Мартин Гарднер - Есть идея!

• Название: Есть идея!
• Автор: Мартин Гарднер
• Издательство: Мир
• Жанр: Прочая научная литература
• Год: 1982

Книга известного американского популяризатора науки Mapтина Гарднера, посвященная поиску удачных идей для решений задач из области комбинаторики, геометрии, логики, теории чисел и игр со словами.

Рассчитана на самый широкий круг читателей.

---

Какая мысль пришла Бобу в голову?

Половинки целого

Неужели вы попались в ловушку и не подумали, что половина чего-то и ½ могут оказаться целым числом? Если да, то, должно быть, попытались решить задачу, ведя счет на половинки грампластинок, и, запутавшись вскоре в вычислениях, оставили затею как безнадежную. Неожиданно простым решение получается, если догадаться, что половина от нечетного числа и еще половина равны целому числу.

По словам Элен, у нее после того, как она преподнесла свой второй подарок, осталась 1 пластинка. Значит, до того, как она подарила часть своих пластинок Джо, у нее должны были остаться 3 пластинки. Половина от 3 составляет 3/2, а 3/2 + 1/2 = 2, поэтому Элен подарила Джо 2 пластинки, после чего у нее осталась 1 пластинка. Продолжая решать задачи «задним ходом», нетрудно установить, что сначала у Элен было 7 пластинок и что 4 пластинки она подарила Сьюзи.

Разумеется, задачу можно было бы решать и алгебраически. Составление и решение соответствующего уравнения — превосходное упражнение по элементарной алгебре. Удивительно, что такая простая задача приводит к такому сложному уравнению:

Новые головоломки того же типа мы получим, варьируя параметры задачи. Предположим, например, что Элен каждый раз дарит кому-нибудь половину своих пластинок и еще полпластинки, проделывает это не дважды, а трижды и остается не с одной пластинкой, а без единой пластинки. Сколько пластинок было у нее сначала? Возможно, вам покажется странным, что ответ остается прежним — 7 пластинок, но удивительного здесь ничего нет: в третий раз Элен дарит последнюю оставшуюся у нее пластинку. А сколько пластинок было у нее сначала, если она дарит каждый раз половину своих пластинок и еще полпластинки и проделывает эту процедуру 4 раза, после чего у нее остается 1 пластинка? А если Элен дарит пластинки 5 раз? Какого рода последовательность порождают возникающие в этой серии задач числа?

Долю, которую составляют отобранные для очередного подарка пластинки, также можно изменять. Предположим, что Элен отдает каждый раз треть своих пластинок и еще треть пластинки и после того, как она преподносит 2 подарка, у нее остается 3 пластинки. Сколько пластинок было у Элен сначала? Существует ли решение задали в том случае, если процедуру усечения коллекции на одну треть и еще треть пластинки Элен повторяет трижды, после чего у нее остаются 3 пластинки? Варьируя параметры задачи (число подарков, долю, которую составляют отобранные для очередного подарка пластинки, и число оставшихся у Элен пластинок), вы обнаружите, что решение существует не всегда, то есть не всегда возникает необходимость дарить часть пластинки. При каких ограничениях в задачах этого типа необходимость дарить пластинки «частями» вообще отпадает?

Доля, которую осколки «разбитой» пластинки составляют от целого, может варьироваться от подарка к подарку. Вот, например, задача, в которой эта доля не остается постоянной.

Один мальчик с увлечением занимался разведением золотых рыбок, потом это занятие ему надоело и он решил продать всех своих рыбок. Свое решение он осуществил в 5 этапов:

1. Продал половину всех своих рыбок и еще полрыбки.

2. Продал треть оставшихся рыбок и еще треть рыбки.

3. Продал четверть оставшихся рыбок и еще четверть рыбки.

4. Продал пятую часть оставшихся рыбок и еще одну пятую рыбки.

После этого у него осталось 19 рыбок. Разумеется, с золотыми рыбками он обращался бережно и ему и в голову не приходило делить рыбку на части. Сколько рыбок было у мальчика сначала? Ответ: 101 рыбка, но решить эту задачу не так просто, как предыдущие. Попробуйте и вы убедитесь в этом сами.

А вот еще одна разновидность задач того же типа.

У одной дамы было в сумочке несколько купюр достоинством в 1 доллар каждая. Других денег у нее с собой не было.

1. Половину денег дама израсходовала на покупку новой шляпки, а 1 доллар заплатила за освежающий напиток.

2. Зайдя в кафе позавтракать, дама израсходовала половину оставшихся у нее денег и еще 2 доллара заплатила за сигареты.

3. На половину оставшихся у нее денег она купила книгу и по дороге домой зашла в бар и заказала коктейль за 3 доллара, после чего у нее остался 1 доллар. Сколько долларов было у нее первоначально, если предположить, что ей ни разу не пришлось разменивать долларовые купюры?

Ответ приведен в конце книги.

Заметим, что во всех вариантах в условиях задачи непременно говорится, сколько грампластинок, золотых рыбок или купюр остается у действующего лица по окончании всех перипетий. Во многих случаях ответ задачи можно получить и без такой информации, но для этого пришлось бы решать в целых числах некоторые неопределенные уравнения. Наиболее известная задача такого рода легла в основу рассказа американского писателя Бена Эймса Уильямса «Кокосовые орехи».

Действие рассказа происходит на острове, на который после кораблекрушения попадают 5 человек и 1 обезьяна. Первый день они собирают кокосовые орехи. Ночью один из людей просыпается и решает забрать причитающуюся ему долю орехов. Он раскладывает орехи на 5 одинаковых кучек, отдает лишний орех обезьяне и, спрятав свою долю, укладывается снова спать.

Вскоре просыпается другой товарищ по несчастью и проделывает то же самое: раскладывает орехи на 5 одинаковых кучек, отдает оставшийся орех обезьяне и, спрятав свою долю, укладывается снова спать. Затем по очереди просыпается третий, четвертый и пятый невольный обитатель острова, и каждый делает то же, что и первые два. Утром вся пятерка делит оставшиеся орехи на 5 равных частей. На этот раз ни одного лишнего ореха не остается.

Сколько кокосовых орехов было собрано первоначально?

Задача допускает бесконечно много решений. Наименьшее из них — 3121 орех. Решить задачу не очень просто.

Коль скоро мы заговорили о кокосовых орехах, я хочу предложить вам одну задачу, которую можно решить сразу. При расчистке джунглей было собрано 25 кокосовых орехов, обезьяна стащила все орехи, кроме 7, Сколько орехов осталось? Ответ: не 18.

Лохнесское чудовище

Боб. Лохнесское чудовище имеет в длину 20 м и еще половину своей длины. Чему равна его длина?

Элен. Дай подумать. Двадцать и половина от двадцати — итого тридцать. Значит, лохнесское чудовище имеет в длину 30 м.

Боб. Не узнаю тебя, Элен! Твой ответ противоречит условию задачи, а ты этого не замечаешь. Как может лохнесское чудовище иметь в длину и 20 м и 30 м одновременно?

Элен. Ты прав, я ошиблась. Условие задачи означает, что длина лохнесского чудовища равна сумме 20 м и половины его длины. Теперь мне все стало ясно.

Чему, по-вашему, равна длина лохнесского чудовища?

Половина длины?

По словам Боба, лохнесское чудовище имеет в длину 20 м и еще половину своей длины, то есть длина чудовища равна сумме 2 слагаемых: 20 м и половины длины чудовища. Разделите мысленно длину чудовища пополам. Если вся длина равна сумме 2 слагаемых, из которых одно равно половине длины, а другое 20 м, то на 20 м приходится другая половина длины. Следовательно, полная длина составляет 40 м.

Задача Боба допускает простое алгебраическое решение: если x — полная длина лохнесского чудовища, то

x = 20 + x/2.

Теперь вы убедились, что задача, предложенная Бобом, до смешного проста. Интересно, как быстро вам удастся справиться со следующим ее вариантом. Кирпич на одной чаше весов уравновешен на другой чаше ¾ кирпича и гирей в ¾ кг. Чему равна масса кирпича?

Задача о лохнесском чудовище показывает, как важно точно понять, что именно спрашивается, прежде чем пытаться ответить на вопрос. Если первая интерпретация задачи приводит к противоречию, то либо на вопрос невозможно ответить, либо вы неправильно поняли постановку задачи.

Один лишний

Однажды, гуляя по парку. Боб и Элен увидели школьный духовой оркестр, готовящийся к параду.

Оркестр был выстроен в колонну по четыре, а один парнишка, несчастный Спиро, замыкал шествие, бредя вне строя. Одинокая фигура, маячившая сзади, по мнению дирижера, портила общее впечатление от оркестра.

Чтобы избавиться от нее, дирижер приказал музыкантам перестроиться в колонну по три, но несчастный Спиро опять остался единственным замыкающим.

Даже когда музыканты разбились на пары, Спиро все равно остался без партнера.

Хотя это было не ее дело, Элен подошла к дирижеру.

Элен. Позвольте мне дать вам один совет?

Дирижер. Мне сейчас не до вас, милая девушка! И без того голова идет кругом.

Элен. Хоть вы и не очень вежливы, я все равно скажу вам, что нужно делать. Перестройте музыкантов в колонну по пять!