Стивен Строгац - Удовольствие от Х.Увлекательная экскурсия в мир математики от одного из лучших преподавателей в мир

• Название: Удовольствие от Х.Увлекательная экскурсия в мир математики от одного из лучших преподавателей в мир
• Автор: Стивен Строгац
• Издательство: Манн, Иванов и Фербер
• Жанр: Математика
• Год: 2014
• ISBN: 978-500057-008-1

Удовольствие от Х. Увлекательное путешествие в мир математики от одного из лучших преподавателей в мире / Стивен Строгац; пер. с англ. (Steven Strogatz. The Joy of X. A Guided Tour of Math, from One to Infinity) — М.: Манн, Иванов и Фербер, 2014.

Эта книга способна в корне изменить ваше отношение к математике. Она состоит из коротких глав, в каждой из которых вы откроете для себя что-то новое. Вы узнаете насколько полезны числа для изучения окружающего мира, поймете, в чем прелесть геометрии, познакомитесь с изяществом интегральных исчислений, убедитесь в важности статистики и соприкоснетесь с бесконечностью. Автор объясняет фундаментальные математические идеи просто и элегантно, приводя блистательные примеры, понятные каждому.

---

Прим. ред.: Книга для школьников по решению алгебраических уравнений: Самарова С.С. Решение алгебраических уравнений. М.: Резольвента, 2010.

37

Делос — остров в Эгейском море. Прим. ред.

38

Дополнительные сведения о классической проблеме удвоения куба можно найти по адресу http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/Doubling_the_cube.html.

39

Чтобы больше узнать о мнимых и комплексных числах и их применении, а также об их переменчивой истории см. J. Nahin, An Imaginary Tale (Princeton University Press, 1998) и B. Mazur, Imagining Numbers (Farrar, Straus and Giroux, 2003).

Прим. ред.: Среди обширной литературы по комплексным числам укажем только одну из последних книг: Арнольд В. И. Геометрия комплексных чисел, кватернионов и спинов. М.: МЦНМО, 2002.

40

Прекрасную журналистскую работу о Джоне Хаббарде можно найти в книге J. Gleick, Chaos, р. 217 (Viking, 1987). Собственный взгляд Хаббарда на метод Ньютона отображен в разделе 2.8 книги J. Hubbard and B. B. Hubbard, Vector Calculus, Linear Algebra, and Differential Forms, 4th edition (Matrix Editions, 2009).

Для читателей, которые хотят углубиться в математический аппарат метода Ньютона, более сложное, но все же довольно понятное объяснение дано в книге H.-O. Peitgen and P. H. Richter, The Beauty of Fractals (Springer, 1986), chapter 6; также см. статью Эдриана Двади (сотрудник Хаббарда), озаглавленную Julia sets and the Mandelbrot set, в этой же книге.

41

Хаббард не был первым математиком, поставившим вопрос о применении метода Ньютона, в комплексной плоскости. Артур Кэли, британский математик, задал его еще в 1879 году. Он также рассмотрел квадратичный и кубический полиномы и понял, что первый случай гораздо проще, чем второй. Хотя тогда он еще не мог знать о фракталах, которые были обнаружены век спустя, он прекрасно понимал, что есть риск возникновения определенных проблем, если корней окажется больше двух. В его небольшой (на одну страницу) статье Desiderata and suggestions: No.3—the Newton-Fourier imaginary problem, American Journal of Mathematics, 2(1), March 1879, p. 97, с которой можно ознакомиться на сайте http://www.jstor.org/pss/2369201, заключение звучит как сдержанное предупреждение: «Для квадратного уравнения решение легко и элегантно, но представляется, что решение кубического уравнения окажется значительно сложнее».

42

Снимки, представленные в этой главе, были рассчитаны методом Ньютона, примененного для нахождения корней многочлена z3 — 1. Его корни — три кубических корня из 1. Для этого случая в соответствии с алгоритмом Ньютона на комплексной плоскости выбирается точка z, она и переносит значение корня в новую точку, рассчитанную по формуле

z — (z3 — 1)/(3z2).

Именно это значение и становится следующим значением z. Данный процесс повторяется, пока z не подходит достаточно близко к корню или, что эквивалентно, пока z3 — 1, не подойдет достаточно близко к нулю, где под «достаточно близко» понимается очень маленькое расстояние, выбранное программистом. Затем все исходные точки, которые приводят к определенному корню, окрашиваются в одинаковый цвет. Таким образом, точки красного цвета сходятся к одному корню, точки зеленого — к другому, а синего — к третьему. Снимки окончательного фрактала Ньютона были любезно предоставлены Саймоном Татемом. Дополнительные сведения о его работе вы найдете на странице Fractals derived from Newton-Raphson iteration на сайте: http://www.chiark.greenend.org.uk/~sgtatham/newton/.

Видеоанимация фрактала Ньютона сделана Teamfresh. Потрясающе глубокое масштабирование других фракталов, в том числе знаменитого множества Мандельброта, можно увидеть на сайте Teamfresh по адресу http://www.hd-fractals.com.

43

Для знакомства с древнеиндийскими методами нахождения квадратного корня см. работу D. W. Henderson and D.Taimina, Experiencing Geometry, 3rd edition (Pearson Prentice Hall, 2005).

Прим. ред.: См. также Чистяков В. Д. Материалы по истории математики в Китае и Индии. М.: Учпедгиз, 1960.

44

В названии автор перефразирует известную фразу из Библии, Псалтырь (22:5) «Ты приготовил предо мною трапезу в виду врагов моих; умастил елеем голову мою; чаша моя преисполнена» (англ. My Сup Runneth Over); оригинальное название главы My Tub Runneth Over. Прим. перев.

45

Большое количество классических арифметических задач находятся на http://MathNEXUS.wwu.edu/Archive/oldie/list.asp.

Прим. ред.: В русскоязычном интернете очень много сайтов, которые предлагают арифметические задачи для «решателей» разного возраста — от дошкольников до седых ветеранов. Вот несколько из них: Эрудит. net (http://eruditov.net/publ/math/1); Математические задачи — Логика и рассуждения (http://www.smekalka.pp.ru/math_logic.html); Математические задачи (http://www.prostomac.com/tag/matematicheskie-zadachi/); Математика (http://nazva.net/rubric/11/).

46

Более сложная задача с ванной появилась в драме 1941 года How Green Was My Valley («Как зелена моя долина»). Клип к этому фильму можно найти по адресу http://www.math.harvard.edu/~knill/mathmovies/swf/valley.html. И пока вы еще там, посмотрите ролик из комедии о бейсболе Little Big League («Маленькая большая лига»), который можно найти по адресу http://www.math.harvard.edu/~knill/mathmovies/m4v/league.m4v.

В этом фильме есть задача о покраске домов: «Если я могу покрасить дом за три часа, а ты — за пять, сколько нам потребуется времени на покраску дома, если мы будем работать вместе?».

На экране мы видим, как бейсболисты дают различные глупые ответы. «Все очень просто, пять умножить на три, так что это пятнадцать». «Нет, нет, нет, посмотрите. Это займет восемь часов: пять плюс три, вот и восемь». После еще нескольких промахов один игрок наконец отвечает правильно: 1⅞ часов.

47

Родни Дэнджерфилд (1921–2004) — популярный американский комедийный актер. Сниматься стал поздно. Известен благодаря фильмам «Гольф-клуб» (1980), «Легкие деньги» (1983) и «Снова в школу» (1986). Прим. перев.

48

Книги о великих уравнениях: M. Guillen, Five Equations That Changed the World (Hyperion, 1995); G. Farmelo, It Must Be Beautiful (Granta, 2002) и R. P. Crease, The Great Equations (W.W. Norton and Company, 2009).

49

Множество подобных примеров обсуждается в статье S. Gandz, The algebra of inheritance: A rehabilitation of al-Khuwarizmi, Osiris, Vol. 5 (1938), рр. 319–391.

50

Подход Аль-Хорезми к решению квадратных уравнений описан в книге V. J. Katz, A History of Mathematics, 2nd edition (Addison Wesley Longman, 1998), рр. 244–249.

51

Для простоты выражение x2 я назвал функцией, но было бы точнее говорить об отображении x в x2. Я надеюсь, что это сокращение не запутает читателя, поскольку подобные надписи мы видим на кнопках калькулятора.

52

Рекламный ролик о функциях водяных струй в аэропорту Детройта, созданный WET Design, можно посмотреть на сайте http://www.youtube.com/watch?v=VSUKNxVXE4E.

Уилл Хоффман и Дерек Бойл сняли интригующее видео о параболах и их экспоненциальных кузинах, кривых, называемых цепной линией (линия, форму которой принимает гибкая однородная нерастяжимая тяжелая нить или цепь, — отсюда и название). См. WNYC/NPR Radio Lab presents Parabolas (etc.) на сайте http://www.youtube.com/watch?v=rdSgqHuI-mw.

53

41. Историю о приключениях Бритни Галливан со складыванием бумаги см. в B. allivan, How to fold a paper in half twelve times: An ‘impossible challenge’ solved and explained, Pomona, CA: Historical Society of Pomona Valley, 2002 на сайте http://pomonahistorical.org/12times.htm.

54

Здесь речь идет о том, что если процентная ставка депозита выше ставки по кредиту, то через несколько лет сумма на депозите может погасить сумму кредита. Прим. ред.

55

Как правило логарифм по основанию 10 записывают как lg, но на калькуляторе кнопка «log x» обозначает десятичный логарифм. Прим. ред.

56

42. Для справок и дальнейшего обсуждения нотных гамм и нашего (почти) логарифмического восприятия высоты звука см. J. H. McDermott and A. J. Oxenham, Music perception, pitch, and the auditory system, Current Opinion in Neurobiology, Vol. 18 (2008), pp. 1–12 на http://en.wikipedia.org/wiki/Pitch_(music); http://en.wikipedia.org/wiki/Musical_scale; и http://en.wikipedia.org/wiki/Piano_key_frequencies.

Для подтверждения того, что наше врожденное арифметическое мышление также и логарифмическое см. S. Dehaene, V. Izard, E. Spelke, and P. Pica, Log or linear? Distinct intuitions of the number scale in Western and Amazonian indigene cultures, Science, Vol. 320 (2008), pp. 1217–1220 на сайте http://www.sciencedaily.com/releases/2008/05/080529141344.htm.

Прим. ред.: О связи математики и музыки см. Волошинов А.В. Математика и искусство. М.: Просвещение, 2000. Эта книга не только для тех, кто любит математику или искусство, но и для тех, кто желает задуматься о природе прекрасного и красоте науки. Настоятельно рекомендую эту книгу.

57

Оказывается, древние вавилоняне, индийцы и китайцы уже за несколько веков до Пифагора и греков обладали знаниями, содержащимися в теореме Пифагора. Для получения дополнительных сведений об истории и значении теоремы, а также обзор множества ее изобретательных доказательств см. книгу E. Maor, The Pythagorean Theorem (Princeton University Press, 2007).