Луис Арталь - Том 19. Ипотека и уравнения. Математика в экономике

• Название: Том 19. Ипотека и уравнения. Математика в экономике
• Автор: Луис Арталь
• Жанр: Математика

Книга посвящена использованию математики в экономике и анализу роли точных наук в экономическом развитии.

Авторы рассказывают об основных математических инструментах, используемых в экономическом анализе. Их цель — помочь читателю научиться принимать верные решения в вопросах, касающихся инвестирования, размещения сбережений и кредитования.

Создатели книги затрагивают такие важные темы, как производство и рынок, спрос и предложение, международная торговля, ценообразование, рынок капитала и фондовые биржи. Безусловно, этот разговор немыслим без строгой красоты математики.

---

На этой карикатуре 1885 года американский художник Фредерик Бурр Оппер изобразил монополистов-миллионеров, узурпировавших ресурсы страны.

Помимо монополии предложения, может существовать и монополия спроса (монопсония), то есть ситуация, при которой на рынке имеется только одна компания-покупатель и несколько компаний-поставщиков. В этом случае компания-покупатель может выдвигать жесткие условия, касающиеся сроков поставки, скидок, расположения товаров в магазинах, условий платежа и т. д. Примером монопсонии являются супермаркеты, которые требуют у поставщиков (в том числе транснациональных компаний) скидок за большой объем приобретаемого товара, передачи товара на реализацию, при которой счета-фактуры оформляются только в момент продажи конечному потребителю, устанавливают сроки оплаты, превышающие 30 дней, и взимают с поставщиков дополнительные платежи, так как владельцы супермаркетов полагают, что появление товара на их полках само по себе является рекламой, за которую нужно платить, и т. д. Если компания хочет сотрудничать с супермаркетом, она должна подписать договор о поставках, в котором на поставщика накладываются серьезные ограничения.

Еще одним фактором, влияющим на итоговую стоимость товаров, является деятельность посредников или комиссионеров, которые взимают небольшой процент от исходной цены или получают комиссию в зависимости от объема продаж. Существование цепочек посредников, участвующих в процессе распределения товара, может существенно повысить его итоговую стоимость для потребителя, и некоторые посредники могут быть настоящими монополистами. Такая ситуация обычно складывается на рынке сельскохозяйственной продукции, что вызывает значительную разницу между ценой, по которой товар покупается у производителей, и ценой, которую платит за него потребитель.

Еще одним способом организации рынка является аукцион, при котором товар получает тот покупатель, который предложит наибольшую цену.

* * *

ФАКТОРИНГ

Существует множество способов ведения торговых операций, особенно касающихся способов оплаты. Один из таких способов — факторинг, при котором компания обращается в финансовое учреждение, чтобы получить авансом оплату счета, выставленного клиенту. Банк перечисляет поставщику определенную часть суммы счета (выполняет дисконтирование платежа), а после того как покупатель оплатит продукцию, доплачивает продавцу остаток суммы, удерживая процент за предоставленный кредит и комиссию за оказанные услуги. Если сумма, которая должна быть уплачена клиентом на дату n, равняется Vn, банк выплатит компании авансом меньшую сумму V0 и удержит процент по ставке i процентов годовых (при пересчете этой процентной ставки на период времени n фактическая процентная ставка становится равной iв), таким образом, сумма процентов, удержанных банком, будет равна:

D = Vn- iв

В виде авансового платежа V0 компания получит сумму, равную:

V0 = Vn — Vn∙ie = Vn(1 — iв) = Vn — D; V0 < Vn

где V0 — сумма, выплаченная банком, Vn - дисконтированная сумма; i — годовая процентная ставка банка, ie — эффективная процентная ставка, применяемая в зависимости от сроков уплаты; n — срок погашения и D — сумма процентов (= Vn∙i).

Эта формула аналогична формуле расчета простых процентов, но в ней используется авансовый платеж.

* * *

Существуют различные разновидности аукционов. Наиболее распространенным является прямой (английский) аукцион, при котором товар выставляется на торги по начальной цене, затем потенциальные покупатели увеличивают ее, и лот в итоге достается тому, кто предложит наибольшую сумму. Другая разновидность аукциона — обратный (голландский) аукцион, при котором исходная цена является максимальной, но если никто не желает приобрести товар по этой цене, аукционист постепенно ее снижает, и товар достается тому, кто первым согласится приобрести его по предложенной цене.

Американский аукцион проводится по правилам английского, однако его торги закрыты, и один участник может подать заявку лишь один раз.

Также существуют аукционы покупателя, их обычно проводят государственные учреждения, закупающие какие-либо товары или услуги. На этих аукционах предложения подаются в закрытых конвертах, побеждает тот, чья цена будет наименьшей. С этим аукционом схож тендер, в котором победитель определяется на основании не только цены, но и с учетом других факторов.

Сегодня существует множество разновидностей аукционов в зависимости от отрасли, вида товара и других условий: таможенные аукционы, на которых распродаются конфискованные товары, аукционы недвижимости, где финансовые учреждения реализуют имущество, изъятое за долги, публичные торги, интернет-аукционы, проводимые в электронной форме, аукционы, на которых выставляются монеты, произведения искусства, антиквариат и т. д.

Аукцион — это очень прозрачный способ формирования цены и организации рынка, поскольку спрос и предложение на нем ничем не ограничены. Такая форма торговли часто используется на довольно сложных рынках, например валютных, так как аукционы являются очень эффективным средством контроля обмена валют, ассигнования государственных ценных бумаг, казначейских векселей и ценных бумаг с фиксированной доходностью. На рынке ценных бумаг биржи используют аукционы для фиксации котировок на момент начала торгов или на момент закрытия биржевых сессий.

На этой английской карикатуре 1819 года изображается аукцион, на котором Георг IV продал вещи недавно умершей матери.

Изучение рынка

Проведем исследование рынка на следующем примере: по оценкам, чистящее средство некой марки используют 26 % семей. Была сформирована выборка из 12 семей, которым задали вопрос, какую марку чистящего средства они используют. Нужно определить, какова вероятность того, что в этой выборке от 6 до 9 семей используют чистящее средство рассматриваемой марки. Анализируемая переменная может принимать одно из двух возможных значений («да, используется» и «нет, не используется»), вероятности которых соответственно равны 26 % и 74 % (74 = 100—26).

С помощью законов комбинаторики можно показать, что вероятность РВ(k) того, что в выборке из n семей k будут использовать рассматриваемое чистящее средство, равна где р = 0,26 и (1 — р) = 1–0,26 = 0,74. Эта формула соответствует так называемому биномиальному закону распределения вероятностей, выведенному Якобом Бернулли в XVII веке. В свою очередь, указывает число различных сочетаний из k элементов в группе из n объектов.

где р = 0,26 и (1 — р) = 1–0,26 = 0,74. Эта формула соответствует так называемому биномиальному закону распределения вероятностей, выведенному Якобом Бернулли в XVII веке. В свою очередь,

указывает число различных сочетаний из k элементов в группе из n объектов.

* * *

РАЗЛИЧНЫЕ СПОСОБЫ ГРУППИРОВКИ ОБЪЕКТОВ

Сочетаниями из n объектов по k (где k < n) называются все группы из k объектов; две группы считаются различными, если они отличаются по меньшей мере одним объектом, при этом порядок объектов в группах не имеет значения. Так, число сочетаний (групп) из четырех объектов по 3 обозначается С34 и вычисляется по следующей формуле:

Всего можно составить четыре различные группы. Так, если в качестве четырех исходных элементов мы рассмотрим буквы А, В, С, D, то искомыми четырьмя сочетаниями будут AВС, ABD, ACD, BCD. Существуют другие типы группировки объектов, которые широко используются в дискретной математике, к ним относятся размещения и перестановки.

Размещение из n объектов по m Anm определяется так: две группы считаются различными, если они отличаются хотя бы одним элементом или же их элементы расположены в разном порядке. Все возможные размещения из четырех элементов (р, q, r, s) по 3 таковы:

pqr, pqs, prq, psq, prs, psr,

qrp, qpr, qps, qsp, qrs, qsr,

rps, rsp, rpq, rqp, rsq, rqs,

spq, sqp, sqr, srq, spr, srp.