Мартин Гарднер - Есть идея!

• Название: Есть идея!
• Автор: Мартин Гарднер
• Издательство: Мир
• Жанр: Прочая научная литература
• Год: 1982

Книга известного американского популяризатора науки Mapтина Гарднера, посвященная поиску удачных идей для решений задач из области комбинаторики, геометрии, логики, теории чисел и игр со словами.

Рассчитана на самый широкий круг читателей.

---

Вот как должен был бы выглядеть этот фокус. В одну руку вы берете стопку карт вверх рубашкой. Отсчитав сверху 1 карту, вы кладете ее на стол и открываете. Перед вами туз пик. Затем вы отсчитываете сверху 2 карты, первую подкладываете снизу под стопку карт, которая у вас в руке, а вторую открываете и кладете на стол: перед вами двойка пик. Затем вы отсчитываете сверху 3 карты, подкладывая первые две в том же порядке, в каком вы их снимаете, под стопку карт снизу, а третью карту открываете и кладете на стол: перед вами тройка пик. Продолжая счет дальше, вы каждый раз перекладываете карты по одной сверху вниз (что эквивалентно счету по кругу в задаче Иосифа Флавия), а последнюю открываете и кладете на стол. В итоге на столе оказываются выложенными по порядку все 13 карт пиковой масти от туза до короля.

Карты в стопке должны лежать в следующем порядке (сверху вниз): туз, восьмерка, двойка, пятерка, десятка, тройка, дама, валет, девятка, четверка, семерка, шестерка, король.

Может быть вам покажется, что выстроить такую последовательность удалось лишь методом проб и ошибок после многих безуспешных попыток. Вы глубоко заблуждаетесь: для получения таких последовательностей существует очень простой алгоритм. Многие фокусники, разрабатывая трюки такого рода, действительно немало времени проводят в раздумьях над тем, как расположить карты, пока внезапная догадка не превратит задачу, над решением которой они безуспешно бились не один день, в тривиальную. Удастся ли вам разгадать, как строится последовательность в задуманном нами фокусе в духе Иосифа Флавия, прежде чем вы заглянете в ответ, помещенный в конце книги.

Глава 4 Логические находки

Неожиданные решения задач, требующих умения мыслить последовательно

В этой главе нас будет интересовать не формальная логика, а задачи, для решения которых не нужны особые познания в математике, но необходимо умение мыслить последовательно. Некоторые из предлагаемых нами задач напоминают загадки в том смысле, что содержат умышленно введенные в их условия утверждения, способные «сбить с толку» не слишком проницательного читателя, или решения, основанные на игре слов, но в большинстве случаев мы предлагаем вам честную игру — задачи, которые имеют решение.

В том, как собранные в этой главе различные логические задачи-головоломки относятся к математике, нетрудно усмотреть некую общую тенденцию. Все математические задачи решаются при помощи рассуждений, проводимых в рамках некоторой дедуктивной системы, включающей в себя наряду с другими правилами основные законы логики. Хотя для решения любой задачи из этой главы не требуется знание формальной логики, тем не менее ведущие к решению неформальные рассуждения по существу имеют много общего с теми, которые проводят математики, физики, химики и биологи, сталкиваясь с какой-нибудь трудной проблемой.

Под «трудной проблемой» мы понимаем здесь задачу, подход к решению которой неизвестен. Разумеется, если алгоритм решения существует, то ни о какой по-настоящему трудной проблеме не может быть и речи: достаточно лишь засыпать зерна исходных данных и привести в действие жернова алгоритма, как мы получим ответ. Например, памятная всем формула корней квадратного уравнения говорит нам о том, какие действия и в какой последовательности необходимо произвести над коэффициентами уравнения, чтобы найти его корни.

И в математике, и в естественных науках интересными задачами, бросающими вызов исследователю, принято считать такие, для решения которых не существует готовых методов. Столкнувшись с такой задачей, исследователь долго, а иногда и мучительно размышляет, перебирая в памяти всю информацию, имеющую хотя бы отдаленное отношение к интересующей его теме, в надежде, что удачная догадка подскажет нужное решение. Именно поэтому решение занимательных логических задач служит великолепной тренировкой к решению важных научных проблем.

Некоторые задачи в этой главе связаны с серьезной математикой еще более тесными узами. Например, задача «В костюмах одного цвета» и следующая за ней задача легко решаются табличным методом, аналогичным широко используемому в формальной логике методу таблиц истинности. В одной из этих задач встречается важное логическое отношение — так называемая «материальная импликация». В исчислении высказываний (одном из разделов математической логики, имеющем первостепенное значение) импликацию принято обозначать знаком ⊃ или →. Отношение A ⊃ B означает, что если A истинно, то B должно быть истинно. Одно из возможных истолкований этого логического отношения (на языке теории множеств) гласит: все элементы множества B содержатся в множестве A.

Слово «индукция» имеет по существу два различных значения. Неполная индукция — это процесс восхождения от частного к общему. Ученый, наблюдающий частные случаи (например, замечающий, что некоторые вороны черные), делает общее заключение (о том, что все вороны черные). Это заключение никогда не носит характер достоверного утверждения: вполне возможно, что на свете существует по крайней мере одна белая ворона, которая еще не попадалась на глаза наблюдателю.

Математическая индукция, с которой вы познакомитесь в комментариях к тестам со шляпами в задаче «Аховы награды», представляет собой совершенно иной процесс, хотя и в математической индукции мы имеем дело с восхождением от частного к общему, охватывающему информацию о бесконечной последовательности частных случаев. Математическая индукция — неоценимое средство исследования почти во всех разделах математики.

Большинство задач, собранных в этой главе, по сложности и серьезности уступает задаче о шляпах. Тем не менее и они позволят вам отточить свое остроумие, научат внимательно следить за всякого рода словесными «ловушками», расставленными в условиях задачи, и в особенности оценить преимущества непредвзятого, широкого поиска возможного подхода к решению задачи. Чем больше подходов вы проанализируете, сколь бы причудливыми и экзотическими они ни были, тем больше шансов у вас на успех. В этом один из секретов всех творчески мыслящих математиков.

Находчивый шофер

Случилось это в Нью-Йорке. Некая дама остановила такси и попросила отвезти ее домой.

По дороге она без умолку болтала и довела шофера до крайнего исступления.

Шофер. Прошу прощения, мадам, но я не слышу ни слова из того, что вы говорите. Я глух, как телеграфный столб, а мой слуховой аппарат, как назло, сегодня целый день не работает.

Услышав это, дама смолкла. Но когда она вышла у подъезда своего дома и машина скрылась за углом, она вдруг сообразила, что шофер вовсе не был глух.

Как дама догадалась, что шофер ей солгал?

Наблюдательная дама

Ситуация, с которой мы сталкиваемся в истории о болтливой даме и шофере такси, типична. Она неоднократно возникает и в повседневной жизни, и в науке: то, что на первый взгляд кажется хаотическим нагромождением фактов или цепочкой логически не связанных поступков, после тщательного анализа может предстать в ином свете и, как по мановению волшебной палочки, вдруг стать ясным и понятным.

Если вы сразу не поняли, как болтливая дама догадалась, что глухота шофера такси была мнимой, поставьте себя на место дамы и мысленно проиграйте всю вереницу событий, разыгравшихся с того момента, как дама остановила такси, до того момента, как шофер высадил ее из машины. Что бы вы сделали прежде всего, сев в такси? Назвали водителю адрес того места, куда вам нужно ехать. Но если водитель глух, то как бы он узнал, куда вас везти? Расплатившись с шофером, дама вдруг поняла, что ее обманули: если бы шофер был глухим, то как бы он услышал, куда ему следует ехать?

В логических задачах-головоломках, основанных на реальных или правдоподобных житейских ситуациях, многое нередко не договорено и молчаливо подразумевается. Не является исключением и эта задача. Например, глухой водитель вполне бы мог «прочитать» адрес по губам пассажира. Такое решение задачи вполне допустимо и свидетельствует о нетривиальности того, кто до него додумается.

В истории науки тщательный и всесторонний анализ определенной последовательности событий или явлений нередко приводил к важным открытиям. Прекрасный тому пример — разгадка языка пчел. Ученых давно интересовало, каким образом рабочая пчела, вернувшись в улей, сообщает другим рабочим пчелам, где можно взять побольше меда. Карл фон Фриш заметил, что пчела-разведчица по возвращении исполняет на летке замысловатый «танец». Не может ли характер танца быть носителем информации о направлении на источник меда и расстоянии от улья до него? Поставив серию изящных экспериментов, Карл фон Фриш доказал, что его догадка верна.