Карлос Мадрид - Мир математики. т.32. Бабочка и ураган. Теория хаоса и глобальное потепление

• Название: Мир математики. т.32. Бабочка и ураган. Теория хаоса и глобальное потепление
• Автор: Карлос Мадрид
• Издательство: «Де Агостини»
• Жанр: Математика
• Год: 2014
• ISBN: 978-5-9774-0682-6; 978-5-9774-0727-4 (т.32)

Хаос буквально окружает нас. Солнечная система, популяции животных, атмосферные вихри, химические реакции, сигналы головного мозга и финансовые рынки — вот лишь некоторые примеры хаотических систем. Но по-настоящему удивительно то, что хаотическими могут быть простые системы, например двойной маятник. Очередной том из серии «Мир математики» рассказывает о хаосе, то есть о беспорядочном и непредсказуемом поведении некоторых динамических систем, а также о связи теории хаоса с глобальным изменением климата. Эта книга наверняка поможет читателю почувствовать очарование хаоса.

---

Слева — король Швеции и Норвегии Оскар II, справа — Магнус Геста Миттаг-Леффлер. Король-пифагореец и математик-платоник.

И победителем становится…

На конкурс короля Оскара II двенадцать математиков представили двенадцать работ. Всего в пяти из них рассматривалась задача трех тел, но ни в одной не приводилось требуемого решения в виде степенного ряда. В итоге 20 января 1889 года, за день до шестидесятилетнего юбилея монарха, уважаемое жюри, получив одобрение короля, объявило победителем Анри Пуанкаре за статью «О задаче трех тел и уравнениях движения»: «Эта статья не может считаться полным решением предложенной задачи, однако она столь важна, что ее публикация откроет новую эру в истории небесной механики».

Французская пресса сочла Пуанкаре едва ли не героем, его победа расценивалась как триумф французской математики над немецкой, которой традиционно отдавалось первенство.

Однако вскоре стало понятно: что-то пошло не так. Когда Миттаг-Леффлер опубликовал статью Пуанкаре, астроном Йохан Аугуст Гуго Полден, подобно Немезиде, вместе с Леопольдом Кронекером незамедлительно провозгласил, что эта работа ничем принципиально не отличается от более ранней его работы, опубликованной в 1887 году.

Ситуация обострилась еще больше, когда несколько месяцев спустя, в июле 1889-го, на Пуанкаре с градом вопросов обрушился Эдвард Фрагмен, редактор журнала Acta Mathematica, который хотел прояснить непонятные моменты объемной статьи перед публикацией. Эрмит неспроста писал: «В этой работе, как и почти во всех остальных, Пуанкаре только показывает путь, однако требуется приложить немало усилий, чтобы устранить лакуны и закончить его работу».

Кроме того, в конце ноября сам автор обнаружил в статье грубую ошибку, о чем сообщил Миттаг-Леффлеру в письме, датированном 1 декабря:

«Сегодня утром я написал Фрагмену, чтобы сообщить о допущенной мной ошибке, но я сомневаюсь, что он даст тебе прочесть мое письмо. Однако последствия этой ошибки намного серьезнее, чем я изначально предполагал. Двоякоасимптотические решения [сепаратрисы, проходящие через седло] не являются замкнутыми кривыми… следовательно, не являются периодическими решениями. Верно лишь то, что две составляющие этой кривой [две сепаратрисы] пересекаются бесконечное число раз. Не буду говорить, какое беспокойство причинило мне это неприятное открытие. В статью необходимо внести много изменений».

Это письмо, несомненно, поразило редактора журнала и организатора конкурса: признание Пуанкаре серьезно подорвало авторитет жюри и организаторов. Миттаг-Леффлер оказался в крайне затруднительном положении. Он попытался изъять из обращения уже напечатанные копии статьи и не придавать огласке ошибку Пуанкаре, чтобы не повредить репутации ученого. Весь тираж очередного номера престижного журнала Acta Mathematica пришлось уничтожить — сохранился единственный экземпляр номера, который сейчас хранится в сейфе в Институте Миттаг-Леффлера. Между тем всего за два месяца, то есть за декабрь 1889-го и январь 1890 года, Пуанкаре полностью исправил все ошибки в своей работе, отправил ее в печать и оплатил публикацию из своего кармана, так как еще до участия в конкурсе согласился покрыть все накладные расходы. Пуанкаре заплатил более 3500 шведских крон при том, что в качестве премии он получил всего 2500 крон.

Прекрасный пример интеллектуальной честности.

Математический монстр Пуанкаре

В чем же заключалась ошибка Пуанкаре? Французский математик заявил, что нашел бесконечное множество периодических решений задачи трех тел, но потом обнаружил, что некоторые эти решения не были периодическими, так как не описывали замкнутые кривые. Именно благодаря этой грубой ошибке Пуанкаре смог обнаружить, что двоякоасимптотические решения, сепаратрисы, проходящие через седловые точки (эти точки Пуанкаре называл гомоклиническими), определяли хаотические орбиты.

Рассмотрим эту ситуацию подробнее. Пуанкаре и Бендиксон смогли доказать свою теорему на плоскости, в двух измерениях. Так как траектории на фазовой плоскости не могут пересекаться, число корректных траекторий невелико. Как мы уже показали, существует всего пять основных видов траекторий: они могут приближаться к особой точке, удаляться от нее (для фокусов, узлов и седел) либо периодически вращаться вокруг центра или вблизи предельного цикла.

В задаче трех тел, движущихся под действием сил взаимного притяжения, рассматривается трехмерное пространство, которое допускает куда больше сочетаний и возможных случаев. В фазовом пространстве все обстоит намного сложнее: траектории необязательно должны пересекаться — достаточно, чтобы они переплетались между собой. На плоскости, в отличие от трехмерного пространства, траектории не могут сплетаться. Кроме того, если число измерений пространства больше двух, система может иметь аттракторы, которые будут весьма заметно отличаться от особых точек (фокусов) и предельных циклов. Как вы узнаете из следующей главы, в многомерных пространствах возникают так называемые странные аттракторы, которые, как правило, сопутствуют хаосу.

В трехмерном пространстве траектории-решения могут переплетаться между собой.

Но как Пуанкаре справился с этими трудностями и нашел периодические решения в пространстве? Он применил метод, называемый сегодня сечениями Пуанкаре.

Так как изучать динамику на плоскости намного проще, чем в пространстве, ученый рассмотрел плоскость, заключенную в фазовом пространстве и полностью рассекающую трехмерный пучок траекторий. Нечто похожее мы делаем каждый день, когда проверяем, червивое ли яблоко: мы разрезаем его ножом и осматриваем поперечное сечение.

Допустим, что человек в течение всего дня носит с собой катушку ниток, разматывая ее. Нитка укажет траекторию этого человека. Теперь предположим, что мы неожиданно потеряли его след и не знаем, вернулся ли он домой. Как найти ответ? На помощь приходит топология, в частности теория Пуанкаре: плоскость, в которой располагается дверь дома нашего беглеца, станет сечением Пуанкаре.

Встанем у двери и сосчитаем, сколько нитей пересекает дверной порог. Если число нитей нечетно, наш незнакомец еще не вернулся, если же число нитей четно, он уже дома — это логично. Следовательно, если человек вернулся, то через дверной порог — наше сечение Пуанкаре — будет проходить четное число нитей. Выходит, изучение нитей (траекторий), пересекающих поверхность подобно тому, как нити пересекают порог (сечение Пуанкаре), дает важные результаты.

Сечение Пуанкаре S. Если бы х и Р(х) совпадали, траектория была бы замкнутой кривой и представляла собой периодическое решение.

Пуанкаре указывал, что периодичность решения можно определить с помощью сечения Пуанкаре, если показать, что кривая в конечном итоге возвращается в ту же исходную точку, в которой пересекла сечение. Следовательно, сечение Пуанкаре фазового пространства отражает важнейшие аспекты решений дифференциального уравнения (в том числе их устойчивость).

По сути, Пуанкаре считал, что в каждом сечении будет наблюдаться типичная и не слишком сложная двумерная динамика, при которой траектории могут пересекаться только в особых точках. Однако он с ужасом обнаружил, что сепаратрисы седловых точек (две траектории, которые сталкиваются в гомоклинических точках) пересекаются, но не совпадают, а представляют собой две различные кривые, которые пересекаются снова и снова, образуя своеобразную решетку с бесконечным множеством точек пересечения. Оказалось, что трехмерная динамика, проекции которой содержатся в каждом сечении, невероятно сложна.

Ошибка Пуанкаре: он считал, что нестабильная сепаратриса (та, что удаляется от седловой точки) и стабильная (та, что приближается к седловой точке) совпадают.

Таким образом, суть задачи такова: локальная структура седловой точки проста, поскольку линейна, а глобальная структура необязательно будет простой, поскольку она нелинейна. Более того, глобальная структура может быть невероятно сложной — именно поэтому возникают хаотические движения. В примере с задачей трех тел обе сепаратрисы переплетаются снова и снова бесконечное число раз. Эта гомоклиническая сеть — великое открытие Пуанкаре, фигура настолько сложная, что сам автор не осмелился ни изобразить ее, ни подробно описать. Эта сеть и вызывает хаос, а также приводит к тому, что систему нельзя описать посредством аналитических интегралов.

Гомоклиническая сеть: р — седло, Ь0, h1, h2…. — бесконечное множество гомоклинических точек, в которых пересекаются две сепаратрисы.