В Степин - Новая философская энциклопедия. Том третий Н—С

• Название: Новая философская энциклопедия. Том третий Н—С
• Автор: В Степин
• Издательство: МЫСЛЬ
• Жанр: Философия
• Год: 2010
• ISBN: 978-2-244-01115-9

Новая философская энциклопедия дает обзор мировой философии во всем богатстве ее основных понятий, произведений, исторических традиций, школ, имен, обобщает достижения российских и зарубежных философских исследований за последние десятилетия, является самым полным в отечественной литературе сводом философских знаний на рубеже тысячелетий. Энциклопедия содержит около пяти тысяч статей, авторами которых являются более четырехсот известных ученых - специалистов в различных областях философии.

При подготовке данного издания внесены некоторые уточнения и дополнения. В частности, в первом томе помещена статья, посвященная 80-летию Института философии РАН в четвертом - именной указатель по всем томам.

---

154

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Неявные определения — это определения, задаваемые лингвистической конструкцией вида: А есть то, что удовлетворяет условиям: В,, В2,..., Вп. Для всех неявных определений имеют место следующие особенности: 1) условия Вр В2,..., Вп представляют собой предложения, 2) определяемый термин — это то минимальное выражение, которое входит в каждое определяющее условие В,, В2,..., Вп, что не влечет тем не менее тавтологичное™ дефиниции, т. к. в дефинициях этого сорта определяющая часть (условия В,, В2,..., Вп) не приравнивается выражению А; 3) в силу сказанного для неявных определений не действует правило замены по дефиниции. Неявные определения делятся на индуктивные, рекурсивные и аксиоматические. Примером индуктивного определения является определение натурального числа: 1) 0 есть натуральное число. 2) Если п — натуральное число, то пу — натуральное число. 3) Ничто иное не есть натуральное число. Суть таких определений состоит в следующем. Если нам требуется задать класс предметов, подпадающих под некоторый термин, то мы прямо объявляем некоторые предметы элементами этого класса. Данный пункт определения называется базисом индукции. После этого все остальные предметы, входящие в класс, порождаются с помощью некоторых процедур. Такой пункт определения называется индуктивным шагом. 3-й пункт определения ограничивает класс натуральных чисел только теми объектами, которые задаются первыми двумя пунктами. В общем случае в пункте, задающем базис индукции, может указываться не один предмет, а много предметов, и даже бесконечное их число. С другой стороны, в пунктах, задающих индуктивные шага, может использоваться не одна порождающая операция, как это имеет место в приведенном примере, а несколько операций. Именно с такой ситуацией мы сталкиваемся в индуктивном определении формул логики высказываний. Здесь в базисе индукции любая пропозициональная переменная, а их число бесконечно, объявляется формулой. Порождающими же процедурами в этом случае являются процедуры применения логических констант -i, &, v,..., э к ранее построенным формулам. Рекурсивные определения похожи на индуктивные, но применяются для задания не классов предметоэ, а некоторых функций. Примером рекурсивного определения является следующее определите сложения: 1)х + 0 = х. 2)х + у/ = (х + у)'. Суть этого определения такова. Понимание некоторой функции состоит в знании ее значений для определенных значений аргументов. Именно это и позволяет установить рекурсивное определение сложения. Действительно, 1-й пункт, который называется базисом рекурсии, говорит, что значение функции х + у равно х, если у = 0. 2-й пункт, который называется рекурсией, говорит, что если мы хотим вычислить значение х + /, где у7 — число, следующее за у, то надо вычислить для этого у, чему равно х + у, и взять число, следующее за х + у. Еще одна разновидность неявных определений — аксиоматические, посредством которых некоторый термин определяется путем указания той совокупности аксиом, в которой он содержится. С этой точки зрения аксиомы любой системы являются синтетическими определениями тех терминов, которые в них входят. Часто говорят о некоторой контекстной зависимости определяемого термина. При этом сам термин «контекстная зависимость» понимается в двух различных смыслах. С одной стороны, речь идет о получении некоторого неявного знания об интересующем нас термине из рассмотрения некоторого конкретного контекста, в состав которого он входит. В этом случае, понимание смысла контекста позволяет предположить и возможное значение соответствующего термина. С другой стороны, речь идет об определении термина посредством определения всех контекстов, в состав которых он входит. Чтобы задать эти контексты, используют соответствующий метаязык. В первом случае говорят об определении через контекст. Во втором — о контекстуальном определении. Все определения делятся также на реальные и номинальные. При этом определение считается реальным, если значением определяемого термина являются реально (материально) существующие предметы или их характеристики (свойства и отношения). Определение считается номинальным (от лат. nomen — название, имя), если значением определяемого термина являются предметы реально (материально) несуществующие, а также их характеристики. Почти все определения относятся к числу родо-видовых, т. е. к определениям через указание на род и видовое отличие, т. к. при формальной записи определений почти любая дефиниция содержит некоторые переменные, пробегающие по какому-то универсуму. Последний как раз и является тем родом, внутри которого с помощью видового отличия выделяются определяемые объекты. Однако среди определений имеются и такие, которые нельзя отнести к родо-видовым. Это так называемые фундаментальные индуктивные определения. Дело заключается в том, что характеристика некоторого определения как родо-видового предполагает, что род уже имеется и потому остается только с помощью видового отличия в этом роде выделить класс определяемых предметов. Однако фундаментальные индуктивные определения не предполагают никакого заранее данного универсума, напротив, они сами строят универсум рассуждения. Примером фундаментального определения является выше рассмотренное определение натурального числа. К определениям предъявляют различного рода требования, соблюдение которых гарантирует корректность этой логической операции. Они распадаются на требования общего характера, которые применяются ко всем определениям, и требования, которые должны выполняться для отдельных их видов. Всякое определение должно быть ясным и четким. Это оз- начает,во-первых,чтотермины,посредствомкоторыхразъяс- няется смысл определяемого термина, сами должны быть осмысленными выражениями. Если смыслы этих терминов не ясны, не понятны, то определение не достигает основной своей познавательной цели. Во-вторых, это означает, что в определении надо указывать лишь то, что необходимо и достаточно для задания смысла термина, т. е. в определении не должно быть ничего лишнего. Требование ясности и четкости определений заставляет нас одни термины определять посредством других, а эти последние в свою очередь определять через некоторые иные термины. В науке это приводит к построению системы взаимосвязанных определений. К этим совокупностям определений предъявляется требование — они не должны содержать порочного круга, т. е. не должно возникать ситуаций, когда термин В, посредством которого определяется термин А, в конечном итоге сам определяется через термин А. К явным определениям предъявляется требование, состоящее в том, что определяемый термин из определяемой части А не должен встречаться в определяющей части В. Если явное определение таким свойством не обладает, то оно счита-

155

ОПРЕДЕЛИМОСТЬ ется ошибочным. Про такое определение говорят, что оно является тавтологичным, т. е. определяет то же через то же, а тем самым не несет никакой новой информации об употреблении терминов. Является тавтологичным, напр., явное определение множества как совокупности любых предметов, т. к. определяемый термин «множество» входит в определяющую часть, где слово «совокупность» есть просто его синоним. Еще одним требованием является требование соразмерности, т. е. класс предметов, который традиционно считается подпадающим под определяемый термин, должен совпасть с тем классом, который задается определяющей частью. Для всех явных определений при их формальной записи на языке, скажем, исчисления предикатов должны выполняться также следующие требования согласованности: 1) свободные переменные, входящие в А и В, должны быть одинаковыми, 2) должны совпадать типы этих переменных (напр., одинаковые предикатные переменные должны быть и одинаковой местности), 3) тип выражения А должен совпадать с типом выражения В, т. е. если А — имя, то и В должно быть именем, если А — высказывательная форма, то и В должно быть высказывательной формой и т. д. Лит.: Горский Д. П. Определение. М., 1974; Попа К. Теория определения. М., 1976; Бочаров В. А., Маркин В. И. Основы логики. М., 1994. В. А. Бочаров

ОПРЕДЕЛИМОСТЬ — понятие методологии дедуктивных наук, связанное с выразимостью в рамках некоторой формальной системы одних понятий через другие. Говоря об определимости, имеют в виду те условия, при которых можно считать, что значение того или иного термина полностью или частично определено некоторой совокупностью предложений. Т. к. имена и предметные функторы выразимы посредством соответствующих предикатов, то вопрос об определимости дескриптивных терминов может быть сведен к вопросу об определимости предикатов. Впервые вопрос об определимости был поднят в связи с рассмотрением отношения между Евклидовой и неевклидовыми геометриями в работах А. Падоа. В дальнейшем в четкой форме понятие определимости было введено А. Тарским. Большое значение для теории определимости сыграли интерполяционная теорема Крейга и теорема Э. Бета. В этих работах была показана тесная связь понятия определимости с понятием выводимости. В результате ряд важных проблем, относящихся к определимости, удалось свести к хорошо разработанным проблемам логического вывода. Различают синтаксическое и семантическое понятия явной и неявной определимости. Говорят, что в теории Т предикат Р(х, ..., хп) явно синтаксически определим, если в языке, на котором сформулирована теория Т, найдется такая формула А(х,,..., хп), содержащая в точности переменные х,..., хп и не содержащая предиката Р, что оказывается доказуемо следующее угверждение:Тг-Ухг..\/хп(Р(х1, ..., хп)^А(х1, ...,хп)). При тех же условиях говорят, что предикат Р(х,,..., хп) явно семантически определим в теории Т, если семантически можно обосновать утверждение: VM (М |= Т => M |= Vx,... Vxn(P(x,,..., xn,) = А(х,,..., хп)), т. е. каждая возможная реализация теории Т, являющаяся ее моделью, является моделью и для формулы Vx,,... Vxn(P(x,,..., xn) = А(х,,..., xn)). Для пер- вопорядковой логики, в силу адекватности ее семантики и синтаксиса, эти два понятия оказываются эквивалентными. Понятие неявной синтаксической определимости задается следующим условием. Пусть Р'(х,, ..., хп,) — п-местный предикат, не содержащийся в теории Т. Пусть далее Т будет теорией, образованной из теории Т, заменой в каждом предложении всех вхождений предиката Р(х,,..., хп) на предикат Р'(х1, ...,хп). Тогда: предикат Р(х, ..., хп) неявно синтаксически определим в теории Т, если ТиГ|- Vx,... Vxn (P(x, ..., хп) = F(x, ..., хп)), т. е. в теории, которая является объединением двух теорий Т и Т, доказуемо утверждение об эквивалентности двух указанных предикатов. Наконец, предикат Р(х,,..., хп) неявно семантически определим в теории Т, если любые две возможные реализации, которые приписывают одно и то же значение всем предикатам, отличным от предиката Р(х,,..., хп), припишут одинаковые значения и самому предикату Р(х,,..., хп). А Падоа доказал метатеорему, согласно которой если предикат Р(х,,..., хп) явно семантически определим в теории, то он и неявно семантически определим в ней. Э. Бет доказал обратную теорему. Вообще, для первопорядковой логики показана эквивалентность всех указанных понятий определимости. В логической литературе кроме указанных рассматриваются и др. виды определимости. Их введение обусловлено типом определений, посредством которых в состав теории вводятся те или иные термины. К ним относятся явные и неявные условные определимости, а также более их общий случай — определимости по случаям. Последний вид определимости играет большую роль при определении операциональных (дис- позиционных) терминов. Рассматриваются также различные виды неполной (частичной) определимости, играющие значительную роль при рассмотрении отношений между теоретическими терминами и терминами наблюдения всоставе прикладных теорий — дизъюнктивная, условно-параметрическая и параметрическая определимость. Для всех них доказан аналог теоремы Э. Бета. Для случая контекстуального определения терминов рассматривается особый вид контекстуальной определимости. Часто в логике термин «определимость» употребляется еще в одном смысле, а именно — в смысле выразимости внелинг- вистических объектов (отношений, свойств, функций) средствами некоторого языка. Понятие определимости в этом смысле было введено А. Тарским и обобщено А. Мостовским. Именно с этим кругом понятий существенно связаны мета- теоремы об ограниченности формализмов. Пусть К — непротиворечивый и замкнутый относительно выводимости класс формул языка L. Тогда л-местное отношение R(x, Xj,..., хп) считается синтаксически К-определимым (выразимым) в языке L, если и только если в этом языке существует формула А, содержащая в точности п попарно различных переменных х,, х^..., хп, удовлетворяющая условию: для любой я-ки объектов к,, Ц,..., кп имеет место: 1. (К(Ц, Ц, ..„к^Афк,^,"..., Dkn)e К), 2. bR(k,, Ц,..., kn) ^-A(Dk,, Dk,,..., Dkn)e К), где Dk — терм, обозначающий объект Ц. Формула А в этом случае называется К-определяющей л-местное отношение Щх,^,...^). Если в некоторой теории класс общезначимых формул (истинных предложений) Тг непротиворечив и замкнут, то в качестве класса К может выступить класс Тг и мы получаем понятие семантической определимости (выразимости) л-мест- ного отношения R(x,, x^..., хп). Пусть в некоторой теории класс теорем Т непротиворечив и замкнут. Тогда в случае К=Т мы получаем понятие рекурсив-