Стивен Строгац - Удовольствие от Х.Увлекательная экскурсия в мир математики от одного из лучших преподавателей в мир

• Название: Удовольствие от Х.Увлекательная экскурсия в мир математики от одного из лучших преподавателей в мир
• Автор: Стивен Строгац
• Издательство: Манн, Иванов и Фербер
• Жанр: Математика
• Год: 2014
• ISBN: 978-500057-008-1

Удовольствие от Х. Увлекательное путешествие в мир математики от одного из лучших преподавателей в мире / Стивен Строгац; пер. с англ. (Steven Strogatz. The Joy of X. A Guided Tour of Math, from One to Infinity) — М.: Манн, Иванов и Фербер, 2014.

Эта книга способна в корне изменить ваше отношение к математике. Она состоит из коротких глав, в каждой из которых вы откроете для себя что-то новое. Вы узнаете насколько полезны числа для изучения окружающего мира, поймете, в чем прелесть геометрии, познакомитесь с изяществом интегральных исчислений, убедитесь в важности статистики и соприкоснетесь с бесконечностью. Автор объясняет фундаментальные математические идеи просто и элегантно, приводя блистательные примеры, понятные каждому.

---

Прим. ред.: Введение в статистику на русском языке: Положинцев Б.И. Теория вероятностей и математическая статистика. Введение в математическую статистику: Учебное пособие. СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2010; Орлов А.И. Прикладная статистика. М.: Экзамен, 2004.

118

Если вы не знакомы с доской Гальтона, можете посмотреть опыты с ней на YouTube: http://www.youtube.com/watch?v=xDIyAOBa_yU.

119

Данные о распределении роста населения США см. в статье M. A. McDowell et al., Anthropometric reference data for children and adults: United States, 2003–2006, National Health Statistics Reports, № 10 (October 22, 2008), доступна на http://www.cdc.gov/nchs/data/nhsr/nhsr010.pdf.

120

OkCupid — самый большой бесплатный сайт знакомств в США, который летом 2011 года насчитывал семь миллионов активных пользователей. Специалисты сайта в области статистики проводят собственный анализ на основе анонимных и обобщенных данных его клиентов, а затем публикуют результаты исследований в своем блоге OkTrends (http://blog.okcupid.com/index.php/about/). Распределения роста см. C. Rudder, The big lies people tell in online dating, на http://blog.okcupid.com/index.php/the-biggest-lies-in-online-dating/. Я благодарю Кристиана Раддера за любезно предоставленную возможность использовать графики, приведенные в его блоге.

121

Введение в эту тему великолепно изложено в статье Марка Ньюмана M. Newman, Power laws, Pareto distributions and Zipf’s law, Contemporary Physics, Vol. 46, № 5 (2005), pp. 323–351. В ней приводятся графики частотности слов в романе Германа Мелвилла «Моби Дик», магнитуды землетрясений в Калифорнии в период с 1910 по 1992 год, размеры собственного имущества 400 богатейших людей США в 2003 году, а также множество других распределений «с тяжелым хвостом», упомянутых в этой главе. Более раннее, но заслуживающее внимания исследование степенной зависимости см. M. Schroder, Fractals, Chaos, Power Laws (W. H. Freeman, 1991).

122

Пример взят из работы C. Seife, Proofiness (Viking, 2010). Приведенные в тексте цифры основаны на анализе, проведенном группой FactCheck.org (независимый проект Центра государственной политики Анненберг Университета Пенсильвании), доступен на http://www.factcheck.org/here_we_go_again_bush_exaggerates_tax.html. Этот анализ опубликован независимым Центром налоговой политики W. G. Gale, P. Orszag and I. Shapiro, Distributional effects of the 2001 and 2003 tax cuts and their financing, http://www.taxpolicycenter.org/publications/url.cfm?ID=411018.

123

См. B. Mandelbrot and R. L. Hudson, The (Mis)Behavior of Markets (Basic Books, 2004) и N. N. Taleb, The Black Swan (Random House, 2007).

124

Условные вероятности и теорема Байеса подробно рассмотрены в учебнике S. M. Ross, Introduction to Probability and Statistics for Engineers and Scientists, 4th edition (Academic Press, 2009). О Байесе и полемике вокруг его подхода к вероятностным выводам см. S. B. McGrayne, The Theory That Would Not Die (Yale University Press, 2011).

Прим. ред.: На русском языке: Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высшее образование, 2005. Ширяев А.Н. Вероятность. М.: Наука, 1989.

125

Ответ на вопрос А: 59 %. Ответ на вопрос В: 27/41, или приблизительно 65,85 %. Чтобы прийти к таким результатам, возьмите 100 растений и подсчитайте на основе данных задачи, сколько из них (в среднем) были или не были политы и сколько погибнут или уцелеют.

126

Анализ результатов маммографии описан в главе 4 книги G. Gigerenzer, Calculated Risks (Simon and Schuster, 2002).

127

Вы найдете множество забавных историй об условной вероятности и ее применении в реальном мире, а также о ее неверном восприятии в книгах J. Paulos, Innumeracy (Vintage, 1990); L. Mlodinow, The Drunkard’s Walk (Vintage, 2009).

128

Подробнее об истории О. Дж. Симпсона и спорах об избиении им жены см. главу 8 книги Gigerenzer, Calculated Risks. Оценки относительно судебного процесса над О. Дж. Симпсоном и выводы Алана Дершовица о количестве женщин, избитых и впоследствии убитых партнерами, см. A. Dershowitz, Reasonable Doubts (Touchstone, 1997), рр. 101–104.

Теория вероятности впервые была применена правильно в ходе процесса Симпсона в 1995 году. Анализ, приведенный в этой главе, опирается на работы I. Good, When batterer turns murderer, Nature, Vol. 375 (1995), p. 541; When batterer becomes murderer, Nature, Vol. 381 (1996), р. 481. Анализ, проведенный Гудом, построен на относительных рисках и теореме Байеса, а не на интуитивном подходе, базирующемся на натуральных числах и используемом в работе Гигеренцера. (Кстати, карьера Гуда весьма интересна. Помимо значительного вклада в теорию вероятностей и статистику, основанную на методах Байеса, он помог в расшифровке кодов нацистской шифровальной машины «Энигма» во время Второй мировой войны и ввел футуристическое понятие, которое сегодня известно как «технологическая сингулярность».)

Анализ независимых экспертов, пришедших практически к такому же заключению, опубликован в 1995 году в работе J. F. Merz and J. P. Caulkins, Propensity to abuse — propensity to murder? Chance, Vol. 8, № 2 (1995), р. 14.

129

Каким образом Дершовиц пришел к выводу, что среди лиц, избивающих своих партнеров, менее 1 из 2500 убивают их? На странице 104 его книги Reasonable Doubts приведены следующие цифры: в 1992 году в США от 2,5 до 4 миллионов женщин подвергались избиению со стороны мужей, любовников и бывших любовников. В том же году, согласно отчетам ФБР об уровне преступности (http://www.fbi.gov/about-us/cjis/ucr/ucr), 913 женщин были убиты своими мужьями, а еще 519 — своими любовниками или бывшими любовниками. Если разделить общее количество убийств 1432 на 2,5 миллиона избитых женщин, то выйдет 1 убийство на 1746 избиений, а если принимать во внимание верхний порог числа избиений в 4 миллиона, то в результате получим одно убийство на 2793 избиений. Очевидно, что среди этих крайних показателей Дершовиц выбрал значение 2500.

Однако остается неясным, какая доля убитых женщин подвергалась при жизни избиениям со стороны этих мужчин. Вероятно, Дершовиц предполагал, что практически всех жертв убийств при жизни избивали, и, скорее всего, сделал вывод, что даже если эти цифры несколько преувеличены, они все равно «бесконечно малы».

130

Согласно отчетам ФБР об уровне преступности, 4936 женщин были убиты в 1992 году. Среди них 1432 (около 29 %) убиты мужьями или любовниками. Оставшиеся 3504 пострадали от рук кого-то другого. Следовательно, принимая во внимание, что в США на тот период проживало около 125 миллионов женщин, доля тех, кто стал жертвами убийства со стороны лиц, не являвшихся их партнерами, составила 3504 на 125 миллионов, или 1 убийство на 35 673 женщин в год.

Предположим, что эта доля убийств одинакова для всех женщин независимо от того, избивали их при жизни или нет. Тогда делим 100 тысяч избиваемых женщин из нашей гипотетической выборки на 35 673 и в результате получаем 2,8 женщин, то есть столько убито лицами, которые не являлись их партнерами. Округлив 2,8 до 3, получаем оценку, приведенную в данной работе.

131

Введение в поиск в интернете и анализ ссылок см. D. Easley and J. Kleinberg, Networks, Crowds, and Markets (Cambridge University Press, 2010). Популярное изложение истории поиска в сети, рассказ о его основных действующих лицах и компаниях ищите в J. Battelle, The Search (Portfolio Hardcover, 2005). Тем, кто хорошо знаком с линейной алгеброй, будет интересна история развития анализа ссылок в статье S. Robinson, The ongoing search for efficient Web search algorithms, SIAM News, Vol. 37, № 9 (2004).

132

Если вас смутило использованное мной слово «кузнечик», поясню, что этим ласковым именем называют ученика, которому еще предстоит многому научиться у мастера дзен. В телесериале «Кунг-фу» слепой монах По учит мудрости своего ученика Кэйна и на первом уроке называет его кузнечиком.

Мастер По. Закрой глаза. Что ты слышишь?

Юный Кэйн. Я слышу воду. Я слышу пение птиц.

По. Слышишь ли ты, как бьется твое сердце?

Кэйн. Нет.

Мастер По. Слышишь ли ты кузнечика, что стрекочет у твоих ног?

Кэйн. Старик, как тебе удается слышать все это?

По. Юноша, как ты умудряешься этого не слышать?

133

Признание существования проблемы замкнутого круга для ранжирования веб-страниц, а также ее решение с помощью линейной алгебры вылилось в два направления исследований, опубликованных в 1998 году. Одно было проведено моим коллегой по Корнуолльскому университету Джоном Клейнбергом, который впоследствии стал экспертом исследовательского центра IBM Almaden Research Center. Его исследование посвящено алгоритму HITS (альтернативной форме анализа ссылок, появившейся немного раньше, чем алгоритм PageRank от Google), см. J. Kleinberg, Authoritative sources in a hyperlinked environment, Proceedings of the Ninth Annual ACM-SIAM Symposium on Discrete Algorithms (1998).

Вторая линия исследований проводилась основателями Google Ларри Пейджем и Сергеем Брином. В основе их алгоритма PageRank лежало количество времени, которое случайный пользователь сети будет проводить на каждой странице. Этот процесс описывается по-иному, но приводит все к той же проблеме замкнутого круга. Обоснования метода PageRank даны в статье S. Brin and L. Page, The anatomy of a large-scale hypertextual Web search engine, Proceedings of the Seventh International World Wide Web Conference (1998), рр. 107–117.