Карлос Мадрид - Мир математики. т.32. Бабочка и ураган. Теория хаоса и глобальное потепление

• Название: Мир математики. т.32. Бабочка и ураган. Теория хаоса и глобальное потепление
• Автор: Карлос Мадрид
• Издательство: «Де Агостини»
• Жанр: Математика
• Год: 2014
• ISBN: 978-5-9774-0682-6; 978-5-9774-0727-4 (т.32)

Хаос буквально окружает нас. Солнечная система, популяции животных, атмосферные вихри, химические реакции, сигналы головного мозга и финансовые рынки — вот лишь некоторые примеры хаотических систем. Но по-настоящему удивительно то, что хаотическими могут быть простые системы, например двойной маятник. Очередной том из серии «Мир математики» рассказывает о хаосе, то есть о беспорядочном и непредсказуемом поведении некоторых динамических систем, а также о связи теории хаоса с глобальным изменением климата. Эта книга наверняка поможет читателю почувствовать очарование хаоса.

---

«Мы должны рассматривать нынешнее состояние Вселенной как результат его предшествующего состояния и как причину состояния, которое воспоследует. Разум, которому в настоящий момент были бы известны все силы, движущие природой и относительное положение всех существ, ее составляющих, и который был бы достаточно обширным, чтобы подвергнуть все эти данные анализу, подытожил бы в одной и той же формуле движения величайших тел Вселенной и мельчайших атомов: для этого разума ничто не было бы неопределенным, и грядущее, равно как и прошлое, предстали бы перед его глазами.

То совершенство, которым человеческий разум наделил астрономию, есть лишь слабый отголосок этого разума. Открытия человека в области механики и геометрии наряду с открытием закона всемирного тяготения позволили описать теми же аналитическими выражениями прошлое и будущее состояние системы мира».

Однако Лаплас был очень и очень далек от истины. В своих уравнениях, описывавших систему «Солнце-Юпитер-Сатурн» (задачу трех тел) ученый пренебрег одним слагаемым, которое он счел слишком малым. Но это слагаемое могло неограниченно возрастать и вести к потере устойчивости Солнечной системы. В отличие от Лагранжа, крайне скрупулезного в расчетах, Лаплас был подобен лису, заметавшему собственные следы хвостом. Он часто забывал указывать источники, из которых брал те или иные результаты, и создавалось впечатление, что все они принадлежали ему лично. Математические задачи, с которыми Лаплас сталкивался в физических исследованиях, он решал так же небрежно. Американский астроном, который перевел «Трактат о небесной механике» на английский язык, говорил, что каждый раз, когда он видел фразу «нетрудно видеть, что…», то понимал: для восстановления пропущенного потребуется несколько часов упорного труда.

Портрет Лапласа (1749–1827), «Ньютона революционной Франции».

Многие физики и математики XIX века посвятили себя поискам полного решения задачи трех тел и ответа на вопрос об устойчивости Солнечной системы. Со времен великого Ньютона до 1900 года на эту тему было написано более 800 работ.

Среди математиков, пытавшихся справиться с этой задачей, нашелся и человек, сыгравший ключевую роль в создании теории хаоса, — гениальный Анри Пуанкаре (1854–1912).

Конкурс короля Оскара

Еще в детстве Пуанкаре проявлял живой интерес к математике, однако в остальном он был неуклюжим и рассеянным. Он считается последним математиком-универ салом: в отличие от узких специалистов, Пуанкаре интересовало буквально все — он занимался анализом, дифференциальными уравнениями, группами, топологией, небесной механикой и математической физикой, а также философией, преподаванием и просветительской работой. Разумеется, он был первым математиком, кто столкнулся лицом к лицу с хаосом при решении задачи трех тел.

Жюль Анри Пуанкаре в возрасте 36 лет.

«Мысль — это всего только молния в ночи. Но в этой молнии — все».

Знаменитая работа Пуанкаре, посвященная этой задаче, была опубликована в 1890 году, когда ученому было всего 36 лет, однако ее история началась раньше.

В 1885 году европейские математики узнали, что под покровительством Оскара II, короля Швеции и Норвегии, пройдет важный международный математический конкурс. Оскар II, изучив ряд математических дисциплин в университете, чувствовал, что математике нужно придать новый толчок. В рамках международного конкурса была учреждена премия для того, кто сможет решить задачу трех тел и открыть путь к изучению устойчивости Солнечной системы.

В 1884 году Магнус Геста Миттаг-Леффлер (1846–1927), преподаватель математики Стокгольмского университета, предложил королю Оскару II провести математический конкурс, приуроченный к шестидесятилетнему юбилею монарха, который должен был праздноваться через 5 лет, 21 января 1889 года. В те годы подобные конкурсы были вполне обычным делом, и хотя премии обычно не отличались большим размером, победители пользовались тем же авторитетом, что и нынешние нобелевские лауреаты. С другой стороны, этим конкурсом Миттаг-Леффлер хотел привлечь внимание специалистов к журналу Acta Mathematica, который он основал незадолго до того при неоценимой поддержке короля.

Подобрать членов жюри и организационного комитета конкурса было совсем не просто. Миттаг-Леффлер хотел избежать споров и обвинений в предвзятости, поэтому выбрал тех, с кем был знаком лично: своих бывших преподавателей, Шарля Эрмита и Карла Вейерштрасса как представителей французской и немецкой математической школы, а также Софью Ковалевскую, блестящую ученицу Миттаг-Леффлера и Вейерштрасса.

С помощью Миттаг-Леффлера члены организационного комитета сформулировали четыре вопроса, один из которых касался решения задачи n тел: «Для данной системы, состоящей из произвольного числа материальных точек, взаимодействующих друг с другом согласно законам Ньютона, предлагается выразить координаты каждой точки с помощью ряда, содержащего известные функции времени, которые бы равномерно сходились для любого значения времени.

По-видимому, эта задача, решение которой расширит наши знания об устройстве Вселенной, может быть решена известными на сегодня методами анализа. Это следует предполагать по меньшей мере потому, что незадолго до смерти Иоганн Петер Густав Лежён Дирихле сообщил своему другу, математику Леопольду Кронекеру, что обнаружил метод интегрирования дифференциальных уравнений механики и успешно применил его для доказательства устойчивости нашей Солнечной системы. К сожалению, нам ничего не известно об этом методе, хотя почти со стопроцентной уверенностью можно предполагать, что он не подразумевал каких-либо объемных и сложных расчетов, а основывался на некой простой идее. Разумно ожидать, что эту идею можно будет обнаружить вновь в ходе более тщательного и серьезного исследования.

Если никому не удастся решить предложенную задачу в указанные сроки, премия может быть присуждена работе, посвященной любой другой задаче механики, которая будет рассмотрена указанным образом и полностью решена».

Когда новость о проведении конкурса была опубликована в журнале Acta Mathematica, 31-летний Пуанкаре уже был известен в мире математики, однако он не сразу согласился принять участие в конкурсе. Митгаг-Леффлеру пришлось отправить ему письмо, призывая подать на конкурс какую-либо работу. Пуанкаре ответил, что планирует рассмотреть задачу трех тел не затем, чтобы решить ее (это представлялось ему практически невозможным), а главным образом для того, чтобы получить новые важные результаты, достойные быть представленными жюри конкурса.

В конце концов воодушевленный Пуанкаре начал развивать свои идеи, касавшиеся качественной теории дифференциальных уравнений. Эту теорию Пуанкаре разработал в 1881–1885 годах и изложил в четырех статьях, важнейшая из которых носила название «О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями». В этих работах были рассмотрены линейные и нелинейные дифференциальные уравнения не столько с количественной, сколько с качественной точки зрения (иными словами, он стремился найти не решения в явном виде, а описать их общую динамику и устойчивость), для чего обратился к недавно созданной дисциплине — топологии, которая в то время называлась анализом размещения (лат. analysis situs).

В отличие от Лагранжа, который хвастался тем, что его «Аналитическая механика» не содержала ни одной иллюстрации, Пуанкаре смело использовал геометрические методы.

Понимая невозможность решить большинство дифференциальных уравнений (для нелинейных уравнений метод возмущений не работал), Пуанкаре рассмотрел их геометрически. Начал он с того, что рассмотрел дифференциальное уравнение

где производная у по х равна отношению двух произвольных функций Р и Q. Ученый подробно изучил так называемые особые точки, то есть точки с координатами (х, у), в которых Р(х, у) = Q(x, у) = 0. Иными словами, особые точки — это точки, в которых производная у по х равна нулю, разделенному на ноль, то есть точки, в которых возникает неопределенность, ведь операция деления на 0 не имеет смысла. Именно поэтому такие точки называются особыми.

* * *

РЕЗИНОВАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Топология — это раздел математики, изучающий исключительно форму и расположение геометрических объектов без учета их количественных свойств, в частности размеров. Например, схемы метро дают информацию о станциях и пересадках, но искажают расстояния. Важнейшую роль в развитии топологии сыграл Пуанкаре, благодаря которому она обрела популярность как «качественная геометрия». Предоставим слово самому Пуанкаре: