Дионис Бюргер - Сферландия

• Название: Сферландия
• Автор: Дионис Бюргер
• Издательство: Мир
• Жанр: Математика
• Год: 1976

Произведения Э. Эбботта и Д. Бюргера едины по своей тематике. Авторы в увлекательной форме с неизменным юмором вводят читателя в русло важных геометрических идей, таких, как размерность, связность, кривизна, демонстрируя абстрактные объекты в различных «житейских» ситуациях.

---

Мы с сыном еще долго сидели, обсуждая события новогодней ночи.

— И все-таки нельзя не восхищаться тем, что мы в своем двумерном мире придерживаемся более передовых представлений о пространстве, чем обитатели Трехмерия. Мой прадед Квадрат пришел ко вполне правильному выводу о существовании третьего измерения в ту пору, когда сама Сфера еще не верила в существование четвертого измерения. Ныне существование трехмерного мира ни у кого из нас не вызывает сомнений, в то время как в самом трехмерном мире широкая публика все еще сомневается в существовании четвертого измерения.

— Все это так, — не мог не признать я, — по не следует забывать, что нам помог случай. Моего деда и твоего прадеда Сфера посетила давным-давно, в то время как визит Гиперсферы к Сфере состоялся недавно.

Моему сыну не оставалось ничего другого, как согласиться. По-видимому, его мысли потекли в другом направлении, ибо немного погодя он сказал:

— Существует ли пятое измерение? Не может ли в гости к четырехмерной Гиперсфере наведаться существо еще более высокого порядка из мира пяти измерений?

— Такое событие отнюдь не исключено, — заметил я без всякого энтузиазма. — Но почему ты думаешь, что математический процесс, каковым, несомненно, является восхождение от пространств одной размерности к пространствам другой, более высокой, размерности нигде не обрывается? Ведь это означало бы, что существует бесконечно много измерений!

— Но от того, что кто-то придумал многомерные пространства, они вовсе не обязаны существовать в действительности, — возразил мои сын.

— Это вполне справедливо, — согласился я, — ибо заключение о том, что некий мир реально существует, мы вправе вывести не раньше, чем за картиной этого мира обнаружим сам мир. До того любые предположения о неизвестном мире — не более чем фантазия.

— Да, по прекрасная фантазия, — не удержался от признания мой сын, — Может быть, нам еще предстоит удовольствие познакомиться с существами, обитающими в многомерных мирах. Они же сочтут, что мы совсем примитивные организмы, и будут смотреть на нас сверху вниз.

Так мы беседовали в ту ночь допоздна. И хотя то, о чем мы говорили, было чистейшей фантазией и не могло дать ничего нового, мне было приятно найти в своем сыне собеседника, с которым я мог столь свободно обсуждать интересовавшие меня проблемы.

ЧАСТЬ II КОНГРУЭНТНОСТЬ И СИММЕТРИЯ

9. ПОРОДИСТЫЕ СОБАКИ И ДВОРНЯГИ

Весь следующий год мысли мои то и дело обращались к предстоящей встрече со Сферой. Как она произойдет? Расскажет ли Сфера в своем мире о втором визите во Флатландию? Продолжает ли она совершенствовать познания своих соседей по Трехмерию в геометрии? Удалось ли Сфере найти себе слушателей или за смелые идеи, в корне меняющие привычные представления о пространстве, ее бросили в тюрьму? Если так, то Сфера не сможет прибыть к нам в назначенное время.

Однажды вечером, когда все уже спали, мы со старшим сыном беседовали о всякой всячине. Вскоре наш разговор коснулся заветной темы.

— Не думаю, чтобы Сфера томилась в темнице, — заявил мой сын. — Разве сами обитатели Трехмерия не предпринимали на протяжении многих веков попыток убедить нас, флатландцев, в существовании большего числа измерений.

— Ты прав лишь отчасти, — возразил я. — Обитатели Трехмерия охотно пытаются убедить нас в существовании третьего, но отнюдь не четвертого измерения, ибо в существовании последнего они сами не уверены. Если наш друг, Сфера, была столь неосторожной, что позволила себе заговорить с обитателями Трехмерия о существовании четырехмерного мира, то она вполне могла оказаться за решеткой и мы при всем желании не в силах освободить ее из темницы.

— Как ни печально, но это так, — согласился мой сын. — Лишь Гиперсфера в состоянии освободить Сферу из заточения, причем обитатели Трехмерия бессильны помешать этому, ибо доступ в трехмерную тюрьму в четвертом направлении открыт.

— Будем надеяться, что ничего серьезного не случилось и что Сфера навестит нас в назначенный час. Даже если Сфера не сообщит нам ничего нового, мы освежим свои познания и приятно проведем время за беседой о геометрии многих измерений.

— Только вот никаких особо интересных событий, которые могли бы заинтересовать Сферу, у нас не происходило, — задумчиво произнес мой сын. — Не думаю, чтобы для нее представляла интерес история об Агате и ее собаках.

Чтобы вы поняли, о чем идет речь, я должен пояснить, кто такие «собаки», поскольку до сих пор вам никогда не приходилось слышать о существовании таких зверей.

Во времена, когда жил мой дед, звери во Флатландии практически не водились, по крайней мере домашних животных не было. Я уже рассказал о том, как в эпоху великих путешествий на юге Флатландии были открыты непроходимые девственные леса и расположенное за лесами море. В тропических лесах обитают диковинные существа, известные под собирательным названием «ящеры» (биологи различают среди ящеров множество различнейших типов, классов, отрядов и видов, причем каждая разновидность животных имеет особое значение). Еще более странные существа, которые вплоть до настоящего времени до конца не изучены, населяют море.

Собственно говоря, утверждение о том, что до великих путешествий флатландцы не были знакомы с животными, не вполне справедливо. В старинных легендах, преданиях и сказках встречаются упоминания об опасных зверях, называемых то ящерами, то волками. Известно, что в древности эти звери жили не только в южных районах, по и в более умеренном климате. Они обитали в лесах и зарослях, и пройти по лесу в те времена можно было лишь с риском для жизни.

Обычная разновидность волка представляет собой животное с одной пастью и двумя отростками, называемыми конечностями. Для чего служат эти конечности, неизвестно, во всяком случае не для передвижения. На теле волка различают два выступа. Один из выступов, расположенный ближе к пасти, служит глазом, другой— ухом. Волк — опасный зверь. Он может проглотить любого из нас целиком.

Волк.

Предприимчивые флатландцы издавна пытались ловить волчат и выставляли их для всеобщего обозрения на ярмарках. Однако, подрастая, волки становились опасными. Тогда их сажали в прочные клетки, чтобы публика могла смотреть на хищных зверей, не подвергая себя опасности.

Отбирая среди волчат наиболее смирные экземпляры, флатландцы постепенно вывели породу животных, которые стали настолько ручными, что их можно было использовать в качестве домашних животных. Их-то и стали называть «собаками».

Собаки оказались очень послушными и преданными животными. Их спокойно можно держать в обычной жилой комнате. Спят собаки либо в углу гостиной, либо даже в спальне. Они неотлучно следуют за своим «хозяином» или «хозяйкой» повсюду: на улице, в магазине или во время прогулки.

Но вернемся к Агате, моей единственной дочери, красивой девушке, стройной, как геометрическая прямая. У Агаты была собака, которая очень любила свою хозяйку. Нельзя сказать, что собственность Агаты представляла особую ценность, поскольку это была не породистая собака, а обыкновенная дворняга. Различие между ними заключалось не в форме (и породистая, и дворняга могут быть одинаково безобразны и одинаково изящны), а в «ориентации».

Дворняга (Д) и породистая собака (ПС).

Сейчас я объясню вам, что это такое. Если я вздумаю обойти в положительном направлении любую дворнягу, то есть сначала пойду на север, затем поверну на восток, потом на юг и наконец на запад, то мне придется пройти мимо ее уха, глаза, пасти, конечностей, причем именно в той последовательности, которую я назвал. Если же я вздумаю обойти в положительном направлении породистую собаку, то последовательность будет иной: ухо, конечности, пасть, глаз и снова ухо. Породистая собака и дворняга переходят друг в друга при отражении в зеркале. Как говорят ученые, они симметричны, но не конгруэнтны.

Как ни крути и ни верти дворнягу, вам никогда не удастся получить из нее породистую собаку. Дворняга всегда остается дворнягой. Каждая собака рождается либо породистой, либо дворнягой и остается таковой на всю жизнь.

Как ни верти, как ни крути, из дворняги никогда не удастся сделать породистую собаку.

По случайной игре природы число породистых собак в мире крайне невелико. На каждую тысячу дворняг приходится самое большее одна породистая собака. Поэтому породистых собак принято считать более «красивыми», благородными. Порой за породистых собак предлагают совершенно немыслимые суммы. Можно было бы сказать, что это противоречит здравому смыслу, по мода никогда не внимала голосу рассудка. Породистая собака редка и, следовательно, дорога. Дама, прогуливающаяся с породистой собакой, — шикарная дама. На нее обратит внимание каждый.