История западной философии», М.: Академический проект, 2009, пер. В. Целищева. – Прим. пер.]

46

Heath, стр. 354–355.

47

Kline, стр. 89–99, 157–158.

48

Heath, стр. 356–370, см. также: Hooper, стр. 44–48. В 1926 году Хит лично продолжил историю «Начал», опубликовав свое издание, перепечатанное издательством «Доувер»: Sir Thomas Heath. The Thirteen Books of Euclid’s Elements (New York: Dover Publications, 1956).

49

«Мальтийский сокол» (1930) – детектив-нуар американского писателя Сэмюэла Дэшилла Хэммета (1894–1961). – Прим. пер.

50

Kline, стр. 1205.

51

«Let’s Make A Deal» – американская телевикторина телеканала «Эн-би-си», транслировавшаяся с 1963 по 1968 гг. – Прим. пер.

52

Трудный выбор, на котором основана программа «Поспорим», часто называют задачей Монти Холла, по имени ведущего программы. Проще всего разобраться в решении, нарисовав диаграмму-дерево, последовательно иллюстрирующую возможные варианты выбора. Этот метод применяется для наглядного описания теоремы Байеса в: John Freund, Mathematical Statistics (Englewood, Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1971), стр. 57–63. [Здесь и далее по тексту в квадратных скобках имена собственные даются в соответствии с произносительной нормой в тех случаях, когда она расходится с привычным написанием. – Прим. пер.]

53

Martin Gardner, Entertaining Mathematical Puzzles (New York: Dover Publications, 1961), стр. 43. [На рус. яз.: Гарднер М., «Математические досуги», М: «Мир», 1972, пер. Ю. Данилова. – Прим. пер.]

54

История про трудности с перигелием Меркурия изложена в: John Earman, Michael Janssen, and John D. Norton, eds., The Attraction of Gravitation: New Studies in the History of General Relativity (Boston: The Center for Einstein Studies, 1993), стр. 129–149. А еще есть хорошее, хоть и краткое, изложение этой же темы в: Abraham Pais, Subtle Is The Lord (Oxford: Oxford University Press, 1982), стр. 22, 253–255; цитата Леверье дана на стр. 254; «высшая точка» – на стр. 22. Геометрия всей этой истории изложена в: Resnikoff and Wells, стр. 334–336.

55

Три хороших современных обзора «Начал» Евклида есть в: Kline, Mathematical Thought, стр. 56–88; Jeremy Gray, Ideas of Space (Oxford: Clarendon Press, 1989), стр. 26–41; Marvin Greenberg, Euclidean and Non-Euclidean Geometries (San Francisco: W. H. Freeman & Co., 1974), стр. 1–113.

56

Kline, стр. 59.

57

Здесь и далее – пер. с греч. Д. Д. Мордухай-Болтовского. – Прим. пер.

58

H. G. Wells, The Outline of History (New York: Garden City Books, 1949), стр. 345–375. Линию времени см.: Jerome Burne, ed., Chronicle of the World (London: Longman Chronicle, 1989), стр. 144–147.

59

Russell, стр. 220.

60

Афиняне одолжили Птолемею III драгоценные манускрипты Еврипида, Эсхила и Софокла. Хоть он их и не вернул, ему хватило щедрости отдать сделанные им копии. Греки, скорее всего, не слишком удивились. Они запросили с Птолемея III (и оставили себе) целое состояние. См.: Will Durant, The Life of Greece (New York: Simon & Schuster, 1966), стр. 601.

61

«U.S. News & World Report» (с 1933) – американский новостной журнал. В последние годы стал особенно известен своей системой ранжирования и ежегодным отчетам об американских колледжах, университетах, школах и медицинских центрах. – Прим. пер.

62

Геометрия его расчетов объяснена в: Morris Kline, Mathematics and the Physical World (New York: Dover Publications, 1981), стр. 6–7.

63

Бытует несколько разных вариантов этой истории. Согласно некоторым, Эратосфен замечает отсутствие тени, глядя в колодец, и определяет расстояние до Сиена по рассказам странников. Версия, приведенная здесь, есть в: Carl Sagan, Cosmos (New York: Ballantine Books, 1981), стр. 6–7. [На рус. яз.: К. Саган, Космос, СПб: Амфора, 2008, пер. А. Сергеева. – Прим. пер.]

64

Kline, Mathematical Thought, стр. 106.

65

Morris Kline, Mathematics in Western Culture (London: Oxford University Press, 1953), стр. 66.

66

Kline, Mathematical Thought, стр. 158–159.

67

Обзор работ Птолемея см.: John Noble Wilford, The Mapmakers (New York: Vintage Books, 1981), стр. 25–33.

68

Kline, Mathematics in Western Culture, стр. 86.

69

Kline, Mathematical Thought, стр. 201.

70

Kline, Mathematics in Western Culture, стр. 89.

71

Историю Гипатии см.: Maria Dzielska, Hypatia of Alexandria, trans. F. Lyra (Cambridge, MA: Harvard University Press, 1995). См. также: Kramer, стр. 61–65, и Russell, стр. 367–369.

72

Edward Gibbon, The Decline and Fall of the Roman Empire (London: 1898), стр. 109–110. [На рус. яз.: Эдвард Гиббон, «История упадка и разрушения Римской империи», в 7 т., М.: Наука, 2006, пер. В. Неведомского. – Прим. пер.]

73

Dzielska, стр. 84.

74

Dzielska, стр. 90.

75

Dzielska, стр. 93–94.

76

Resnikoff and Wells, стр. 4–13.

77

David Lindberg, ed., Science in the Middle Ages (Chicago: University of Chicago Press, 1978), стр. 149.

78

Город и река в штате Мичиган, США. – Прим. пер.

79

William Gondin, Advanced Algebra and Calculus Made Simple (New York: Doubleday & Co., 1959), стр. 11.

80

Два прекрасных рассказа об истории создания карт см.: Wilford and Norman Thrower, Maps and Civilization (Chicago: University of Chicago Press, 1996).

81

Resnikoff and Wells, стр. 86–89.

82

Согласно некоторым источникам – в 1699-м, однако поскольку изобретение не было опубликовано сразу, точную дату установить затруднительно. – Прим. пер.

83