Лэнс Фотноу - Золотой билет. P, NP и границы возможного

• Название: Золотой билет. P, NP и границы возможного
• Автор: Лэнс Фотноу
• Жанр: Образовательная литература
• Год: 2016
• ISBN: 978-5-00101-424-9

«Золотой билет» – великолепное введение в P/NP-проблему, в котором описаны история этой задачи и ее влияние на нашу жизнь. В этой информативной и занимательной книге Лэнс Фортноу прослеживает работу, которая велась над задачей во времена холодной войны по обе стороны «железного занавеса», и приводит примеры ее возникновения во множестве дисциплин, включая экономику, физику и биологию.

Для студентов и специалистов в области теории вычислений, всех, интересующихся современными проблемами в математике.

В формате pdf A4 сохранен издательский дизайн.

---

Рис. 1.1. Задача коммивояжера

Однако транспортный отдел попросил ее подумать еще и постараться уложиться в 17000 километров. Мэри написала программу, которая в поисках самого короткого маршрута перебирала все возможные перестановки из сорока восьми городов. Прошла неделя, а программа все работала. Тогда Мэри решила кое-что прикинуть. Первый город можно было выбрать сорока восемью способами. Второй – сорока семью. Третий – сорока шестью, и так далее. Итого потенциальных маршрутов набралось 48 × 47 × 46 × … × 2 × 1. Для записи этого числа требуется 62 цифры. Вот оно: 12413915592536072670862289047373375038521486354677760000000000.

Если мы даже предположим, что один маршрут обрабатывается всего за 0,00000000000000000033 секунды (примерно столько времени требуется свету, чтобы преодолеть дистанцию, равную диаметру самого мелкого атома), то на полную проверку всех маршрутов все равно уйдет в десять тысяч миллиардов триллионов больше лет, чем живет наша вселенная. Понятно, почему Мэри не увидела ответ через неделю! Неужели для поиска оптимального пути – этакого золотого билета среди всех возможных маршрутов-шоколадок – нет способа получше?

Вот мы и подошли к сути дела. Вопрос о равенстве классов P и NP самым непосредственным образом связан с задачей быстрого поиска кратчайшего маршрута коммивояжера (и не только с ней). Названия классов – сокращения от технических терминов, однако будет лучше воспринимать их просто как общие понятия, а не как конкретные математические объекты. Класс NP – это множество задач, которые мы хотим решить; класс P – задачи, которые мы умеем решать быстро. Если P равно NP, мы всегда сможем быстро найти решение любой NP-задачи (например, кратчайший маршрут для коммивояжера). А если не равно, то не сможем.

Задача о разбиении

Взгляните на эти тридцать восемь чисел:

14175, 15055, 16616, 17495, 18072, 19390, 19731, 22161, 23320, 23717, 26343, 28725, 29127, 32257, 40020, 41867, 43155, 46298, 56734, 57176, 58306, 61848, 65825, 66042, 68634, 69189, 72936, 74287, 74537, 81942, 82027, 82623, 82802, 82988, 90467, 97042, 97507, 99564.

В сумме все они дают ровно 2000000. Попробуйте разбить их на две группы по девятнадцать чисел так, чтобы сумма чисел внутри каждой группы была равна 1000000. Можете свободно пользоваться калькулятором, Excel или даже написать программу. Ответ приводится в конце главы.

Не так-то просто, верно? Ведь для разбиения существует более семнадцати миллиардов вариантов! Современные компьютеры считают очень быстро, и с хорошей программой у вас есть все шансы получить ответ. Ну а что если я предложу вам не тридцать восемь чисел, а три тысячи восемьсот? Или, что еще лучше, тридцать восемь миллионов? Тут уже никакая программа не справится.

Дурацкая, никому не нужная математическая головоломка, скажете вы. А вот и нет! Представьте, что у нас есть хороший алгоритм, который быстро разбивает заданное множество чисел на две группы с равной суммой (когда это разбиение вообще существует). Тогда мы можем применить его не только для решения подобных головоломок, но и вообще любых задач, к примеру – для поиска кратчайшего маршрута коммивояжера. Дурацкая математическая головоломка на самом деле представляет собой аналог проблемы «P против NP», и любой алгоритм, решающий ее гигантскую версию, способен вычислить практически все, что угодно.

Немного о руках

Наши руки – это самый удивительный механизм на планете. Они хватают, толкают, указывают пальцем. Завязывают шнурки, выпускают из лука стрелу. Играют на фортепьяно, скрипке, демонстрируют фокусы. В совершенстве управляют автомобилем, лодкой, поездом и самолетом. Руки могут поздороваться, а могут выкрутить запястья. Могут погладить с нежностью или больно ударить. Они общаются языком жестов, пишут слова на бумаге, набирают текст на компьютере. Выполняют ювелирную работу часового мастера и справляются с бензопилой. Руки гениев создают великие картины, симфонии, поэмы… Вероятно, все, чего мы достигли, стало возможным именно благодаря рукам.

Кисть руки содержит двадцать семь костей. На ней пять пальцев, включая незаменимый большой. Под эластичной кожей спрятана сложнейшая система мышц, сухожилий и нервов. Волшебный механизм – вот только самостоятельно это чудо природной инженерии функционировать не будет. От головного мозга должны приходить соответствующие инструкции: рука мертвеца не способна двигаться и вообще что-либо делать.

Рука – это «железо», т. е. натуральное аппаратное обеспечение. А значит, для работы ей обязательно нужна программа – сообщение от мозга, объясняющее, как выполнить то или иное задание.

Профессор Йоки Мацуока из Вашингтонского университета – специалист по робототехнике. Под ее руководством группа исследователей разработала так называемую «анатомически правильную» кисть, пальцы которой в точности повторяют движения человеческих. Технически искусственная рука способна творить те же чудеса, что и настоящая, однако на деле под силу ей оказываются лишь самые простые операции. Нелегко создать программу, которая управляла бы всеми функциями кисти; простейшие движения требуют идеальной координации большого числа мышц, и реализующие их алгоритмы далеко не тривиальны.

Впрочем, наш мозг умудряется контролировать руки без особых проблем. По сути мозг представляет собой сверхмощный компьютер, и раз он может объяснить рукам, как завязать шнурки или создать картину, то написать подобную программу теоретически возможно.

Конечно, одно дело знать, что некий алгоритм существует, и совсем другое – найти его. Программы со временем будут становиться все сложнее и сложнее; искусственная рука научится выполнять намного более трудные операции и однажды – как знать! – вполне может даже превзойти человеческую. Очевидно, нас ждет безумно увлекательное путешествие, вот только скорость движения, похоже, будет очень низкой.

Или не очень? Представьте, что для любой поставленной задачи тут же появляется программа со всей необходимой функциональностью. Например, вы загружаете в компьютер ролик, в котором человек завязывает галстук, и через секунду механические руки уже воспроизводят этот процесс. Или подаете на вход полное собрание сочинений Шекспира, а компьютер в ответ сочиняет новую «шекспировскую» пьесу. Представьте: все, что можно описать словами, можно и создать. Реально ли это? Да – но только если P равно NP.

Вот почему проблема равенства P и NP так будоражит умы. Неужели все задачи мы сможем щелкать как орешки? Или над некоторыми все же придется трудиться? Ответа пока нет, хотя на самом деле на «халяву» мало кто надеется. Вряд ли когда-нибудь выяснится, что P = NP; и все же помечтать об идеальном мире бывает очень и очень приятно.

P против NP

Проблема «P против NP» касается не только описанных выше задач, но и тысяч других, схожих с ними по сути. Насколько быстро можно перебрать огромное число потенциальных вариантов? Насколько трудно будет отыскать тот самый золотой билет, т. е. оптимальное решение поставленной задачи?

Впервые проблема равенства классов упоминается еще в 1956 году – в письме, которое один величайший математик XX века, Курт Гёдель, отправил другому величайшему математику XX века, Джону фон Нейману. К сожалению, вплоть до восьмидесятых о письме ничего не было известно, а вот первые официальные публикации появились в начале семидесятых. Авторы – Стивен Кук и Леонид Левин – независимо друг от друга пришли к одному и тому же вопросу, находясь по разные стороны «железного занавеса». Вслед за этим Ричард Карп опубликовал свой знаменитый список из двадцати одной задачи: все они, включая маршрут для коммивояжера и разбиение на группы, были эквивалентны проблеме «P против NP». Постепенно научное сообщество осознало важность поднятых вопросов, и в развитии информатики наступил поворотный момент. Сейчас проблема равенства классов уже стала основополагающей – причем не только в информатике, но также в биологии, медицине, экономике, физике и многих других областях.

Со временем этот вопрос заработал статус одной из самых трудных задач в истории математики. Шумиха вокруг доказательства Великой теоремы Ферма, предложенного в 1994 году Эндрю Уайлсом, побудила Математический институт Клэя организовать нечто вроде конкурса по решению сложнейших открытых математических проблем. В 2000 году институт опубликовал список из семи «задач тысячелетия» и за каждую из них объявил награду в один миллион долларов. Вот они:

1. Гипотеза Берча–Свиннертон–Дайера.

2. Гипотеза Ходжа.

3. Уравнения Навье–Стокса.

4. Проблема равенства P и NP.

5. Гипотеза Пуанкаре.

6. Гипотеза Римана.

7. Теория Янга–Миллса.

Гипотезу Пуанкаре в 2003 году доказал Григорий Перельман, однако от вознаграждения ученый отказался. Остальные шесть задач тысячелетия на момент написания книги по-прежнему остаются открытыми.

Решите проблему «P против NP» – и получите настоящий золотой билет, т. е. миллион долларов США!