Борис Кушнер - Учитель

• Название: Учитель
• Автор: Борис Кушнер
• Издательство: "Вестник"
• Жанр: Биографии и Мемуары
• Год: 2003

Воспоминания посвящены выдающемуся математику Маркову Андрею Андреевичу младшему (1903, Санкт-Петербург — 11 октября 1979, Москва).

Мы, ученики Андрея Андреевича, просто обязаны написать о нём, о нашем времени. Пока помним, сколько помним. Пока живём. В меру своих сил я пробую сделать это. Эти строки посвящаются памяти моего Учителя и памяти трёх его учеников и последователей, дорогих друзей и коллег, безвременно ушедших из жизни. Вот их имена: Сергей Юрьевич Маслов (10 июня 1939 г. — 29 июля 1982 г.), Освальд Демут (Oswald Demuth) (9 декабря 1936 г. — 15 сентября 1988 г.), Альберт Григорьевич Драгалин (10 апреля 1941 г. — 18 декабря 1998 г.) О каждом из них я коротко расскажу ниже, каждый из них — отдельный особенный мир

---

Речь шла о самой природе математики. Что она изучает, что собой представляют математические объекты, в каком смысле они существуют и т. д. Подобные вопросы, разумеется, ставились на протяжении всей истории научной деятельности человека, но в обсуждаемое время они приобрели особенную остроту в связи с появлением теории множеств и универсальным распространением языка этой теории на математику. Теория множеств была почти единолично развита в конце 19-го века великим немецким математиком и мыслителем Георгом Кантором[36], который, кстати, сам употреблял более точное именование «Учение о Множествах». В 1985 г. издательство «Наука» выпустило в серии «Классики Науки» великолепный том переводов трудов Кантора[37]. Книга эта просто бесценный источник для всех, кто интересуется историей и философией науки. Кантор далеко выходит за пределы собственно математики, обращаясь к теологии и обсуждая философскую сторону своих построений не только с математиками[38], но и с богословами. Действительно, способность нашего Духа, как поэтической его части, так и интеллектуальной, выходить за пределы повседневного ограниченного опыта конечного, смертного существа, оперировать с Бесконечностью заставляет вспомнить, по Чьему Образу и Подобию мы были сотворены[39].

Рассказать обо всём этом неподготовленной аудитории нелегко, но я всё же попробую что-нибудь сделать в этом направлении. Опыт, и как мне кажется положительный, такого устного рассказа у меня есть. Незадолго до отъезда в 1987 или в 1988 г. я прочёл доклад по теории множеств на философском семинаре института им. Гнесиных в Москве. Теория множеств для музыкантов! Это было захватывающе интересно (по меньшей мере, для меня самого)[40].

Кантора можно назвать Поэтом Бесконечного. До него Бесконечность представлялась неразличимым бесструктурным целым, противоположным конечному, тому, что можно перечислить, сосчитать. Что-то вроде синих очертаний гор на горизонте. Кантор открыл невероятную по богатству Страну Бесконечного, множество типов бесконечности, находящихся в удивительных отношениях друг с другом. Он определил, в каком смысле две бесконечности одинаковы по «количеству» составляющих их элементов, и в каком одна «больше» другой. Например, оказалось, что смутно ощущаемое превосходство непрерывной бесконечности точек прямой над бесконечностью ряда положительных целых чисел 1,2,3,… может быть выражено точным математическим утверждением (знаменитая теорема Кантора (1873 г.)[41] о несчётности континуума). Первая бесконечность мощнее, больше второй. В то же время Кантор с изумлением обнаружил, что на прямой «столько же» точек, сколько во всём пространстве[42]. Страна Бесконечного таила свои опасности, и главные из них были ещё впереди.

Георг Кантор

Другим удивительным достижением Кантора была обнаруженная возможность «счёта за «тремя точками»«в ряде положительных целых чисел 1,2,3,…, т. е. введение бесконечных, трансфинитных чисел и построение их арифметики (1,2,3,…,w, w+1,…, где w — первое бесконечное число). Уходящий в необозримые, захватывающие дух дали бесконечного ряд таких чисел — одно из самых прекрасных, воистину божественных построений человеческого разума… Хорошо помню мои школьные годы, изумление, с которым я постигал эти открытия в математическом кружке при МГУ.

Предметом изучения в теории множеств, как показывает само название, являются множества. Но что это такое? Простого ответа здесь нет. Понятие это считается первоначальным, неопределяемым, постигаемым интуицией, развиваемой примерами. По-видимому, наилучшей остаётся характеристика этого фундаментального понятия, данная самим Кантором: «Под «множеством» мы понимаем соединение в некое целое М определённых хорошо различимых предметов нашего созерцания или нашего мышления, (которые будут называться «элементами» множества М)»[43]. Можно говорить о множестве яблок на данной яблоне, о множестве слушателей в данном концертном зале и т. д. Математика естественно больше интересуют множества, связанные с его профессиональной деятельностью. Например, можно говорить о множестве всех нечётных совершенных чисел (ср. выше). Никто сегодня не знает, содержит ли это множество хоть один элемент[44].

При рассмотрении множеств Кантор свободно пользовался так называемой абстракцией актуальной бесконечности, позволяющей рассматривать бесконечные совокупности одновременно существующих объектов. Наряду с этой абстракцией в философии с античных времён рассматривалась не столь драматическая идея потенциальной, становящейся бесконечности. Проще всего объяснить имеющееся здесь различие на примере положительных целых чисел. Эти числа возникают в процессе естественного счёта — один, два, три… В каждый момент времени считающий субъект достигает определённого этапа, определённого числа… Идея потенциальной бесконечности, потенциальной осуществимости позволяет отвлечься здесь от ограниченности наших возможностей в пространстве и времени, по существу отвлечься от нашей смертности, и считать, что сколь угодно большие числа (скажем, миллиард миллиардов) могут быть достигнуты в процессе счёта. Но при всём этом в каждый момент времени только определённое число будет достигнуто считающим субъектом, у которого, однако, будет оставаться возможность продолжения счёта. Выражаясь метафорически, за каждым настоящим временем будет оставаться время будущее. Абстракция актуальной бесконечности состоит в гораздо более смелом акте воображения, при котором весь процесс счёта мыслится завершённым, все числа достигнутыми, одновременно существующими, все времена счёта осуществившимися…

Идею потенциальной бесконечности можно связать с оптимистической верой в наше родовое бессмертие: то, что не успею сделать я, сделают дети, ученики, последователи, дети детей, ученики учеников и т. д. С другой стороны, поэты всех времён и народов воспевали бесконечность звёзд в ночном небе. Самого простого акта поэтического воображения достаточно, чтобы воспринимать ряд телеграфных столбов, уходящих за горизонт, или же уходящую за горизонт ленту шоссе, как явления бесконечные, даже если хорошо знаешь, что это шоссе Москва — Симферополь…

Различие между двумя видами бесконечности, очевидно, скорее интеллектуальное, для наших ежедневных дел несущественное. Однако оно имеет огромное практическое значение при построении математики.

Разумеется, возникает вопрос и о природе математических объектов. В каком смысле существует, скажем, множество всех положительных целых чисел, или, гораздо каверзнее, множество всех множеств положительных целых чисел? Кантор занимал здесь радикальную позицию, называемую в сегодняшней философии математики математическим платонизмом[45]. Великий немецкий мыслитель считал, что те же трансфинитные числа не менее реальны, чем звёзды на небе. Предполагается, что имеется некий надсубъективный мир математических объектов, в котором и существуют всевозможные множества. Математические утверждения выражают факты устройства, обстояния вещей в этом мире. Соответственно, любое корректно сформулированное утверждение о математических объектах (скажем, «существует нечётное совершенное число») либо верно, либо нет в том же вечном, от наших соглашений и знаний независимом смысле. Таким образом, приобретают универсальный статус и законы аристотелевской логики, в особенности закон исключённого третьего, формулировкой которого и являлось предыдущее предложение. По известному афоризму, математик не изобретает, но открывает свои теоремы, примерно, как географ-мореплаватель открывает неизвестные острова в океане[46].

Кантор провозглашал нашу способность свободно оперировать с бесконечностью, ничем не ограниченную постигающую и созидающую мощь нашего духа. «Сущность математики — в её свободе», — таков был прекрасный, поэтический лозунг великого математического романтика.

Но у свободы есть, как мы хорошо знаем, цена, и романтика иногда далеко заводит. Надо сказать, что Кантор заплатил страшную цену за прорыв в Бесконечное. Душевное заболевание прогрессировало, всё больше мешало ему работать. Великий мыслитель умер в нервной клинике…

Уже самому Кантору были известны парадоксы теории множеств, попросту говоря, противоречия в ней, возникавшие на её окраинах и связанные именно с неограниченной свободой в образовании самых общих понятий. Положение это, по существу, было нетерпимым — ведь по тем же законам классической, аристотелевской логики, имея противоречие, можно доказать всё, что угодно. Вот пример парадокса, известного Кантору, и показывающего опасность чрезвычайно общих понятий. Кантором была доказана красивая теорема о том, что по всякому множеству можно найти множество большей мощности, содержащее «большее» число элементов[47]. Применение этого результата к множеству всех множеств приводит к немедленному, очевидному противоречию, напоминающему, кстати, парадоксальные ситуации в физике, когда речь идёт о «всей» Вселенной. Наиболее знаменитый из парадоксов был открыт в начале XX века английским философом и математиком Бертраном Расселом (Russel, Bertrand 1872–1970). Интересно, что и в случае парадокса Рассела источником беды являлась именно неограниченная свобода в образовании множеств, чрезвычайная общность этого понятия. Сам же парадокс, в сущности, воспроизводил в рамках теории множеств ситуации, известные с глубокой античности[48].