Даглас Хофштадтер - ГЕДЕЛЬ, ЭШЕР, БАХ: эта бесконечная гирлянда

• Название: ГЕДЕЛЬ, ЭШЕР, БАХ: эта бесконечная гирлянда
• Автор: Даглас Хофштадтер
• Издательство: Издательский Дом «Бахрах-М», 2001.
• Жанр: Математика
• Год: 2001
• ISBN: ISBN 5-94648-001-4

Не часто приходится держать в руках книгу, которая открывает новые миры, в которой сочетаются глубина мысли и блестящая языковая игра; книгу, которой удалось совместить ничем на первый взгляд не связанные сложные области знания.

Выдающийся американский ученый изобретает остроумные диалоги, обращается к знаменитым парадоксам пространства и времени, находит параллели между картинами Эшера, музыкой Баха и такими разными дисциплинами, как физика, математика, логика, биология, нейрофизиология, психология и дзен-буддизм.

Автор размышляет над одной из величайших тайн современной науки: каким образом человеческое мышление пытается постичь самое себя. Хофштадтер приглашает в мир человеческого духа и «думающих» машин. Это путешествие тесно связано с классическими парадоксами, с революционными открытиями математика Курта Геделя, а также с возможностями языка, математических систем, компьютерных программ и предметного мира говорить о самих себе с помощью бесконечных отражений.

Начав читать эту книгу,вы попадете в волшебные миры, отправитесь в путешествие, изобилующее увлекательными приключениями, путешествие, после которого вы по-иному взглянете на мир и на самого себя.

Переведенная на 17 языков, книга потрясла мировое интеллектуальное сообщество и сразу стала бестселлером. Теперь и русский читатель получил доступ к одной из культовых книг XX века.

---

Ахилл: Вы меня совсем раздавили своей тяжеловесной похвалой — подавили, я имею в виду. Но я удивлен повторяющимся характером ваших вопросов — по-моему, вы и сами могли ответить «да» на каждый из них.

Черепаха: Разумеется, могла бы, Ахилл. Но это было бы Тыканием Пальцем В Небо — а Черепахи этого терпеть не могут. Черепахи допускают только Разумные Догадки. О, мощь Разумных Догадок! Вы не представляете себе, сколько людей забывает учитывать все Важные Факторы, когда они строят свои предположения.

Ахилл: Мне кажется, что во всей этой белиберде был только один Важный Фактор — мое первое утверждение.

Черепаха: Точнее, это по меньшей мере ОДИН из факторов, который мне необходимо учесть — но неужели вы хотите, чтобы я упускала из вида Логику, эту славную науку древних? Логика всегда являлась Важным Фактором при построении Разумных Догадок, и, поскольку я имею счастье находиться в компании известного эксперта по Логике, думаю, что будет только логично этим воспользоваться и подтвердить мою интуицию, прямо спросив у него, права ли я. Так что позвольте мне, наконец, обратиться к вам с прямым вопросом «Позволяют ли предыдущие суждения заключить, что сегодня ваш день рождения?»

Ахилл: И еще раз, ДА! Но честно говоря, у меня складывается впечатление, что вы сами могли ответить на этот вопрос, как и на все предыдущие.

Черепаха: О, что за удивительные слова! Желала бы я быть такой мудрой, как вы предполагаете. Но будучи только простой смертной Черепахой, глубоко невежественной и желающей принять во внимание все Важные Факторы, я нуждалась в ваших ответах на все эти вопросы.

Ахилл: В таком случае, позвольте мне прояснить ситуацию раз и навсегда ответом на этот и на все последующие подобные вопросы является ДА.

Черепаха: Великолепно! Одним ударом, со свойственным вам блеском, вам удалось разобраться во всей этой путанице. Надеюсь вы не возражаете, если я назову этот изобретательный трюк СХЕМОЙ ОТВЕТОВ. Она превращает положительные ответы на первый, второй, третий и так далее вопросы в один единственный положительный ответ. На самом деле, поскольку эта схема является завершающим аккордом наших рассуждений, она заслуживает называться Схемой Ответов Омега, поскольку «ω» — последняя буква греческого алфавита (Бог мой, кому я это объясняю!)

Ахилл: Мне не важно как вы это назовете, но какое облегчение, что вы наконец согласились с тем, что сегодня мой день рождения, и мы можем поговорить о чем-нибудь другом — например, о том что вы мне подарите.

Черепаха: Погодите — не так быстро! Я СОГЛАШУСЬ, что сегодня ваш день рождения — при одном условии.

Ахилл: Каком? Не просить подарка?

Черепаха: Вовсе нет. Наоборот, я собиралась пригласить вас на шикарный праздничный ужин, после того, как я буду убеждена, что одновременное знание всех этих положительных ответов (утверждаемое схемой ω) позволит мне прямо и без дальнейших экивоков заключить, что сегодня ваш день рождения. Так оно и есть, не правда ли?

Ахилл: Разумеется.

Черепаха: Хорошо. Предположим, что я получила ответ ω + 1. Вооруженная им, я могу приступить к принятию гипотезы, что сегодня ваш день рождения, если только это позволено сделать. Что вы мне посоветуете, Ахилл?

Ахилл: Что такое? Я-то думал, что мне удалось вырваться из ваших бесконечных сетей. Почему же вас не удовлетворяет ответ ω + 1? Ну, хорошо: я дам вам не только положительный ответ ω + 2, но и ω + 3, ω + 4, и так далее.

Черепаха: Как это щедро с вашей стороны, Ахилл. А ведь сегодня как раз ваш день рождения, когда это Я должна преподносить ВАМ подарки, а не наоборот. Скорее, я ПОДОЗРЕВАЮ, что сегодня ваш день рождения. Наверное, теперь, когда я вооружена новой Схемой Ответов, которую я назову «Схемой Ответов 2ω», я могу заключить, что сегодня ваш день рождения. Но скажите мне, пожалуйста, Ахилл: действительно ли Схема Ответов 2ω позволяет мне совершить этот огромный скачок, или же я что-то пропускаю?

Ахилл: Больше вы меня не проведете, г-жа Черепаха. Как я погляжу, этой глупой игре конца нет! Я решил покончить с этим раз и навсегда и дать вам такую Схему Ответов, которая одним ударом расправится со всеми предыдущими Схемами. Я дам вам одновременно Схему Ответов ω, 2ω, Зω, 5ω и т. д. С этой Мета-Схемой-Ответов мне уж наверняка удастся ВЫСКОЧИТЬ из системы, перехитрить эту глупую игру, в сети которой вы думали меня уловить — теперь-то вам ПРИДЕТСЯ в этом признаться!

Черепаха: О, Боже мой! Какая честь для меня — оказаться обладательницей такой мощной Схемы Ответов! Мне кажется, что человеческая мысль редко изобретала что-либо подобное. Я восхищена ее гигантской мощью! Вы не возражаете, если я дам имя вашему подарку?

Ахилл: Конечно, нет.

Черепаха: Тогда я назову его «Схемой Ответов ω2.» И мы сможем перейти к другим темам — как только вы скажете мне, что обладание Схемой Ответов ω2 позволит мне заключить, что сегодня ваш день рождения.

Ахилл: Увы мне, увы!.. Кончатся ли когда-нибудь эти мученья? Что еще меня ожидает?

Черепаха: С удовольствием скажу вам. Дело в том, что после вашей Схемы Ответов ω2 идет ответ ω2 + 1, затем ω2 + 2… Разумеется, вы можете собрать их в кучу под названием Схема Ответов ω2 + ω, после чего могут последовать несколько других «куч», как, например, ω2 + 2ω, ω2 + Зω и так далее. Рано или поздно вы придете к Схеме Ответов 2ω2, затем Зω2, 4ω2 и так далее. Существуют также дальнейшие Схемы Ответов, такие, как ω3, ω4, ω5 Так может продолжаться довольно долго.

Ахилл: Могу себе представить. Наверное, через некоторое время так можно дойти до Схемы Ответов ωω.

Черепаха: Разумеется.

Ахилл: А затем ωωω и так далее?

Черепаха: Вы довольно быстро ухватили мою идею. Если не возражаете, хочу вам кое-что предложить. Почему бы вам не соединить их все в одну-единственную Схему Ответов?

Ахилл: Хорошо, хотя я начинаю сомневаться, есть ли от этого какая-нибудь польза.

Черепаха: Мне кажется, что нам будет трудненько найти имя для этой Схемы. Может быть, нам придется просто назвать ее Схема Ответов ε0.

Ахилл: Черт побери! Каждый раз, когда вы даете очередной Схеме Ответов, имя это разбивает мои надежды на то, что мой ответ вас, наконец, удовлетворит. Почему бы нам просто не оставить Схему безымянной?

Черепаха: Никак невозможно, Ахилл. Как же мы будем говорить об этой схеме, если у нее не будет имени? Кроме того, именно в этой Схеме есть что-то особенно завершенное и прекрасное. Было бы некрасиво оставить ее безымянной! А вы не хотели бы совершать некрасивых поступков, особенно в день вашего рождения не правда ли? Неужели сегодня ваш день рождения? Кстати о днях рождения, сегодня мой день рождения!

Ахилл: Неужели?

Черепаха: Да. Вообще-то, на самом деле, сегодня день рождения моего дяди, но это почти одно и то же. Как насчет того, чтобы пригласить меня на шикарный праздничный ужин?

Ахилл: Подождите минутку г-жа Ч! Сегодня МОЙ день рождения, и это Вы должны меня приглашать!

Черепаха: Но вам так и не удалось убедить меня в том, что вы говорите правду! Вы развели страшную путаницу, выдумали какие-то Схемы Ответов… Я всего-навсего хотела узнать, не день рождения ли у вас сегодня, но вам удалось меня совершенно сбить с толку. Как вам только не стыдно? Так или иначе я была бы счастлива, если бы вы пригласили меня на ужин сегодня вечером.

Ахилл: Ну что ж. Я знаю одно местечко. Там готовят самые экзотические супы, и я точно знаю какого супчика мне бы сейчас хотелось!

ГЛАВА XV: Прыжок из системы

Более мощная формальная система

РАЗМЫШЛЯЯ над доказательством Гёделя, вдумчивый критик мог бы задаться вопросом, насколько оно обще. Он мог бы подумать, что Гёделю удалось найти недостаток лишь в одной формальной системе — в ТТЧ. Если бы это было так, то, возможно, удалось бы найти какую-нибудь лучшую систему, в которой Гёделев трюк был бы невозможен — и, таким образом, Теорема Гёделя потеряла бы значительную часть своей мощи. В этой главе мы подробно рассмотрим те характеристики ТТЧ, которые сделали ее уязвимой для аргументов, изложенных ранее.

Естественно подумать, что если проблема в том, что в ТТЧ есть «дырка» — иными словами, неразрешимое суждение G — то почему бы нам не заткнуть эту дырку? Почему бы не добавить G к ТТЧ в качестве шестой аксиомы? Конечно, по сравнению с остальными аксиомами, G — неуклюжий великан, и получившаяся система ТТЧ + G выглядела бы довольно комично из-за диспропорции ее аксиом. Тем не менее, это предложение имеет смысл. Представим себе, что перед нами ТТЧ + G — высшая формальная система. Мы надеемся, что она не только свободна от супернатуральных чисел, но и полна. Безусловно то, что ТТЧ + G лучше ТТЧ по крайней мере в одном, строчка G больше не является в ней неразрешимой, поскольку теперь она превратилась в теорему.