Сергей Бобров - ВОЛШЕБНЫЙ ДВУРОГ

• Название: ВОЛШЕБНЫЙ ДВУРОГ
• Автор: Сергей Бобров
• Издательство: Детская литература
• Жанр: Математика
• Год: 1967

В этой книге в занимательной форме рассказывается немало интересного для тех, кто любит точные науки и математику. Читатель узнает о развитии математики с ее древнейших времен, о значении математики в технике, а особенно об одной из важнейших отраслей математики - так называемом математическом анализе. На доступных примерах читатель познакомится с элементами дифференциального и интегрального исчислений. В книге также говорится о неевклидовых геометриях и о той, которая связана с открытиями великого русского геометра П. П. Лобачевского. Читателю предлагается немало занимательных задач, многие из которых сопровождаются подробным разбором.

-

Для среднего и старшего возраста.

---

- Ну, вот и дверь, - сказал Радикс.

- Как так? - спросил Илюша в недоумении, разглядывая бумажную фигурку.

- А очень просто, - отвечал ему его приятель. - Это односторонний Мебиусов лист. (Вырежи скорее себе полоску бумажки, склей ее, как показано на картинке. Бери полоску в 25 см длиной и в 3 см шириной.)

- Вот какая странная бумажка! - сказал Илюша. - Действительно ты прав, - эта дверь как раз так и была устроена.

Теперь я как будто понимаю, как я очутился с другой стороны, не переходя через край. Какая интересная поверхность!

- Ну, - сказал Радикс, - это еще что! Наш Бушмейстер еще и не такие чудеса может показывать.

- А кто такой Бушмейстер?

- А это такая змея водится в Гвиане. Страшно ядовитая, а хитра, как сам сатана.

Правда, она двусторонняя.

Но наша поверхность тоже очень хитрая, мы ее и прозвали Бушмейстером.

Однако с бумажкой нам будет не очень удобно.

Лучше мы попросим нашего Бушмейстера явиться к нам сюда собственной персоной. А вот и он! Прошу любить да жаловать.

- 129 -

И перед Илюшей повисла в воздухе Мебиусова поверхность, но довольно большая, около метра с лишним, а ширина ленты была сантиметров тридцать. Сделан был милейший Бушмейстер не из бумаги, а из почти совершенно прозрачного стекла. Илюша обошел его со всех сторон и заметил, что лента, из которой сделана односторонняя поверхность, была совершенно лишена толщины, как и полагается настоящей геометрической поверхности, однако была очень крепкая.

- Ну-с, - сказал Радикс, - надо тебе с ним познакомиться. Вот тебе карандаш. Проведи-ка вдоль всего Бушмейстера линию, но только с одной стороны. Начни, например, отсюда.

Попросим его на минуту сделаться непрозрачным.

- Попробую, - сказал Илюша и взял карандаш. - Вот.

И линия у меня сомкнулась, совсем как на обыкновенной ленте.

- Ты думаешь? А ну-ка, покажи мне теперь ту сторону Бушмейстера, на которой ты не проводил линию.

Илюша посмотрел снизу и воскликнул:

- Я вел линию все время с одной стороны, по она оказалась и там тоже! Выходит, что у него одна только сторона и есть. Он действительно односторонний!

А Бушмейстер мгновенно полинял и снова стал прозрачным.

Однако когда мальчик через минуту взглянул на Бушмейстера, он заметил, что теперь по самой середине поверхности течет речка из темной, непрозрачной жидкости. Речка текла в одном направлении и представляла собой движущуюся ленту из жидкости, вставленную в эту стеклянную ленту. Почему эта жидкость не проливалась? Однако если в этом мире Бушмейстер может сам по себе висеть в воздухе, то почему бы не висеть и речке?

Затем Радикс положил на ладошку Илюше что-то совсем крошечное и черненькое.

- Что это такое? - удивленно произнес мальчик.

В ответ с его ладошки раздался тоненький, еле слышный писк:

- Я - Точка! Геометрическая Точка. Неужели не узнал?

Илюша начал было рассматривать свою новую знакомку, но Радикс сказал ему:

- Ну-ка, брось Точку в эту речку.

Илюша бросил Точку, и она поплыла по течению вокруг по всей ленте, вернулась на старое место и опять поплыла в том же направлении. Так что Илюша еще раз мог убедиться, что конца у этой поверхности, как и у окружности, пет.

- Ну, а теперь, - продолжал Радикс, - выуди ее оттуда и положи на бережок, который около тебя.

- 130 -

Илюша выловил Точку и положил ее на берег речки.

- На какой берег ты ее положил? - спросил Радикс.

- Если я стану лицом по течению реки и буду смотреть на ленту сверху, - отвечал Илюша, - то, значит, она лежит на правом берегу.

- На правом? - переспросил Радикс.

- Да, - ответил Илюша.

- Так, - ответил Радикс, - на правом так на правом. Так и запишем: Точка находится на правом берегу речки.

Точка легла на плоскость. Однако лента была настолько тонка, что Точка прошла ее всю насквозь, как чернильная клякса на промокашке, и ее на ленте было отлично видно как сверху, так и снизу.

- Готово! - пискнула Точка из плоскости.

- Прелестно! - отвечал ей Радикс. - А теперь я попрошу тебя, любезная Точечка, двигаться по берегу вниз по течению речки, но, пожалуйста, двигайся как можно медленнее.

Точка послушалась и медленно поплыла внутри ленты.

Илюша отлично видел ее.

- А ты, Илюша, - сказал Радикс, - следи за ней. И как только ты ее снова увидишь сверху, скажи ей, чтобы она остановилась. Понял?

- Понял, - отвечал Илюша.

Точка медленно подошла к тому месту, где лента Бушмейстера поворачивала вниз, исчезла на миг, появилась на сгибе и опять исчезла. Затем Илюша увидел, как она появилась с другого края и начала двигаться вверх. Когда она подошла к нему поближе, Илюша скомандовал:

- Точка, стоп!

Точка остановилась.

- Ты ее видишь? - спросил Радикс.

- Вижу, - ответил мальчик.

- Ясно видишь?

- Совершенно ясно. Она ведь прошла насквозь через ленту.

- Можешь ты мне ответить, на каком она берегу? Только посмотри повнимательней.

Илюша посмотрел и ответил:

- Я смотрю опять сверху. И берег определяю так же, то есть по течению речки. Но только... только... хм... Вот уж я не знаю...

- Чего ты не знаешь?

- Она сейчас на другом берегу!

- На каком другом?

- На левом.

- А ты не ошибаешься?

- 131 -

- Да нет, - ответил Илюша, - я не могу ошибиться, потому что даже поставил мелом крестик на том месте, куда ее положил. И вот крестик остался на правом берегу, а она на левом. .. Послушай, Радикс, а можно, чтобы она еще раз пошла?

- Прошу, - отвечал тот.

- Точка, - сказал Илюша, стараясь говорить как можно более внятно и определенно, - продолжай двигаться в том же направлении, в каком ты двигалась, и так же медленно. Поняла?

- Как не понять! - раздался тоненький писк, и Точка поплыла вдоль по ленте.

Через некоторое время она появилась на правом берегу, около крестика. Илюша не остановил ее, она пошла дальше и снова появилась на левом берегу.

- Значит, - сказал в раздумье Илюша, - ей надо обойти плоскость эту два раза, чтобы попасть на то же самое место.

- Точно! - отвечал Радикс.

- А когда она плыла по поверхности речки, ей надо было обойти плоскость только один раз, - сказал Илюша.

- В этом роде, - рассеянно отвечал Радикс. - Однако это еще не все. Ну, ты, Точка, можешь теперь исчезнуть! Благодарю.

Точка немедленно исчезла, вслед за ней исчезла и речка.

- Вот тут у меня часики есть, - продолжал Илюшин друг, - посмотри-ка!

Илюша взял со стола обыкновенные карманные часы.

Впрочем, при ближайшем рассмотрении они оказались не совсем обыкновенными, потому что были плоские и очень тонкие, примерно в миллиметр толщины, и совершенно прозрачные, так что стрелки можно было видеть с обеих сторон. Шли они очень быстро, и поэтому Илюша ясно видел, как бежит большая, минутная стрелка. Часовая двигалась медленнее, во и ее движение было заметно.

- Положи их на Бушмейстера около твоего крестика, предложил Радикс.

Илюша положил их на самый крестик.

- Ну-ка, часики, - сказал Радикс, - прошу вас, принимайтесь за работу.

Часы сразу ушли в ленту так же, как это сделала Точка.

Они медленно двинулись в путь вдоль ленты вперед, по тому же направлению, по которому раньше текла речка, словно они были вставлены в ленту. Илюша внимательно следил за ними.

Часики плыли, плыли и наконец показались около самого крестика.

- Стойте! Стойте! - закричал Илюша вне себя от удивления,

- 132 -

Часики остановились около крестика, а Илюша смотрел на них и ничего не понимал. Циферблат был виден как будто отраженный в зеркале. Стрелки бежали с прежней быстротой, но уж теперь в обратную сторону, следуя движению переставленных цифр: против часовой стрелки!

- Теперь уж я совсем ничего не понимаю! - воскликнул Илюша в отчаянии. - Ну, идите дальше!

Часы послушались и через некоторое время снова появились у крестика. Теперь у них опять был обычный циферблат, и их стрелки двигались нормально. Затем они вновь появились около крестика, и тут стрелки опять бежали в противоположную сторону.

- Нет, - сказал Илюша, - этого я не могу понять. Они где-то меняют направление движения стрелок.

- Ты думаешь? - спросил Радикс. - Ну хорошо, постарайся проследить, где именно это происходит. Вот тебе вторые часики, такие же. Оставь одни часы около крестика, а сам следи за теми, которые будут плыть в ленте.

Илюша послушался и заметил, что часы, за которыми он следил не отрываясь, ведут себя обычно. Но когда часы добрались до крестика и оказались рядом с теми часами, которые там оставались, Илюша с удивлением обнаружил, что теперь те часы, которые не двигались, идут в противоположную сторону.

- Может быть, - произнес в недоумении Илюша, - я просто смотрю теперь на них с другой стороны ленты?

- С другой стороны? - спросил Радикс. - А когда же ты успел перебраться на "другую сторону"? И что это за "другая сторона"? Ты ведь, кажется, убедился, что у этой поверхности только одна сторона и есть.