Фридрих Гегель - Наука логики

• Название: Наука логики
• Автор: Фридрих Гегель
• Жанр: Философия

---

Выше же было сказано, что определение математического бесконечного и притом так, как им пользуются в высшем анализе, соответствует понятию истинного бесконечного; теперь следует сопоставить эти два определения в более развернутом виде. - Что касается прежде всего истинно бесконечного определенного количества, то оно определилось как в самом себе бесконечное;

оно таково, поскольку, как мы выяснили, и конечное определенное количество или определенное количество вообще, и его потустороннее - дурное бесконечное - одинаково сняты. Снятое определенное количество возвратилось тем самым к простоте и к соотношению с самим собой, но не только так, как экстенсивное определенное количество, переходившее в интенсивное определенное количество, которое имеет свою определенность в каком-то внешнем многообразии лишь в себе, однако, как полагают, безразлично к этому многообразию и отлично от него. Бесконечное определенное количество скорее содержит, во-первых, внешность и, во-вторых, ее отрицание в самом себе. В этом случае оно уже не конечное определенное количество, не определенность величины, которая имела бы наличное бытие как определенное количество, оно нечто простое и потому дано лишь как момент; оно определенность величины в качественной форме; его бесконечность состоит в том, что оно дано как некоторая качественная определенность. - Таким образом, как момент оно находится в сущностном единстве со своим иным, дано лишь как определенное этим своим иным, т. е. оно имеет значение лишь в связи с чем-то находящимся с ним в отношении. Вне этого отношения оно нуль, между тем именно определенное количество, как таковое, безразлично, как полагают, к отношению, хотя оно и есть в нем непосредственное неподвижное определение. В отношении оно только как момент не есть нечто само по себе безразличное; в бесконечности как для-себя-бытии оно, будучи в то же время некоторой количественной определенностью, дано лишь как некоторое "для-одного".

Понятие бесконечного, как оно здесь изложено абстрактно, окажется лежащим в основе математического бесконечного, и оно само станет более ясным, когда рассмотрим различные ступени выражения определенного количества как момента отношения, начиная с низшей ступени, на которой оно еще есть также определенное количество, как таковое, и кончая высшей, где оно приобретает значение и выражение бесконечной величины в собственном смысле.

Итак, возьмем сначала определенное количество в том отношении, в котором оно дробное число. Такая дробь, например, 2/7 не есть такое определенное количество, как 1, 2, 3 и т. д.;

она, правда, обычное конечное число, однако не непосредственное, как целые числа, а как дробь опосредствованно определенное двумя другими числами, которые суть в отношении друг друга численность и единица, причем и единица есть некоторая численность. Но взятые абстрагирование от этого их более точного определения относительно друг друга и рассматриваемые лишь в соответствии с тем, что в качественном соотношении, в котором они здесь находятся, происходит с ними как с определенными количествами, 2 и 7 помимо этого соотношения суть безразличные определенные количества; но выступая здесь как моменты, друг друга и тем самым некоторого третьего (того определенного количества, которое называется показателем), они имеют значение не как 2 и 7, а лишь со стороны их определенности относительно друг друга. Поэтому можно вместо них с таким же успехом поставить также 4 и 14 или 6 и 21 и т. д. до бесконечности. Тем самым они, следовательно, начинают приобретать качественный характер. Если бы 2 и 7 имели значение только как определенные количества, то одно было бы просто 2, а другое 7; 4, 14, б, 21 и т. д. - нечто совершенно иное, чем эти числа, и, поскольку они лишь непосредственные определенные количества, одни из них не могут быть подставлены вместо других. Но поскольку 2 и 7 имеют значение не со стороны той определенности, что они такие определенные количества, их безразличная граница снята; они, стало быть, с этой стороны заключают в себе момент бесконечности, ибо они не только уже не то, что они суть, но сохраняется их количественная определенность, однако как в себе сущая качественная определенность, а именно согласно тому, что они значат в отношении. Они могут быть заменены бесконечным множеством других чисел, так что определенность отношения не изменяет величину дроби.

Но изображение бесконечности в числовой дроби несовершенно еще и потому, что оба члена дроби, 2 и 7, могут быть изъяты из отношения, и тогда они обыкновенные безразличные определенные количества; их соотношение - то, что они суть члены отношения и моменты, - есть для них нечто внешнее и безразличное. И точно так же само их соотношение есть обычное определенное количество, показатель отношения.

Буквы, которыми оперируют в общей арифметике, т. е. ближайшая всеобщность, в которую возводятся числа, не обладают свойством иметь определенную числовую величину; они лишь всеобщие знаки и неопределенные возможности любой определенной величины. Дробь представляется поэтому более подходящим выражением бесконечного, так как а и Ь, изъятые из их соотношения, остаются неопределенными и не имеют особой им принадлежащей величины, даже будучи отделены друг от друга. - Однако, хотя эти буквы положены как неопределенные величины, их смысл все же состоит в том, что они какое-то конечное определенное количество. Так как они хотя и всеобщее представление, но лишь об определенном числе, то для них одинаково безразлично то, что они находятся в отношении, и вне этого отношения они сохраняют то же самое значение.

Если присмотримся еще пристальнее к тому, что имеется в отношении, то увидим, что ему присущи оба определения: оно, во-первых, определенное количество, но последнее есть, во-вторых, не непосредственное определенное количество, а такое, которое содержит качественную противоположность; в то же время оно остается в отношении тем определенным, безразличным квантом благодаря тому, что оно возвращается в себя из "своего инобытия, из противоположности и, следовательно, есть также нечто бесконечное. Эти два определения, развитые в их отличии друг от друга, представляются в следующей общеизвестной форме.

2 1 Дробь - может быть выражена как 0,285714...., как

1 + а + а2 + а3 и т. д. Таким образом, она дана как бесконечный ряд; сама дробь называется суммой или конечным выражением этого ряда. Если сравним между собой эти два выражения, то окажется, что одно, бесконечный ряд, представляет ее уже не как отношение, а с той стороны, что она определенное количество как множество таких количеств, которые присоединяются одно к другому, - как некоторая численность. - Что величины, которые должны составить дробь как некую численность, сами в свою очередь состоят из десятичных дробей, стало быть, сами состоят из отношений, - это не имеет здесь значения; ибо это обстоятельство касается особого рода единицы, этих величин, а не их, поскольку они конституируют численность; ведь и состоящее из нескольких цифр целое число десятеричной системы также считается по своей сути численностью, и не обращается внимания на то, что она состоит из произведений некоторых чисел на число десять и его степени. Не важно здесь и то, что имеются другие 2 дроби, нежели взятая в качестве примера дробь , которые, будучи обращены в десятичные дроби, не дают бесконечного ряда; однако каждая из них может быть изображена как такой ряд в числовой системе другой единицы.

Так как в бесконечном ряде, который должен представлять дробь как численность, исчезает та ее сторона, что она отношение, то исчезает и та сторона, что она, как показано выше, в самой себе имеет бесконечность. Но эта бесконечность вошла другим способом, а именно сам ряд бесконечен.

Какова эта бесконечность ряда - это явствует само собой; она дурная бесконечность прогресса. Ряд содержит и представляет следующее противоречие: нечто, будучи отношением и имея внутри себя качественную природу, изображается как лишенное отношений, просто как определенное количество, как численность. Следствием этого [противоречия] оказывается то, что в численности, выражаемой в ряде, всегда чего-то недостает, так что для того, чтобы достигнуть требуемой определенности, всегда нужно выходить за пределы того, что положено. Закон этого продвижения известен; он заключается в определении определенного количества, содержащемся в дроби, и в природе формы, в которой это определение должно быть выражено. Можно, правда, продолжая ряд, сделать численность столь точной, сколь это нужно. Однако изображение [численности ] посредством ряда всегда остается лишь долженствованием; оно обременено неким потусторонним, которое не может быть снято, так как попытка выразить в виде численности то, что основано на качественной определенности, есть постоянное противоречие.