Стивен Строгац - Удовольствие от Х.Увлекательная экскурсия в мир математики от одного из лучших преподавателей в мир

• Название: Удовольствие от Х.Увлекательная экскурсия в мир математики от одного из лучших преподавателей в мир
• Автор: Стивен Строгац
• Издательство: Манн, Иванов и Фербер
• Жанр: Математика
• Год: 2014
• ISBN: 978-500057-008-1

Удовольствие от Х. Увлекательное путешествие в мир математики от одного из лучших преподавателей в мире / Стивен Строгац; пер. с англ. (Steven Strogatz. The Joy of X. A Guided Tour of Math, from One to Infinity) — М.: Манн, Иванов и Фербер, 2014.

Эта книга способна в корне изменить ваше отношение к математике. Она состоит из коротких глав, в каждой из которых вы откроете для себя что-то новое. Вы узнаете насколько полезны числа для изучения окружающего мира, поймете, в чем прелесть геометрии, познакомитесь с изяществом интегральных исчислений, убедитесь в важности статистики и соприкоснетесь с бесконечностью. Автор объясняет фундаментальные математические идеи просто и элегантно, приводя блистательные примеры, понятные каждому.

---

177

Феномен Гиббса и его нелегкая история рассматриваются в книге E. Hewitt and R. E. Hewitt, The Gibbs-Wilbraham phenomenon: An episode in Fourier analysis, Archive for the History of Exact Sciences, Vol. 21 (1979), pp. 129–160.

178

Как феномен Гиббса может повлиять на MPEG и JPEG технологии сжатия цифрового видео, см. http://www.doc.ic.ac.uk/~nd/surprise_96/journal/vol4/sab/report.html.

В MРТ-сканировании эффект Гиббса называется усеченным сигналом Гиббса: http://www.mr-tip.com/serv1.php?type=art&sub=Gibbs%20Artifact. Методы для работы с этим артефактом см. T. B. Smith and K. S. Nayak, MRI artifacts and correction strategies, Imaging Medicine, Vol. 2, № 4 (2010), рр. 445–457, доступно на http://mrel.usc.edu/pdf/Smith_IM_2010.pdf.

179

Аналитики XIX века нашли математическое обоснование феномена Гиббса. Для функции (или в настоящее время изображения), отображающей края или другие устранимые точки с простым разрывом, было доказано, что частичные суммы синусоидальных волн сходятся в этих точках к пределу поточечно, но неравномерно. Поточечная сходимость означает, что в любой определенной точке х при добавлении большего числа членов ряда значения частичных сумм приближаются сколь угодно близко к предельному значению. В этом смысле можно надеяться, что ряд действительно сходится. Загвоздка в том, что одни точки гораздо привередливее, чем другие. Эффект Гиббса происходит вблизи худших из этих точек на границах интервалов непрерывности исходной функции. Например, рассмотрим пилообразную волну, о которой говорилось в этой главе. По мере приближения x к краю пилообразной волны для достижения заданного уровня приближения требуется все больше и больше членов ряда Фурье. Это то, что мы имеем в виду, утверждая, что сходимость не является равномерной. Она происходит для разных x с различной скоростью.

В этом случае неравномерная сходимость обусловлена «патологией» знакочередующегося гармонического ряда, чьи члены появляются в виде коэффициентов Фурье для пилообразной волны. Как уже обсуждалось выше, знакочередующиеся гармонические ряды сходятся, но только благодаря грандиозному сокращению членов с противоположными знаками. Если бы ряд состоял исключительно из положительных (абсолютных) значений его членов, то он был бы расходящимся, а сумма стремилась бы к бесконечности. Вот почему говорят, что знакочередующийся гармонический ряд сходится условно, но не абсолютно. Затем такая форма сходимости заражает соответствующий ряд Фурье и приводит к тому, что он сходится неравномерно; тут и возникает феномен Гиббса с его насмешливо поднятыми у края пальцами.

В противоположность этому, когда коэффициенты рядов Фурье абсолютно сходятся, связанные с ними ряды Фурье равномерно сходятся к исходной функции. И феномен Гиббса не возникает. Для получения дополнительной информации см. http://mathworld.wolfram.com/GibbsPhenomenon.html и http://en.wikipedia.org/wiki/Gibbs_phenomenon.

Мораль наших рассуждений такова: нужно быть осторожными с условно сходящимися рядами. У них сходимость все же недостаточно хорошая. Чтобы бесконечный ряд во всех отношениях вел себя как конечная сумма, он должен быть более жестко ограничен, чего не может обеспечить условная сходимость. Требование абсолютной сходимости приводит к тому, что мы интуитивно ожидаем как для исходного ряда, так и для связанного с ним ряда Фурье.

180

Более подробную информацию о Канторе, в том числе о математических, философских и богословских спорах, связанных с его работой, см. J. W. Dauben, Georg Cantor (Princeton University Press, 1990).

Прим. ред.: О Георге Канторе и его научном наследии см. Катасонов В. Н. Боровшийся с бесконечным: философско-религиозные аспекты генезиса теории множеств Г. Кантора. М.: Мартис, 1999; Пуркет В., Ильгаудс Х. И. Георг Кантор / Пер. с нем. Н. М. Флайшера. Харьков: Основа, 1991.

181

Если вы еще не читали, рекомендую прочесть удивительный бестселлер «Логикомикс», потрясающе творческий и «графический» роман о теории множеств, логике, бесконечности, безумии и стремлении к математической истине: A. Doxiadis and С. Н. Papadimitriou, Logicomix (Bloomsbury, 2009). Главный герой — Бертран Рассел, но появление Кантора, Гильберта, Пуанкаре и многих других незабываемо.

182

Классическая биография Давида Гильберта — трогательный и неакадемичный рассказ о его жизни, работе и эпохе, см. C. Reid, Hilbert (Springer, 1996). Вклад Гильберта в математику слишком велик, чтобы перечислять здесь все достижения, но, вероятно, величайшее из них — это коллекция из двадцати трех тогда еще не решенных задач, которые, по мнению ученого, могли бы сформировать ход развития математики в ХХ веке. Продолжение истории о значимости задач, предложенных Гильбертом, и людях, которые решили кое-какие из них, см. B. H. Yandell, The Honors Class (A K Peters, 2002). Некоторые из этих проблем до сих пор остаются неразрешенными.

Прим. ред.: Русский перевод первого издания: Констанс Рид. Гильберт. М.: Наука, 1977.

Прим. ред.: О творчестве Гильберта см.: Вейль Г. Давид Гильберт и его математическое творчество. // Математическое мышление. М.: Наука, 1989. По проблемам Гильберта см.: Проблемы Гильберта. Сборник под ред. П. С. Александрова. М.: Наука, 1969.

183

Притча Гильберта о бесконечном отеле приведена в незабываемом шедевре George Gamow’s One Two Three ... Infinity (Dover, 1988), р. 17. Гамов также хорошо объясняет понятия исчислимых и неисчислимых множеств и связанные с ними идеи о бесконечности.

Авторы математической беллетристики часто раскрывали комедийные и драматические стороны отеля Гильберта. Например, см. S. Lem, The extraordinary hotel or the thousand and first journey of Ion the Quiet, (Wiley, 1999) и I. Stewart, Professor Stewart’s Cabinet of Mathematical Curiosities (Basic Books, 2009). Детская книга на эту же тему: I. Ekeland, The Cat in Numberland (Cricket Books, 2006).

184

При доказательстве неисчислимости вещественных чисел я прибегнул к крошечной хитрости, когда потребовал заменить диагональные цифры на цифры от 1 до 8. В этом не было необходимости. Но я хотел избежать использования цифр от 0 до 9, чтобы обойти некую неопределенность, вызванную тем, что у некоторых действительных чисел есть два десятичных представления. Например, 0,200000… равно 0,199999… Таким образом, если бы мы не исключили использование 0 и 9 при замене цифры, этот придуманный диагональный аргумент мог бы невольно подготовить ряд, который уже есть в списке (и это разрушило бы наше доказательство). Но при выполнении моего запрета на цифры от 0 до 9 такого казуса не произойдет.

185

Чтобы ознакомиться с более строгой математически, но все же довольно понятной дискуссией о бесконечности (и многих других идеях, обсуждаемых в этой книге), см. J. C. Stillwell, Yearning for the Impossible (A K Peters, 2006). Читатели, которые захотят получить более глубокие знания о бесконечности, вероятно, с удовольствием посетят блог Терри Тао о самоопределяющихся объектах, см. http://terrytao.wordpress.com/2009/11/05/the-no-self-defeating-object-argument/.

В очень доступной форме он представляет и освещает массу фундаментальных рассуждений о бесконечности, которые возникают в теории множеств, философии, физике, информатике, теории игр и логике. Для обзора основополагающих вопросов, вызванных этими идеями, см. также J. C. Stillwell, Roads to Infinity (A K Peters, 2010).