Алекс Беллос - Алекс в стране чисел. Необычайное путешествие в волшебный мир математики

• Название: Алекс в стране чисел. Необычайное путешествие в волшебный мир математики
• Автор: Алекс Беллос
• Издательство: КоЛибри
• Жанр: Научпоп
• Год: 2012
• ISBN: 978-5-389-01770-2

Алекс Беллос, известный журналист, многие годы работавший для «Guardian», написал замечательную книгу о математике. Книга эта для всех — и для тех, кто любит математику, и для тех, кто считает ее невероятно скучной и далекой от жизни. Беллосу удалось создать настоящий интеллектуальный коктейль, где есть и история, и философия, и религия, и конечно же математика — чудесные задачки, которые пока не решишь, не заснешь!

---

Интерес к математическим возможностям тех, у кого нет слов или символов для чисел, традиционно концентрировался вокруг животных. Одним из самых известных объектов исследований была лошадь рысистой породы по кличке Умный Ханс. В начале 1900-х годов в одном берлинском дворике регулярно собирались толпы, чтобы взглянуть, как хозяин Ханса — вышедший на пенсию преподаватель математики Вильгельм фон Остен — задавал лошади простые арифметические примеры. Ханс отвечал, стуча копытом по земле правильное число раз. В его репертуаре были сложение и вычитание, а также дроби, квадратные корни и разложение на множители. Популярность Ханса напополам с подозрением, что демонстрируемые умственные способности лошади являются результатом какого-то фокуса, привели к тому, что в дело вмешалась комиссия из известных ученых. Они пришли к выводу, что — jawohl! — Ханс и вправду выполнял математические действия. Чтобы разоблачить этого лошадиного Эйнштейна, потребовалось вмешательство менее известного, но более скрупулезного психолога Оскара Пфюнгста. Ученый обратил внимание на то, что Ханс воспринимает мимику фон Остена. Ханс начинал стучать по земле копытом и останавливался, только когда замечал, что выражение лица хозяина изменилось, — это означало, что Ханс добрался до ответа. Ханс оказался восприимчив к самым тонким зрительным сигналам, таким как наклон головы, подъем бровей и даже расширение ноздрей. Фон Остен и сам не подозревал, что производит все эти знаки.

Урок, преподнесенный Умным Хансом, состоит в том, что при обучении животных счету следует самым тщательным образом позаботиться о том, чтобы исключить невольные подсказки и побуждения со стороны людей. В том, что касается математического образования Аи — шимпанзе, привезенной в Японию из Западной Африки в конце 1970-х годов, — вероятность подсказок со стороны людей была исключена, потому что обучение проходило с использованием компьютера с сенсорным экраном.

Аи сейчас 31 год, она живет в Институте исследования приматов в Инуяме — туристическом городке в Центральной Японии. У обезьяны высокий лысеющий лоб, на подбородке — седая щетина. Она смотрит глубоким взглядом темных глаз, присущим всем приматам среднего возраста. О ней говорят как об «ученице» и никогда как об «объекте исследования». Каждый день с Аи проводят занятия, во время которых ей дают задания. Аи приходит ровно в 9 утра, проведя ночь с другими шимпанзе в открытом вольере на напоминающей дерево гигантской конструкции из бревен, металлических труб и веревок. В тот день, когда я увидел Аи, она сидела, наклонившись к компьютеру, и тыкала пальцами в последовательности цифр, появлявшихся на экране. Когда она правильно выполнила задание, справа от нее из трубки выпал квадратный кусочек яблока размером около сантиметра. Аи схватила его и немедленно слопала. Отсутствующий взгляд, бестолковое постукивание по мигающему и гудящему компьютеру, рутинное поощрение, которое дозированно ей подбрасывалось, — Аи была похожа на пожилую леди, поглощенную игрой на игровом автомате.

Еще в детстве Аи стала самой великой, во всех смыслах этого слова, человекообразной обезьяной — первым нечеловеком, умеющим считать, используя арабские числительные (то есть символы 1, 2, 3 и так далее, которыми пользуются почти во всех странах, за исключением, как ни парадоксально, части арабского мира.) Чтобы она хорошо с этим справлялась, директору Института исследования приматов Тецуро Мацузаве потребовалось обучить ее двум элементам, которые и составляют человеческое восприятие числа: величине и порядку.

Числа выражают количество, но они же выражают и порядок. Эти две концепции связаны друг с другом, но не тождественны. Например, когда я говорю «пять картофелин», я имею в виду, что число картофелин в данной группе равно пяти. Математики называют этот аспект числа его «кардинальностью». С другой стороны, когда я считаю от 1 до 20, я пользуюсь тем удобным свойством, что числа можно расположить по порядку. Я не говорю о двадцати объектах, а просто озвучиваю последовательность. Математики называют этот аспект числа его «ординальностью». В школе нас учат понятиям кардинального числа и ординального числа вместе, и мы без труда перескакиваем от одного к другому. Для шимпанзе, однако, имеющаяся тут связь вовсе не очевидна.

Мацузава сначала внушил Аи, что один красный карандаш обозначается символом 1, а два красных карандаша — символом 2. Вслед за 1 и 2 Аи выучила число 3 и все остальные цифры до 9. Когда ей показывали, скажем, число 5, она знала, что нужно ткнуть в квадрат с пятью точками, а когда показывали квадрат с пятью точками, она знала, что надо показать на цифру 5. Процесс обучения стимулировался наградами: каждый раз, как она правильно выполняла задание компьютера, установленная рядом система выдавала ей что-нибудь вкусное.

Когда Аи овладела кардинальными числами от 1 до 9, Мацузава перешел к заданиям, которые могли бы внушить ей понимание упорядоченности этих чисел: на экране вспыхивали цифры, а от Аи требовалось тыкать в них в порядке их возрастания. Если на экране появлялись 4 и 2, ей надо было сначала дотронуться до 2, а затем до 4, только тогда ей доставался аккуратный кусочек яблока. Аи довольно быстро сообразила, что к чему. Приобретенные ею познания в области как кардинальных, так и ординальных чисел были таковы, что Мацузава теперь мог, и не без основания, утверждать, что его ученица научилась считать. Потрясающие успехи в математике превратили Аи в национальную героиню Японии и выдающуюся представительницу своего вида.

Далее Мацузава познакомил Аи с концепцией нуля. Кардинальность символа 0 она освоила легко. Всякий раз, когда на экране появлялся пустой квадрат, она тыкала в нужную цифру. Далее Мацузава пожелал узнать, сможет ли она овладеть пониманием ординальности нуля. Ей показывали случайную последовательность экранов с двумя цифрами, в точности так же, как когда она осваивала ординальность чисел от 1 до 9, хотя на этот раз одна из цифр представляла собой 0. Где, по ее мнению, располагался нуль среди числового порядка?

Сначала Аи располагала 0 между 6 и 7. В следующий раз она переместила нуль ниже 6, затем ниже 5, затем ниже 4 и, наконец, через несколько сотен попыток, расположила его около 1. Однако она все время путалась, должен ли 0 быть больше или меньше, чем 1. Хотя Аи уже умела очень хорошо обращаться с числами, ей недоставало глубины человеческого понимания.

Тем не менее она приобрела весьма ценный навык — искусство показывать товар лицом. Сейчас она — настоящий профи, и самые лучшие результаты на своем компьютере демонстрирует в присутствии зрителей, особенно когда на нее нацелены телевизионные камеры.

* * *

Ученые активно занимаются исследованием того, как животные управляются с числами. Эксперименты выявили у столь непохожих между собой созданий, как саламандры, крысы и дельфины, неожиданную способность «различать количества». Пусть даже лошади пока не могут извлекать квадратные корни, однако ученые в настоящий момент полагают, что численные способности животных развиты намного сильнее, чем считалось ранее. Все существа, похоже, рождаются с мозгами, предрасположенными к математике.

Как-никак, умение ориентироваться в числах очень важно для выживания в дикой природе. Шимпанзе с меньшей вероятностью проголодается, если, взглянув на дерево, сумеет оценить, достаточно ли на нем спелых плодов на обед. Кэрин Маккоум из Университета Сассекса наблюдала за прайдом львов в Серенгети. Она хотела показать, что львы пользуются понятием числа, когда решают, нападать ли на других львов. Во время одного из экспериментов одинокая львица в сумерках возвращалась в прайд. Маккоум заранее спрятала в кустах звуковые динамики и в нужный момент включила запись рычания одного животного. Наша львица услышала это рычание, но продолжила свой путь домой. В другой раз в эксперименте участвовали пять львиц, а Маккоум воспроизвела через спрятанные динамики рычание трех львиц. Все пять львиц, услышав это рычание, стали смотреть в направлении источника звука. Одна львица зарычала, и вскоре все пятеро пошли на кусты в наступление.

Таким образом, сделала вывод Маккоум, львицы умеют оценивать и сравнивать число соперниц. В ситуации «одна против одной» нападение сопряжено со слишком большим риском, но при наличии численного перевеса, в случае «пять к трем», можно и атаковать.

Не все исследования взаимоотношений животных с числами столь же эффектны, как эксперименты с львицами Серенгети или со знаменитой шимпанзе. В Университете Ульма в Германии ученые помещали муравьев, обитающих в пустыне Сахара, у одного конца туннеля и отправляли их на поиски пищи. Однако как только муравьи находили еду, у некоторых из них отрывали нижние части ножек, а другим их наращивали, приделывая «ходули» из свиной щетины. (На самом деле это не так уж жестоко, как может показаться, потому что ножки у пустынных муравьев регулярно снашиваются под солнцем Сахары.) Муравьи с укороченными ножками не доходят до дома, тогда как те, у кого их удлинили, проскакивают мимо. Напрашивается вывод: муравьи судят о пройденном расстоянии не визуально, а с помощью встроенного внутреннего «шагомера». Потрясающие способности муравьев к многочасовым прогулкам, после которых они всегда находят обратную дорогу к своему муравейнику, также могут иметь в своей основе сноровку в подсчете шагов.