Жан-Филипп Лауэр - Загадки египетских пирамид

• Название: Загадки египетских пирамид
• Автор: Жан-Филипп Лауэр
• Издательство: «Наука»
• Жанр: История
• Год: 1966

Для тех, кто хочет узнать о пирамидах больше, чем о них сказано в учебниках или путеводителях.

О пирамидах Древнего Египта написано множество книг, но лишь немногие отличаются строгой научностью, сохраняя при этом доступную и ясную форму. К числу последних относится предлагаемая книга «Загадки египетских пирамид» (1948), давно и прочно завоевашая почётное место среди самых авторитетных исследований по рассматриваемой теме. Её автор — французский учёный Жан-Филипп Лауэр, бывший архитектор Службы древностей Египта, отдавший многие годы изучению этих памятников. В книги предпринята попытка коротко, объективно, основываясь на строго проверенных фактах, синтезировать все, что известно науке о пирамидах. В ней рассказывается об истории их изучения, рассматриваются вопросы, насающиеся возникновения и эволюции этого типа гробниц и примыкающих к ним культовых сооружений, анализируются связанные с ними библейские, теософские, астрономические и математические теории. Лауэр рассказывает о научных познаниях строителей пирамид и пытается объяснить методы сооружения колоссальных сооружений.

Замечательная книга французского египтолога была выпущена по-русски всего один раз более сорока лет назад и уже давно стала библиографической редкостью.

---

Это свойство может быть выражено так: «В прямоугольном треугольнике, который образован половиной среднего вертикального сечения пирамиды и гипотенуза которого служит одной из апофем, а одна из сторон, прилежащих к прямому углу, является высотой пирамиды, гипотенуза так относится к большему катету, как последний относится к меньшему катету»; т. е. х/h = h/b, откуда h2 = bx (равенство Геродота).

Отношение золотого сечения между плоскостями пирамиды, установленное Клеппишем и приведенное выше, является также непосредственным следствием равенства Геродота. Согласно Клеппишу, площадь основания пирамиды S так относится к сумме площадей ее боковых граней S1, как эта сумма относится к полной поверхности пирамиды St, т. е.

S/Sl = Sl/St

Так как квадрат основания и все треугольники имеют общее основание 2b, то достаточно написать пропорцию между половинами высот, т. е.

b/x = x/(b + x)

откуда b2 + bx — x2 = 0.

Следовательно, исходя из равенства Геродота h2 = bх и теоремы Пифагора, дающей для треугольника SHA h2 = x2 — b2 находим то же самое уравнение b2 + bx — x2 = 0, откуда получаем x/b = (1 + √5)/2 = 1,618 = Φ, т. е. отношение золотого сечения, численное значение которого выражается константой Φ = 1,618, известной под названием «золотого числа».

Таким образам мы устанавливаем, что «золотое число» представлено в пирамиде отношением между апофемой и половиной стороны ее основания, что отметил еще Г. Ребер в 1855 г., т. е. выражением намного более простым, чем то, которое указывал Клеппиш. Свойства золотого сечения встречаются в любой пирамиде, имеющей соотношения, приведенные Геродотом. Нам остается лишь доказать, что эти соотношения свойственны Великой пирамиде.

Основные размеры, принятые для Великой пирамиды и исчисленные в египетских царских локтях по 0,524 м каждый (с избытком), составляют 440 локтей для стороны основания и 280 локтей для высоты пирамиды. Это дает в половине ее сечения по апофеме (т. е. в треугольнике SHA) простое отношение h/b=280/220=14/11, которое египтяне, следуя своему методу, выражали через b = 22 пальцам или, вернее, b = 5 пальмам + 2 пальца. Принимая за единицу измерения длины 1/11b, мы получаем b = 11, а из формулы h = b√((1+√5)/2), выведенной согласно теореме Пифагора и равенству Геродота, h = 13,992, т. е. 14 с точностью до нескольких тысячных.

С другой стороны, это отношение (14/11) дает сторонам пирамиды угол наклона в 51°50′35″, а отношение, о котором пишет Геродот, — 51°49′42″ с отклонением примерно в 1′. Совершенно очевидно, что поверхность облицовки пирамиды в действительности не была совершенно гладкой. Будучи слегка волнистой, она давала местами значительно большее отклонение, чем указанное минимальное. Следовательно, мы вправе задать себе вопрос: можно ли было с простейшими инструментами египтян достигнуть в подобном случае точности, превышающей четверть или треть нашего градуса, т. е. 15 или 20′? Таким образом, точность значения отношения Геродота, из которого вытекают свойства золотого сечения, очень высока.

Что же касается отношения я, то мы приводим два наиболее часто упоминаемых: «Отношение периметра основания Великой пирамиды к ее удвоенной высоте равно π, и отношение площади ее основания к площади среднего сечения равно π».

Поскольку стороны пирамиды являются треугольниками одинаковой высоты, оба отношения приводятся к одному.

Пусть p — периметр основания. Полагая p = 8b, имеем

p/2h = 4b/h.

Если принять для отношения h/b ранее определенное значение 14/11, то получится: p/h = 4×11/14 = 22/7 = 3,1428 — приближенное значение π. Таким образом, b/h = π/4. Кроме того, мы имеем между π и Φ малоизвестное отношение: 0,618 = 1/Φ = (π/4)2 = (3.1416/4)2 = 0,617, т. е. 1/Φ с точностыо до одной тысячной.

С другой стороны,

x/b = Ф, x = Фb и b = x/Ф, h2 = bx = x2/Φ и x = h√Φ,

откуда h/b = √Φ = 4/π.

А так как h/b = 14/11, то √Φ = 14/11, и следовательно, Φ = 1,619.

Отметим еще, что если бы мы захотели получить точное значение π = 3,1416, то для этого необходимо было бы увеличить угол наклона пирамиды на 40″, т. е. получить 51°51′14″. Угол этот Петри назвал «углом π»276. Здесь также достигнуто совершенно поразительное приближение.

В итоге это можно свести к следующему.

Угол наклона 51°49′42″ соответствует равенству Геродота и отношению золотого сечения.

Угол наклона, равный 51°50′35″, соответствует величине отношения апофемы к половине стороны основания, равной 14/11, и дает π = 3,1416.

Угол наклона, равный 51°50′39″, соответствует величине отношения ребра пирамиды к половине диагонали основания, равной 9/10.

Угол наклона 51°51′14″ дает π = 3,1416.

Мы не будем принимать во внимание последний угол наклона, поскольку значение 3,1416 для π было в ту эпоху неизвестно277. Максимальное расхождение между тремя первыми значениями π составляет около 1′, что значительно меньше средней погрешности, допускаемой при производстве строительных работ. Эти три угла наклона могут, следовательно, рассматриваться как практически совпадающие, а пропорции и отношения, им соответствующие, как равновеликие.

В то же время очевидно, что при сооружении пирамиды для зодчего наиболее существенным представлялся выбор такого угла наклона сторон, который облегчил бы ее постройку и который легко было бы контролировать. Отношение h/b, т. е. отношение высоты к половине основания, определяющее форму пирамиды, должно было быть простым. Именно таким и являлось отношение 14/11, принятое для пирамиды Хеопса. Что касается геометрических свойств, присущих всякой пирамиде, имеющей наклон 14/11, то нам представляется крайне сомнительным, что они могли быть установлены зодчими Хеопса. Во всяком случае о «золотом числе» и отношении π в то время, по всей вероятности, не имелось никаких представлений. С большими оговорками можно еще допустить, что в эпоху Хеопса было известно отношение, упоминаемое Геродотом.

Борхардт полагал, что на выбор зодчего повлияло только удобство отношения 14/11. Нам представляется, однако, что не такое уж оно простое, чтобы его следовало принять безоговорочно. По нашему мнению, необходимо добавить, что оно соответствует, кроме того, с точностью до 4″ более простому наклону в 9/10, принятому для ребра пирамиды по отношению к диагонали основания. Одной из сложных проблем для строителей было определение угла наклона ребра, так как именно от него зависели очертания угловых камней, установка которых предшествует кладке облицовки и направляет ее. Этот наклон несомненно легко мог быть определен по углу наклона апофемы, но возможно, что тем не менее представлялось целесообразным определять и контролировать его непосредственно. Поскольку зодчие отдельных пирамид должны были отдать предпочтение углу наклона апофемы или углу наклона ребра, мы увидим, что они колебались в выборе и их усилия были явно направлены на определение угла наклона, дающего для проектирования — одновременно как по апофеме, так и по ребру — по возможности простые отношения.

В первоначальной мастабе Джосера, перекрытой впоследствии ступенчатой пирамидой, наружная облицовка имеет явно выраженный наклон в 4/1, т. е. наиболее распространенный во многих мастабах, как это отмечает Петри. Что же касается самой ступенчатой пирамиды, то угол наклона ее сторон равен приблизительно 74° или h/b = 7/2. Египтяне, следуя своим правилам, выразили это отношение просто как b = 2 пальмам. Тот же угол наклона встречается затем в ступенчатой пирамиде в Завиет-эль-Ариане и на первых двух стадиях строительства пирамиды в Медуме. В третьей стадии эта пирамида, по всей вероятности являющаяся первой настоящей пирамидой, имеет уже угол наклона сторон 51°50′, который позднее будет использован и в пирамиде Хеопса.

После этой пирамиды были построены две большие пирамиды в Дашуре, возведенные, по-видимому, Снофру — отцом Хеопса. Первой была сооружена пирамида, находящаяся южнее, которую назвали «ромбовидной» из-за ее оригинальной формы, обусловленной изменением в процессе сооружения первоначального угла наклона ее сторон.

До высоты около 45 м этот угол, определенный более века назад Перрингом, равнялся 54°14′46″, соответствуя отношению h/b = 7/(5+1/25). У второй пирамиды в Дашуре, расположенной севернее, угол наклона апофемы (также по данным Перринга) составляет 43°36′, но, поскольку облицовка не сохранилась, приведенная цифра, возможно, приблизительна и, быть может, указывает на то, что принятый угол наклона мог как раз соответствовать углу наклона 2/3 для ребра пирамиды. Было бы очень интересно проверить, не избрал ли Снофру еще раньше этот угол наклона и для верхней части своей первой пирамиды.