Жуан Гомес - Мир математики. т.4. Когда прямые искривляются. Неевклидовы геометрии

• Название: Мир математики. т.4. Когда прямые искривляются. Неевклидовы геометрии
• Автор: Жуан Гомес
• Издательство: «Де Агостини»
• Жанр: Математика
• Год: 2014
• ISBN: 978-5-9774-0635-2

Многие из нас слышали о том, что современная наука уже довольно давно поставила под сомнение основные постулаты евклидовой геометрии. Но какие именно теории пришли на смену классической доктрине? На ум приходит разве что популярная теория относительности Эйнштейна. На самом деле таких революционных идей и гипотез гораздо больше. Пространство Минковского, гиперболическая геометрия Лобачевского и Бойяи, эллиптическая геометрия Римана и другие любопытные способы описания окружающего нас мира относятся к группе так называемых неевклидовых геометрий. Каким образом пересекаются параллельные прямые? В каком случае сумма внутренних углов треугольника может составить больше 180°? Ответы на эти и многие другие вопросы вы найдете в данной книге.

---

Хотя Янош Бойяи за всю жизнь опубликовал лишь одну работу по математике, после его смерти было обнаружено более 20000 рукописных страниц, которые в настоящее время хранятся в библиотеке имени Телеки и Бойяи в городе Тыргу-Муреш.

Для Яноша задача о параллельных прямых стала навязчивой идеей. Он опубликовал свои результаты в приложении к одной из работ отца, Tentamen Juventutem Studiosam in Elementa Matheseos Purae Introducenti («Опыт введения учащегося юношества в начала чистой математики»). В настоящее время это приложение известно просто как «Аппендикс». Как и Лобачевскому, Бойяи потребовалось лишь несколько страниц (а именно 24), чтобы изложить свои геометрические идеи. Прочитав сочинение, Гаусс написал в письме к Фаркашу Бойяи: «Этот юный геометр Бойяи — гений высшего класса».

Вклад Гаусса

Карл Фридрих Гаусс (1777–1855), математический авторитет не только прошлых времен, но и современности, оказал существенное влияние на работу Бойяи. Еще Кант неявно предсказывал возможность существования других геометрий, но Гаусс, возможно, был первым человеком, который воспринимал геометрию не так, как Евклид, оставив подтверждение своих идей на бумаге. В одной из записных книжек он пишет:

«Я убежден, что отказ от постулата о параллелях не приводит к противоречию, хотя это правда, что получаемые результаты кажутся парадоксальными».

Портрет Карла Фридриха Гаусса работы художника Кристиана Альбрехта Йенсена.

В течение почти 40 лет Гаусс работал над постулатом о параллелях, никому не показывая своих результатов и держа их в строжайшем секрете. Наиболее важными документами, свидетельствующими о его исследованиях, является переписка с семьей Бойяи и комментарии в его записных книжках.

Нет ничего удивительного в дружбе Гаусса и семьи Бойяи. Гаусс был вундеркиндом, тоже ставшим образованным интеллектуалом. Он в очень раннем возрасте начал заниматься математикой, астрономией и физикой — именно в этих областях он достиг наивысших результатов. В возрасте семи лет он пошел в школу, где поражал учителей своими способностями выполнять сложные вычисления.

Учась в Коллегиуме Каролинум в Брауншвейге, Гаусс самостоятельно открыл астрономический закон, известный как правило Тициуса — Боде, а также несколько алгебраических теорем, таких как бином Ньютона. В 1795 г. он поступил в Гёттингенский университет, где изучал математику и получил докторскую степень в возрасте 22 лет.

* * *

ГАУСС, ЮНЫЙ ГЕНИЙ

Легендарные таланты Гаусса говорят о том, что он был типичным гением. Еще ребенком он делал открытия, которые с трудом могли понять взрослые. В возрасте десяти лет он открыл формулу для суммы арифметической прогрессии, быстро сложив первые сто натуральных чисел. Как ему это удалось? Он применил особый трюк, совершенно удивительный для ребенка его возраста.

Он понял, что сумма первого члена с последним, второго с предпоследним и так далее, является постоянной:

1, 2, 3, 4, …, 97, 98, 99, 100

1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = 4 + 97 = … = 101.

Сто чисел образуют 50 пар, так что для решения достаточно найти произведение 101 x 50 = 5050. Гаусс вывел формулу, выражающую сумму первых n членов арифметической прогрессии, Sn, где а1 обозначает первый член, а аn — последний:

* * *

Талант Гаусса проявился во многих областях математики: в статистике, теории чисел, геометрии… Он был также научным руководителем докторской диссертации Римана, о чем мы подробнее расскажем позже. В возрасте 30 лет, в 1807 г., он руководил обсерваторией Гёттингена, в которой шесть лет изучал магнетизм. Он внес также существенный вклад в физику. В конце его академической карьеры в 1849 г. он уже был известен как «принц математики».

Переписка между Гауссом и Бойяи

Гаусс был близким другом Фаркаша Бойяи, отца Яноша, и в своей переписке они не раз обсуждали пятый постулат. Гаусс сам работал над этой проблемой, но очень осторожно, о чем говорит то, что он так и не опубликовал свои результаты. Фаркаш также пытался доказать пятый постулат, но безуспешно. На основании собственного опыта и переписки с Гауссом Фаркаш посоветовал сыну не тратить «ни одного часа на эту задачу». Янош так и поступил: он потратил на эту работу не один час, а целых два года! В 1832 г. Фаркаш Бойяи написал своему другу Гауссу и выразил озабоченность по поводу одержимости сына. В том же письме он попросил совета, как убедить Яноша оставить эти исследования. Гаусс ответил, что он сам получил аналогичные результаты, которые решил не разглашать. Он не мог оценить работу Яноша или убедить его остановиться, о чем ясно написал в одном из писем:

«Если я скажу, что не могу оценить эту работу, вы, несомненно, будете удивлены. Но дело обстоит вот как. Оценить эту работу — все равно что оценить себя. Потому что все содержание работы вашего сына и результаты, к которым он пришел, практически совпадают с моими собственными размышлениями на эту тему за последние 30–35 лет. Я действительно поражен…»

Когда Янош с головой погрузился в работу над пятым постулатом Евклида, Фаркаш написал сыну тревожное предупреждение:

«Молю тебя, не делай попыток одолеть теорию параллельных линий. Ты затратишь на это все свое время, а теоремы останутся недоказанными. В этом беспросветном мраке могут утонуть тысячи таких гигантов, как Ньютон. Этот вопрос никогда не прояснится на земле, и никогда несчастный род человеческий не достигнет ничего совершенного, даже в геометрии. Это большая и вечная рана в моей душе. Ради Бога, молю тебя, оставь эту материю. Страшись ее не меньше, нежели чувственных увлечений, потому что и она может лишить тебя всего твоего времени, здоровья, покоя, всего счастья твоей жизни…»

Несмотря на трагический тон этого письма, Янош так и не внял предупреждениям отца и вскоре убедился, что пятый постулат не только недоказуем, но и к тому же не зависит от других постулатов. Этот результат стал основой альтернативной, но непротиворечивой геометрической теории.

Совместные достижения Лобачевского и Бойяи

Лобачевский и Бойяи заложили основы неевклидовой геометрии и неевклидовой тригонометрии. Они показали, что сумма углов треугольника меньше 180°, а также что не все треугольники имеют одинаковую сумму углов. Чем больше площадь треугольника, тем меньше сумма его углов. Таким образом, не существует подобных треугольников, то есть не существует треугольников одинаковой формы, но разного размера. В этой геометрии если два треугольника имеют конгруэнтные углы (одинакового размера), то и сами треугольники конгруэнтны, то есть они совпадают при наложении друг на друга. Не существует там и прямоугольников в евклидовом смысле: если три угла четырехугольника прямые (90°), то четвертый угол должен быть меньше. Потому что когда прямоугольник делится на две части, сумма углов каждого треугольника должна быть меньше 180°.

Несмотря на похожие результаты, задачи Лобачевского и Бойяи были различными. Янош Бойяи особенно интересовался разделением различных теорем и результатов на те, которые зависят от пятого постулата Евклида, и на те, которые не зависят от него. Николай Лобачевский был более радикален и совсем отказался от пятого постулата, предложив вместо него другой: через точку вне прямой проходит более одной параллельной линии.

* * *

КАК ВЫГЛЯДИТ НЕЕВКЛИДОВ ТРЕУГОЛЬНИК

Рисунок справа дает представление о том, как в гиперболической геометрии выглядит неевклидов треугольник АВС, полученный из прямоугольника. Мы видим, что сумма углов А, В и С действительно меньше 180°.

* * *

Основные модели гиперболической геометрии

Моделью евклидовой геометрии является обычная плоскость с обычными понятиями точки и прямой линии. Модели, описанные ниже, помогут нам лучше представить и понять гиперболическую геометрию, а также эллиптическую геометрию, о которой мы расскажем позже.

Первая модель гиперболической геометрии строится на особой поверхности. Чтобы представить себе такую поверхность, мы должны представить человека, который катит магазинную тележку, или ребенка, который тянет игрушку на веревочке.

Когда ребенок движется по прямой линии и тянет за собой небольшую сумку на колесиках, траекторией ее движения является кривая линия, приближающаяся к траектории движения ребенка. Эта линия называется трактрисой.

Представьте себе человека, который тянет за собой какой-то предмет, и они оба движутся с одинаковой скоростью. В то время как траектория человека является прямой линией, траектория предмета представляет собой кривую линию, постепенно приближающуюся к траектории человека. Этот вид траектории иногда называют «собачьей кривой». В математических терминах это звучит более сложно: говорят, что кривая асимптотически приближается к прямой линии.