Джордан Элленберг - Как не ошибаться. Сила математического мышления

• Название: Как не ошибаться. Сила математического мышления
• Автор: Джордан Элленберг
• Жанр: Прочая научная литература
• Год: 2017
• ISBN: 978-5-00100-466-0

По мнению профессора Элленберга, математика – это наука о том, как не ошибаться, и она очень сильно влияет на нашу жизнь, несмотря на то что мы этого не осознаем. Вооружившись силой математического мышления, можно понять истинное значение информации, считавшейся верной по умолчанию, чтобы критически осмысливать все происходящее.

Книга будет полезна не только тем, кто увлечен математикой, но и тем, кто ошибочно считает, что им эта наука в жизни не пригодится.

На русском языке публикуется впервые.

---

Так вот, на самом деле все обстоит иначе. Компания Savant Capital в 2006 году провела исследование{9}, результаты которого не только проливают свет на эти данные, но и действуют несколько отрезвляюще. Предлагаю подумать, как формируются рейтинги Morningstar. Например, в 2004 году агентство проанализировало темпы роста всех фондов категории Large Blend за прошедшие десять лет.

Но здесь кое-чего не хватает, а именно: фондов, не вошедших в эту категорию. Взаимные фонды не живут вечно. Некоторые из них процветают, тогда как другие прекращают свое существование. К последним, как правило, относятся фонды, не получающие прибыль. Следовательно, оценивать рост стоимости активов взаимных фондов за десятилетний период по данным о фондах, еще существовавших к концу этого периода, – все равно что оценивать эффективность маневров во время воздушного боя, пользуясь методом подсчета количества пробоин в вернувшихся самолетах. Но вдруг мы не обнаружим ни одного самолета, у которого было бы больше одной пробоины? О чем это говорило бы? Конечно, не об умении пилотов мастерски уклоняться от вражеского огня. Скорее всего, это означало бы, что самолеты, получившие два прямых попадания, охваченные огнем, упали на землю.

Результаты исследования компании Savant показывают: если наряду с выжившими фондами включить в расчеты эффективность фондов, прекративших свое существование, рентабельность инвестиций упала бы до 134,5 %, то есть до 8,9 % в год. Показатель гораздо более скромный, не правда ли? Этот вывод подтвердили результаты одного из последних исследований. Журнал Review of Finance провел в 2011 году комплексное исследование, охватившее около пяти тысяч фондов{10}. По его результатам было установлено, что избыточная доходность выживших фондов (всего 2641 фонд) оказалась на 20 % выше того же показателя, рассчитанного с учетом данных о фондах, потерпевших неудачу. Возможно, эффект систематической ошибки выжившего удивил инвесторов, но для Абрахама Вальда он, по всей вероятности, не стал бы неожиданностью.

Математика есть продолжение здравого смысла иными средствами

В этот момент мой юный собеседник прервет мой рассказ вполне обоснованным вопросом: ну и где здесь математика? Да, Вальд был математиком, и вне всяких сомнений, его решение проблемы надежности авиационной брони гениально. Но при чем здесь математика? Ни тригонометрических тождеств, ни интегралов, ни неравенств, ни формул.

Прежде всего следует отметить, что математические формулы все-таки были. Я опустил их, рассказывая историю Вальда, поскольку это только пролог. Во введении к книге о размножении человека, рассчитанной на десятилетних ребят, вряд ли стоит во всех подробностях рассказывать, как детки попадают в мамин живот. Нет, мы напишем что-нибудь в таком роде: «В природе все меняется. Зимой деревья сбрасывают листья, весной снова цветут; обычная гусеница прячется в свой кокон и выходит из него, превратившись в прекрасную бабочку. Ты тоже часть природы, поэтому…»

Мы с вами сейчас находимся именно в такой части книги.

Но мы взрослые люди, поэтому давайте на секунду уйдем от расплывчатых формулировок и посмотрим, как выглядит типичная страница реального отчета Вальда{11}.

…можно вычислить нижний предел Qi. Мы предполагаем, что разность между значениями qi и qi+1 находится в определенных пределах. Следовательно, можно вычислить верхний и нижний пределы Qi.

Предположим:

где λ1 < λ2 < 1, таковы, что выполнено:

Точное решение слишком громоздко, но можно рассчитать приближенные значения верхнего и нижнего пределов Qi для i < n посредством следующей процедуры. В расчетах используется такой набор гипотетических данных:

Условие А удовлетворено, поскольку подстановка дает нам значение

что меньше, чем

НИЖНИЙ ПРЕДЕЛ QI

На первом этапе необходимо решить уравнение 66. Это подразумевает решение следующих четырех уравнений с положительными корнями q0, q1, q2, q3.

Надеюсь, приведенная мною страничка не стала для вас слишком большим испытанием.

Тем не менее, чтобы понять саму идею, лежавшую в основе озарения Вальда, нам не нужны никакие формальные выкладки. Выше я уже все объяснил, причем не прибегая к каким бы то ни было математическим обозначениям. Поэтому вопрос моего студента остается открытым. Где здесь математика? Разве мы не имеем дело просто со здравым смыслом?

Да, именно так. Математика – это и есть здравый смысл. Ведь на базовом уровне все вполне очевидно.

Как можно объяснить кому-то, что прибавление семи вещей к пяти вещам дает такой же результат, что и прибавление пяти вещей к семи вещам? Никак. Этот факт запечатлен в наших представлениях о сведении нескольких объектов в единое целое. Математики любят обозначать специальными терминами те явления, которые описывает наш здравый смысл. Вместо фразы: «Прибавление этого объекта к тому объекту – это то же самое, что прибавление того объекта к этому» – мы говорим: «Сложение коммутативно». А поскольку мы любим использовать символы, то записываем сказанное в таком виде:

при любых значениях a и b

a + b = b + a.

Несмотря на официальный вид этой формулы, мы говорим здесь о факте, который инстинктивно понимает каждый ребенок.

Немного другой случай – умножение. Формула выглядит почти так же:

при любых значениях a и b

a × b = b × a.

Мозг, анализирующий данное утверждение, соглашается с ним не так быстро, как в случае сложения. Разве отвечает здравому смыслу тот факт, что два набора из шести объектов дают в результате то же, что и шесть наборов из двух объектов?

Возможно, это утверждение и не отвечает здравому смыслу, но оно может стать очевидным. Вот одно из моих первых математических воспоминаний. Я лежу на полу в доме своих родителей, щекой на жестком коврике, и смотрю на стереосистему. Скорее всего, я слушаю вторую сторону «Синего альбома» Beatles. Мне, наверное, лет шесть. Это происходит в семидесятых, значит, стереосистема установлена в корпусе из ДСП с прямоугольными отверстиями на боковой панели. Восемь отверстий по горизонтали, шесть отверстий по вертикали. Я лежу и рассматриваю эти отверстия. Шесть рядов отверстий. Восемь столбцов отверстий. Фокусируя свой взгляд то на одном, то на другом, я переключаю свой мозг с рядов на столбцы и наоборот. Шесть рядов с восемью отверстиями в каждом. Восемь столбцов с шестью отверстиями в каждом.

А затем я понял: восемь групп по шесть отверстий – это то же самое, что шесть групп по восемь отверстий. И не потому, что когда-то мне объяснили правило, а потому, что иначе быть не может. Как ни подсчитывай, но количество отверстий в панели останется одним и тем же.

Как правило, мы преподаем математику в виде длинного перечня правил. Вы изучаете эти правила, чтобы подчиняться им, потому что в противном случае вы получите тройку с минусом. Но не это математика. Мы называем математикой изучение вещей, которые происходят определенным образом по той простой причине, что другого способа не существует.

Посмотрим правде в глаза: не все в математике можно сделать настолько доступным для нашей интуиции, как сложение и умножение. Дифференциальное и интегральное исчисление невозможно понять, руководствуясь только здравым смыслом. И все-таки исчисление проистекает из здравого смысла: Ньютон взял наши фактические знания о движении объектов по прямой линии, составил формальное описание этого движения, а затем на основе формальной схемы построил универсальное математическое описание движения. Имея в своем распоряжении теорию Ньютона, вы можете применить ее к решению задач, от которых у вас голова пойдет кругом, если вы не призовете на помощь формулы. Точно так же в нас заложены ментальные системы оценки вероятности неопределенных событий. Однако эти системы довольно слабы и ненадежны, особенно когда речь идет о крайне редких событиях. Именно в этом случае мы подкрепляем свою интуицию фундаментальными теоремами и методами, построив на этой основе математическую теорию вероятностей.

Специальный язык, на котором математики общаются друг с другом, – это замечательный инструмент для точного и лаконичного описания сложных идей. Но из-за непонятности этого языка у людей непосвященных может возникнуть ощущение, что данная область мысли недоступна пониманию обычного человека. Но все не так.