Антонио Дуран - Истина в пределе. Анализ бесконечно малых

• Название: Истина в пределе. Анализ бесконечно малых
• Автор: Антонио Дуран
• Издательство: Де Агостини
• Жанр: Научпоп
• Год: 2014
• ISBN: 978-5-9774-0708-3

Бесконечно малая величина — это числовая функция или последовательность, которая стремится к нулю. Исчисление бесконечно малых — общее понятие для дифференциальных и интегральных исчислений, составляющих основу современной высшей математики. Анализ бесконечно малых — вне всяких сомнений, наиболее мощное и эффективное средство изучения природы, когда-либо созданное учеными. Становление этого понятия связано с именами блистательных математиков: Архимеда, Исаака Ньютона, Готфрида Вильгельма Лейбница, Огюстена Луи Коши и Карла Вейерштрасса. В этой книге идет речь об анализе бесконечно малых и его удивительной истории.

---

В конце XVI века десятичная система счисления также начала применяться для записи рациональных и иррациональных чисел. Решающую роль в ее распространении наряду с Франсуа Виетом (1540—1603) сыграл Симон Стевин (1548—1620), хотя использованная им нотация была не совсем удобной. Стевин, уроженец бельгийского города Брюгге, развил свою идею по причинам практического характера: «Десятичная система счисления есть класс арифметики, в основе которого лежит идея о прогрессии с основанием 10, где используются арабские цифры так, что в этой системе может быть записано любое число; и любая операция, с которой мы имеем дело в торговле, может быть выполнена с помощью только целых чисел, без использования дробей». Он предложил унифицировать единицы мер и весов, а также денежные единицы с применением новой системы счисления, но эта идея была воплощена в жизнь лишь после Великой французской революции.

Некоторое время спустя идее Стевина последовали другие авторы, которые использовали современную нотацию с точкой (или запятой) для отделения десятичной части от целой. Среди них был шотландский барон Джон Непер (1550—1617), один из создателей логарифмов. Логарифмы появились в начале XVII века и были тесно связаны с открытием анализа бесконечно малых. Независимо от Непера логарифмы придумал и швейцарец Иост Бюрги (1552—1632). Изначально они использовались как вспомогательные функции в числовых расчетах, чтобы упростить умножение больших чисел в астрономических вычислениях. Нетрудно представить, сколько времени нужно было потратить на умножение множества подобных чисел и сколь велик был риск ошибиться. Джон Непер писал: «Ничто не причиняет столько проблем при занятиях математикой и не делает вычисления столь неприятными и затруднительными, как умножение, деление и извлечение квадратных и кубических корней из больших чисел. Операции эти помимо потери времени в большинстве случаев являются источником ошибок».

Чтобы упростить умножение больших чисел, в то время использовался метод под названием простаферезис. В его основе лежала тригонометрическая формула, с помощью которой произведение преобразовывалось в сумму. По сути, Джон Непер создал логарифмы с целью упростить этот метод: ему были нужны таблицы, с помощью которых можно было бы напрямую преобразовывать произведения в суммы.

Метод простаферезиса заключается в следующем. Допустим, мы хотим перемножить два больших числа n и m. Пусть они состоят из восьми цифр каждое — стандартная ситуация для астрономических расчетов тех времен. Для этого найдем в таблице значений косинусов два числа а и b такие, что n = cos a, m = cos b. Затем с помощью таблицы определим значения cos (a — b) и cos (a + b), после чего применим следующую формулу:

Если бы мы выполняли умножение напрямую, нам нужно было бы последовательно восемь раз умножить первое число на каждую цифру второго, после чего сложить восемь полученных чисел из восьми или девяти цифр каждое. С помощью вышеприведенной формулы и тригонометрических таблиц мы свели умножение к трем операциям сложения и простому делению на 2.

Метод простаферезиса был в некотором роде техническим инструментом: он позволял сэкономить время при расчетах, и его можно считать примитивным алгоритмом для вычислительной машины. Поэтому в течение определенного времени он держался в секрете и был доступен лишь немногим избранным. Непер, например, узнал об этом методе не самым обычным способом. Эта история больше напоминает сюжет приключенческого романа. Джон Крэйг, врач шотландского короля и друг Непера, в конце XVI века совершил путешествие в Данию, чтобы подобрать королю невесту. Корабль попал в шторм, и ему пришлось причалить к побережью вблизи лучшей обсерватории того времени, которую Тихо Браге построил на острове Вен между Данией и Швецией. Путешественников приютили в обсерватории, и, пока бушевал шторм, Крэйг познакомился с методом простаферезиса, а по возвращении в Шотландию обучил ему Джона Непера.

До XVII века было совершено крайне мало открытий, напрямую связанных с анализом бесконечно малых. Можно упомянуть о французском философе Николае Орезмском (ок. 1323—1382). Он дал примитивное определение понятия функции и ее графического представления: «Всё, что изменяется — реально ли измерить его или нет — можно вообразить как непрерывную величину, представленную отрезком». Он также внес вклад в изучение бесконечных рядов, впервые доказав, что сумма

1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + …

равна бесконечности.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО НИКОЛАЯ ОРЕЗМСКОГО

По словам самого Николая Орезмского, причина, по которой сумма гармонического ряда

1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + …

равна бесконечности, такова: «К величине, равной 1, прибавим 1/2, 1/3, 1/4 и следующие дроби, сумма которых равна бесконечности. В самом деле из членов этого ряда можно составить бесконечное число групп, сумма которых будет больше 1/2.

Так, 1/3 + 1/4 больше 1/2, так как каждое из двух слагаемых больше 1/4.

Аналогично,

1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8

больше 1/2, так как каждое из четырех слагаемых больше 1/8.

Аналогично

1/9 + 1/10 + … + 1/16

больше 1/2, так как каждое из восьми слагаемых больше 1/16, и так до бесконечности».

Наука в Европе XVII века

Перед тем как рассказать об открытиях, совершенных в XVII веке, в результате которых появился анализ бесконечно малых, будет уместно описать ситуацию в европейской науке начала XVII века.

Во-первых, нужно уточнить, что математика и наука в целом тогда не были уделом профессионалов, как в наше время. В университетах не проводились научные исследования, а полученные результаты обычно не изучались более подробно — можно сказать, что это было не принято. Почти никто из ученых, о которых мы расскажем на следующих страницах, не был профессиональным математиком: некоторые были юристами, другие — архитекторами, дипломатами, богословами, и лишь очень немногие зарабатывали на жизнь математикой или же были как-то связаны с университетами. Поэтому когда мы называем кого-либо математиком, это означает, что этот ученый внес вклад в развитие математики, но мог иметь совершенно иную сферу профессиональных и научных интересов.

Это привело к ряду неудобств. Исследователи объединялись вокруг одного ученого или любителя науки, подобные группы часто были изолированными друг от друга или враждовали, что было вызвано вопросами патриотизма или спорами о научных состязаниях или турнирах, которые в ту эпоху проводились очень часто. По всем этим причинам полученные результаты распространялись неэффективно: как правило, о них упоминали в письмах друзьям или знакомым, далее, спустя некоторое время (иногда крайне длительное) эти знания оформлялись в виде книг, которые также не становились достоянием широкого круга.

В этих условиях лучшее математическое образование давали не университеты, а отдельные ученые. Одним из ведущих научных обществ первой половины XVII века была Accademia Nazionale dei Lincei (Национальная академия деи Линчей), в которой состоял Галилей. Академия была основана в Риме в 1603 году и прекратила свое существование спустя 30 лет. Центром, возможно, важнейшего научного общества был монах францисканского ордена минимов Марен Мерсенн (1588—1648). Мерсенн, который жил в Париже начиная с 1610-х годов, создал кружок математиков и ученых, встречи которого проводились еженедельно. Мерсенн помогал многим европейским ученым и философам поддерживать переписку с Дезаргом, Ферма и Паскалем (последний начал посещать встречи кружка в конце 1630-х, будучи еще подростком). Кружок также способствовал распространению философских трудов Декарта и астрономических трактатов Галилея. Помимо организаторской работы, Мерсенн также внес вклад в математику и акустику.

В начале XVII века было восстановлено практически все математическое и научное наследие Древней Греции, сохранившееся после бурных времен Средневековья. Хотя «Начала» Евклида и другие базовые труды были хорошо известны и изучены, более глубокие и сложные трактаты, в частности книги Архимеда, были поняты лишь несколько десятилетий спустя. Их освоение сыграло решающую роль в создании анализа бесконечно малых. Некоторые из отцов-основателей исчисления, в частности Валлис и Барроу, имели в личной библиотеке экземпляры трудов Архимеда. Достаточно сказать, что Архимед был наиболее цитируемым автором во всех книгах о вычислении площадей и объемов, написанных в течение всего этого столетия.